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1、工程弹塑性力学工程弹塑性力学浙江大学浙江大学 建筑工程学院建筑工程学院第五章第五章 简单应力状态的弹塑性问题简单应力状态的弹塑性问题5.1 基本实验资料基本实验资料5.2 应力应变的简化模型应力应变的简化模型5.3 应变的表示法应变的表示法5.4 理想弹塑性材料的简单桁架理想弹塑性材料的简单桁架5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架线性强化弹塑性材料的简单桁架5.6 加载路径对桁架内应力和应变的影响加载路径对桁架内应力和应变的影响5.1 基本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线（1）单向拉伸曲线）单向拉伸曲线123OsaD p e （a）有明显屈服流动阶段有明显屈服流动阶段拉伸试验拉伸试验和
2、和静水压力试验静水压力试验是塑性力学是塑性力学中的两个基本试验，塑性应力应变关中的两个基本试验，塑性应力应变关系的建立是以这些实验资料为基础。系的建立是以这些实验资料为基础。屈服应力屈服应力（b）无明显屈服流动阶段无明显屈服流动阶段Os s0.2Ds se ee ep e ee CAB0.2%屈服应力屈服应力如如:低碳钢低碳钢,铸铁铸铁,合金钢等合金钢等如如:中碳钢中碳钢,高强度合金钢高强度合金钢,有色金属等有色金属等5.1 基本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。在第二次加载过程中，弹性系数仍保持不变，但弹性极限及屈服极限有升高现象，其升高程度
3、与塑性变形的历史有关，决定与前面塑性变形的程度。这种现象称为材料的应变强化应变强化(或加工硬化加工硬化)。材料在塑性阶段的一个重要特点：在加载和卸载的过程中应力和应变服从不同的规律：加载卸载简单拉伸试验的塑性阶段：5.1 基本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线（2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）O拉压应变应变10%时，基本一致；时，基本一致；应变应变 10%时，较大差异。时，较大差异。一般金属的拉伸与压缩曲线比较用简单拉伸试验代替简单压缩试验进行塑性分析是偏于安全的。5.1 基本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线（3）反向加载反向加载卸载后
4、反向加载，卸载后反向加载，s ss s ssBauschinger效应效应BAsssBBO拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象。即正向强化时反向弱化。5.1 基本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线(4)断裂特性断裂特性伸长率伸长率:标志材料的塑性特性，其值越大则材料破坏后的残余变形越大。截面收缩率截面收缩率:d dk 5%：塑性材料；低碳钢塑性材料；低碳钢d dk=20%30%d dk 5%：脆性材料。脆性材料。5.1 基本实验资料塑性变形有以下特点：塑性变形有以下特点：(2)、由于应力应变关系的非线性，应力与应变应力与应变间不存在单值对应关系，同一个应力可对应不同的应变，反过来也是如
5、此。这种非单值性非单值性是一种路径相关性，即需要考虑加载历史。(1)、由于塑性应变不可恢复，所以外力所作的塑性功塑性功具有不可逆性，或称为耗散性耗散性。在一个加载卸载的循环中外力作功恒大于零，这一部分能量被材料的塑性变形损耗掉了。(3)、当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域弹性区域和产生塑性变形的塑性区域塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化分界面也会产生变化。5.1 基本实验资料二、静水压力二、静水压力(各向均匀受压各向均匀受压)试验试验(1)、体积变化、体积变化体积应变与压力的关系体积应变与压力的关系(bridgman实验公式实验公式)体积压缩模量
6、体积压缩模量派生模量派生模量铜铜铝铝铅铅a a7.31x107.31x10-7-713.34x1013.34x10-7-723.73x1023.73x10-7-7b b2.7x102.7x10-12-123.5x103.5x10-12-1217.25x1017.25x10-12-12铜：铜：当p1000MPa时，ap7.3110-4，而bp22.710-6。说明第二项远小于第一项，可以略去不计。因此根据上述试验结果，在塑性理论中常认为体积变形是弹性的。因而对钢、铜等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力的影响。但对于铸铁、岩石、土壤等材料，静水压力对屈服应力和塑性变形的大小都有明显的影响，不能
7、忽略。5.1 基本实验资料二、静水压力二、静水压力(各向均匀受压各向均匀受压)试验试验(2)、静水压力对屈服极限的影响静水压力对屈服极限的影响BridgmanBridgman对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性强对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性强化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。静水压力对屈服极限的影响常可忽略。静水压力对屈服极限的影响常可忽略。5.2 应力应变简化模型一般应力一般应力-应变曲线：应变曲线：s s=Ee e，e e e es (屈服后屈服后)选取模型的标准：选取模型的标准：1 1、必须符合材料的实
