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1、工程弹塑性力学(3.10)(以主应力以主应力s s1,s s2,s s3为坐标轴而构成的应力空间为坐标轴而构成的应力空间)OQNP 平面平面L直线直线s1s2s3任一应力状态任一应力状态静水应力矢量静水应力矢量主偏量应力矢量主偏量应力矢量主应力空间、主应力空间、L直线、直线、平面平面与s1,s2,s3轴的夹角相等在主应力空间内，过原点且和三个坐标在主应力空间内，过原点且和三个坐标轴夹角相等的直线。轴夹角相等的直线。方程：方程：s s1=s s2=s s3L直线：直线：主应力空间内过原点且和主应力空间内过原点且和L直线垂直直线垂直的平面。的平面。方程：方程：s s1+s s2+s s3=0=0
2、平面：平面：总在平面上n 主应力空间主应力空间知识点回顾知识点回顾2屈服曲面屈服曲面 F(s s1,s s2,s s3)=0：为一平行为一平行L直线的柱面；直线的柱面；屈服曲线屈服曲线 f(J2,J3)=0：屈服曲面与屈服曲面与 平面的交线平面的交线 对应无静水压力部分的情况。对应无静水压力部分的情况。n 屈服曲面屈服曲面知识点回顾知识点回顾3Oyx2qs13rs30坐标轴坐标轴s s1，s s2，s s3在在 平面上的投影平面上的投影O1、O2、O3互成互成120120；矢量矢量OP在在 平面上的平面上的x，y坐标值坐标值为：为：矢量矢量OP在在 平面上的平面上的极坐标值极坐标值为：为：n
3、平面投影平面投影知识点回顾知识点回顾4纯剪纯拉 平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线(1)、屈服曲线为一屈服曲线为一封闭曲线封闭曲线，原点原点 在曲线内部；在曲线内部；(2)、对各向同性材料，若对各向同性材料，若(S1,S2,S3)或或(s s1,s s2,s s3)屈服，则各应屈服，则各应力分量互换也会屈服，故屈服力分量互换也会屈服，故屈服曲线曲线关于关于s s1,s,s2,s,s3轴均对称轴均对称；(3)、对拉伸和压缩屈服极限相等的材料，对拉伸和压缩屈服极限相等的材料，若应力状态若应力状态(S1,S2,S3)屈服，则屈服，则(S1,S2,S3)也会屈服，故屈服曲线为也会屈服，故屈服曲线为关于垂
4、直于关于垂直于s s1,s,s2,s,s3轴的直线也对称轴的直线也对称。n 屈服曲线特征屈服曲线特征知识点回顾知识点回顾5(正六边形柱面正六边形柱面)主应力空间主应力空间内和内和平面应力状态平面应力状态的屈服条件的屈服条件:2k 2k2k2k平面应力的平面应力的Tresca屈服线屈服线n TrescaTresca屈服条件屈服条件Tresca屈服条件的完整表达式屈服条件的完整表达式知识点回顾知识点回顾6Tresca六边形的六个顶六边形的六个顶点由实验得到，但点由实验得到，但顶点顶点间的直线是假设间的直线是假设的。的。Mises指出：指出：用连接用连接 平面上的平面上的Tresca六六边形的六个顶
5、点的边形的六个顶点的圆圆来来代代替替原来的原来的六边形六边形，即：，即：Mises屈服条件：屈服条件：Mises屈服面屈服面n MisesMises屈服条件屈服条件知识点回顾知识点回顾7n两种屈服条件的关系：两种屈服条件的关系：(3.29)TrescaTrescaMises圆纯剪纯剪单向拉伸单向拉伸Tresca和和Mises屈服线屈服线若规定若规定简单拉伸简单拉伸时时两种屈服条两种屈服条件重合件重合，则，则Tresca六边形内接于六边形内接于Mises圆，且圆，且若规定若规定纯剪纯剪时时两种屈服条件重两种屈服条件重合合，则，则Tresca六边形外接于六边形外接于Mises圆，且圆，且(3.30
6、)知识点回顾知识点回顾83.7 加载条件和加载曲面93.7 加载条件和加载曲面应力强化：应力强化：交叉效应：交叉效应：加载条件：加载条件：加载曲面：加载曲面：在简单拉压时，经过塑性变形后，屈服应力提高的现象在简单拉压时，经过塑性变形后，屈服应力提高的现象拉伸塑性变形，使压缩屈服应力降低拉伸塑性变形，使压缩屈服应力降低(Bauschinger(Bauschinger效应效应),),并且还影响剪切屈服应力等的现象。并且还影响剪切屈服应力等的现象。材料经过初次屈服后，后继的屈服条件将与初始条件不材料经过初次屈服后，后继的屈服条件将与初始条件不同。这种发生变化了的后继屈服条件称为加载条件。同。这种发生
7、变化了的后继屈服条件称为加载条件。应力空间内与加载条件对应的曲面应力空间内与加载条件对应的曲面概念：概念：进一步发生塑性变形的条件：进一步发生塑性变形的条件：理想塑性材料：理想塑性材料：加载面加载面屈服面屈服面加载面还依赖于塑性应变的过程。即它与此刻的ijp状态有关，还依赖于整个应变历史(K)。因此，一般加载面一般加载面为：(3.32)103.7 加载条件和加载曲面一一、等向强化模型等向强化模型(3.35)单向拉压情况：单向拉压情况：令令:(3.33)(3.34)复杂应力状态：复杂应力状态：假定加载面就是屈服面做相似扩大假定加载面就是屈服面做相似扩大应变历史及强化程度的参数应变历史及强化程度的