8、际性质、必须符合材料的实际性质2 2、数学上必须是足够地简单、数学上必须是足够地简单5.2 应力应变简化模型1.理想弹塑性模型理想弹塑性模型符号函数符号函数:（软钢或强化率较低的材料）（软钢或强化率较低的材料）加载加载:卸载卸载:Oss E 为一个大于或等于零的参数5.2 应力应变简化模型1.理想弹塑性模型理想弹塑性模型用应变表示的加载准则：用应变表示的加载准则：加载加载:卸载卸载:Oss E符号函数符号函数:公式只包括了材料常数E和，故不能描述应力应变曲线的全部特征；在 s处解析式有变化，给具体计算带来困难;理想弹塑性模型抓住了韧韧性材料性材料的主要特征，因而与实际情况符合得较好。缺点缺点:
9、优点优点:5.2 应力应变简化模型2.线性强化弹塑性模型线性强化弹塑性模型（材料有显著强化率）（材料有显著强化率）Oss EE加载加载:卸载卸载:5.2 应力应变简化模型2.线性强化弹塑性模型线性强化弹塑性模型用应变表示的加载准则：用应变表示的加载准则：Oss EE加载加载:卸载卸载:在许多实际工程问题中，弹性应变弹性应变 Pe）（塑性流动阶段）塑性流动阶段）约束塑性变形阶段：约束塑性变形阶段：杆杆2已屈服，杆已屈服，杆1、3仍为弹性仍为弹性塑性流动阶段：塑性流动阶段：3杆均屈服杆均屈服,相应的荷载为塑性极限荷载相应的荷载为塑性极限荷载点点A的位移：的位移：(5.38)(5.35)(5.36)
10、(5.37)5.4 理想弹塑性材料的简单桁架弹性与塑性极限荷载（极限位移）的关系：弹性与塑性极限荷载（极限位移）的关系：荷载荷载-挠度曲线：挠度曲线：理想弹塑性理想弹塑性线性强化线性强化d d/d deP/PeP1/PePs/Pe1.01.00 01 11/1/cos2q q(5.39)5.4 理想弹塑性材料的简单桁架卸载符合弹性规律。设荷载变化为卸载符合弹性规律。设荷载变化为D DP，则由式，则由式(5.33)得得三、卸载三、卸载若加载至若加载至P*（Pe P*Pe），），此过程仍为弹性过程。这相此过程仍为弹性过程。这相当于将弹性范围由扩大了。当于将弹性范围由扩大了。四、重复加载四、重复加载
11、这种使其弹性范围扩大的有利的残余应力状态称为这种使其弹性范围扩大的有利的残余应力状态称为安定状态安定状态。5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架联立平衡和协调方程可求得联立平衡和协调方程可求得平衡方程与协调方程不变平衡方程与协调方程不变加载过程，加载过程，物理方程改变物理方程改变部分：部分：1.弹性阶段弹性阶段(P Pe)：与理想弹塑性相：与理想弹塑性相同同2.约束塑性变形阶段约束塑性变形阶段(P Pe)：(5.42)(5.43)5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架(杆杆1、3进入屈服进入屈服)3.塑性流动阶段塑性流动阶段(P Pe)：(5.44)与理想弹塑性材料的比较：与理想弹塑性材料的比较：
12、(5.45)如考虑中等强化情形如考虑中等强化情形:说明这时理想塑性的近似还是比较好的，考虑强化对它的影响不大。说明这时理想塑性的近似还是比较好的，考虑强化对它的影响不大。5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架考虑随动强化，加载应力范围为考虑随动强化，加载应力范围为2s ss，即要求，即要求DsDs2 2s ss，4.卸载卸载：仍按弹性规律变化仍按弹性规律变化卸载后杆卸载后杆2转为压应力，是否会进入转为压应力，是否会进入压缩塑性状态压缩塑性状态？最大安定荷载最大安定荷载5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架aN1bPN2图示等截面杆，截面积为图示等截面杆，截面积为A，在在x=a(ab)处作用集中处作
13、用集中力力P，试求弹性极限荷载试求弹性极限荷载Pe和塑性极限荷载和塑性极限荷载Ps。若加载若加载至至Pe P*Ps时卸载，试求残余应力和残余应变。材料时卸载，试求残余应力和残余应变。材料分别为分别为:(1):(1)理想弹塑性；理想弹塑性；(2)线性强化弹塑性。线性强化弹塑性。例题：例题：解：解：平衡方程：平衡方程：变形协调方程：变形协调方程：5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架(1)(1)理想弹塑性理想弹塑性弹性阶段弹性阶段：代入变形协调方程，可得：代入变形协调方程，可得：联立平衡方程，可得：联立平衡方程，可得：5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架弹塑性阶段弹塑性阶段：由：由s s1=s ss
14、，并利用平衡方程得：，并利用平衡方程得：卸载卸载：加载至加载至Pe P*0杆1，2仍保持塑性状态杆3卸载5.6 加载路径对桁架应力应变的影响加载方案加载方案从从(5.47)(5.47)可得：可得：(5.49)当当 3=-2 s；使使 3=-s时时，杆杆3进入压缩屈服，整个桁架进入塑性流动阶段进入压缩屈服，整个桁架进入塑性流动阶段叠加上初始值后：叠加上初始值后：保持保持 的比例，一直加载到方案一的最终状态的比例，一直加载到方案一的最终状态5.6 加载路径对桁架应力应变的影响加载方案加载方案弹性阶段弹性阶段最大对应的应对应的应力和位移力和位移再继续加载再继续加载5.6 加载路径对桁架应力应变的影响加载方案加载方案对应的应对应的应力和位移力和位移(5.50)