8、参数113.7 加载条件和加载曲面一一、等向强化模型等向强化模型在在Mises屈服条件下：屈服条件下：(3.36)等效塑性应变增量等效塑性应变增量按按(2.54)式式(3.37)加载面为加载面为(3.38)退化到一维时与退化到一维时与(3.34)一致一致表示成依赖于塑性功的参数：表示成依赖于塑性功的参数：(3.39)123.7 加载条件和加载曲面二、随动二、随动强化模型强化模型(3.70)推广到复杂应力状态推广到复杂应力状态屈服条件屈服条件:(3.71)表示屈服条件表示屈服条件在在Mises屈服条件下：屈服条件下：(3.72)可根据简单拉伸试验来定可根据简单拉伸试验来定133.7 加载条件和加
9、载曲面二、随动二、随动强化模型强化模型(3.72)在简单拉伸下：在简单拉伸下：式式(3.72)对于线性强化材料对于线性强化材料(3.73)143.7 加载条件和加载曲面二、随动二、随动强化模型强化模型AOO-112初始屈服面初始屈服面一次二次三次后后继继屈屈服服面面两种强化形式两种强化形式Ivey的拉扭实验结果的拉扭实验结果153.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件163.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件一、一、Mohr-Coulomb屈服条件屈服条件(3.74)粘聚力粘聚力内摩擦角内摩擦角岩石和土质破裂面上的剪应力岩石和土
10、质破裂面上的剪应力破裂面上破裂面上的正应力的正应力OC由左图得由左图得:(3.75)代入代入(3.74)173.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件一、一、Mohr-Coulomb屈服条件屈服条件静水应力对屈服条件的影响静水应力对屈服条件的影响(3.75)EODCBAFxy静水应力静水应力(1 1+2 2)/2)/2的函数的函数 平面上的平面上的Mohr-CoulombMohr-Coulomb屈服条件屈服条件在在 平面上可表示为平面上可表示为:183.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件一、一、Mohr-Coulomb屈服条件屈服
11、条件(3.76)EODCBAFxy若若 1 1 2 2 3 3，则求出的图形对应于，则求出的图形对应于3030 3030 193.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件二、二、Drucker-Prager屈服准则屈服准则(3.77)在一般应力状态下，考虑到静水压力影响的最简单推广在一般应力状态下，考虑到静水压力影响的最简单推广形式是形式是Mises条件上加一个静水压力因子。条件上加一个静水压力因子。OO 平面平面主应力空间主应力空间203.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件三、三、Mohr-Coulomb和和Drucker-Pra
12、ger屈服条件的关系屈服条件的关系 平面平面主应力空间主应力空间OABCDEFDruck-PragerDruck-PragerMohr-CoulombMohr-CoulombOCctgDruck-PragerDruck-Prager21 4.1 弹性本构关系弹性本构关系 4.2 塑性全量理论塑性全量理论 4.3 Drucker公设公设 4.4 加载和卸载准则加载和卸载准则 4.5 理想塑性增量理论理想塑性增量理论 4.6 强化材料增量理论强化材料增量理论 4.7 简单加载定律简单加载定律 4.8 两种理论的比较两种理论的比较224.0 绪论234.0 绪论塑性本构关系塑性本构关系：从宏观上讨论
13、变形固体在塑性状态下的应力从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力-应变关系，应变关系，反映材料进入塑性以后的力学特性。反映材料进入塑性以后的力学特性。两类塑性本构关系两类塑性本构关系:全量理论全量理论/形变理论形变理论增量理论增量理论/流动理论流动理论建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的关系。建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的关系。描述材料在塑性状态时描述材料在塑性状态时应力与应变速度应力与应变速度或或应变增量之间应变增量之间关系的理论关系的理论均与均与DruckerDrucker公公设有密切关系设有密切关系244.1 弹性本构关系25直角坐标系中的的应力应变
14、表达式直角坐标系中的的应力应变表达式(4.1)弹性模量弹性模量4.1 弹性本构关系-广义虎克定律广义虎克定律泊松比泊松比(4.2)264.1 弹性本构关系-广义虎克定律广义虎克定律(4.2)(4.3)用张量表示：用张量表示：3 3个正应变相加：个正应变相加：(4.4)或或对于不可压缩对于不可压缩固体，固体，=1/2=1/2274.1 弹性本构关系-广义虎克定律广义虎克定律(4.5)(4.2)方程互减：方程互减：(4.6)(4.7)以主应力形式表示以主应力形式表示:应力应力MohrMohr圆和应变圆和应变MohrMohr圆相似，应力圆相似，应力和应变主轴重合。和应变主轴重合。284.1 弹性本构
15、关系(4.8)用应力应变偏量表示：用应力应变偏量表示：(4.9)(4.4)(4.4)代入代入应力偏量分量和应应力偏量分量和应变偏量分量成正比。变偏量分量成正比。形状改变只是由应形状改变只是由应力偏量引起的。力偏量引起的。等效剪应力等效剪应力等效剪应变等效剪应变同理：同理：等效正应力等效正应力,式式(2.41)(2.41)等效正应变等效正应变,式式(2.54)(2.54)(4.10)294.1 弹性本构关系加载加载卸载卸载(4.11)应力应变增量间满足广义虎克定律应力应变增量间满足广义虎克定律(1)、在弹性变形中应力主轴与应变主轴是重合的；(2)、平均应力与平均变形(或称体积变形)成比例；(3)
16、、应力偏量分量与应变偏量分量成比例；(4)、等效正应力与等效正应变成比例。304.1 弹性本构关系弹性应变比能弹性应变比能(4.12)单位体积内的弹性应变能单位体积内的弹性应变能体积变形比能体积变形比能形状改变弹性比能形状改变弹性比能成正比成正比Mises屈服条件屈服条件也可称为也可称为最大弹性形变能条件最大弹性形变能条件314.2 塑性全量理论324.2 塑性全量理论全量理论的假定：全量理论的假定：(4.14)应力主方向与应变主方向重合，在整个加载过程中主方向保持不变。应力主方向与应变主方向重合，在整个加载过程中主方向保持不变。平均应力与平均应变成比例。平均应力与平均应变成比例。应力偏量分量
17、与应变偏量分量成比例。应力偏量分量与应变偏量分量成比例。等效正应力是等效正应变的函数，对每个具体材料都应通过实验来确定。等效正应力是等效正应变的函数，对每个具体材料都应通过实验来确定。应力Mohr圆与应变Mohr圆相似，应力Lode参数和应变Lode参数相等。和塑性变形程度有关334.2 塑性全量理论(4.15)G与材料性质和塑性变形程度有关与材料性质和塑性变形程度有关(4.16)应力偏量分量和应变偏量分量成正比应力偏量分量和应变偏量分量成正比(4.17)344.2 塑性全量理论(4.18)(4.20)(4.19)由式由式(4.14)得得:设物体的体积是不可压缩的，即设物体的体积是不可压缩的，
18、即=1/2(4.21)354.2 塑性全量理论由式由式(4.14)，(4.20)得得:(4.22)与广义虎克定律与广义虎克定律形式上非常相似形式上非常相似解决具体问题比弹性力学复杂很多解决具体问题比弹性力学复杂很多364.2 塑性全量理论 acbO图图4.1 单向拉伸曲线单向拉伸曲线(4.25)在弹性极限内在弹性极限内复杂应力状态复杂应力状态下下:(4.26)(4.28)(4.27)在在单向拉伸单向拉伸状态下状态下:(4.9)形式上非形式上非常相似常相似根据单一曲线假定根据单一曲线假定:374.2 塑性全量理论(4.28)=1/2由右图几何条件可得由右图几何条件可得:(4.29)acbO(4.
19、30)空间的应力状态问题转化为简单拉伸应力状态问题空间的应力状态问题转化为简单拉伸应力状态问题384.2 塑性全量理论(4.14)(4.31)(4.32)394.2 塑性全量理论(4.33)总应变总应变=弹性应变弹性应变+塑性应变塑性应变由式由式(4.33)(4.22)404.2 塑性全量理论(4.34)(4.34)或或:414.2 塑性全量理论理想弹塑性材料理想弹塑性材料E 的表达的表达式式 OA(a)理想弹塑性材料理想弹塑性材料图图 4.2 理想塑性模型理想塑性模型 E在弹性区域内在弹性区域内(OA)在塑性区域内在塑性区域内(AE)424.2 塑性全量理论线性强化弹塑性材料线性强化弹塑性材
20、料E 的表达的表达式式在塑性区域内在塑性区域内(AE)Oabdc(b)理想弹塑性强化材料理想弹塑性强化材料图图 4.2 理想塑性模型理想塑性模型 (4.36)这些物理关系对于塑性体或者是这些物理关系对于塑性体或者是对于物理关系是非线性的弹性体对于物理关系是非线性的弹性体在在主动变形时主动变形时都是适用的。都是适用的。434.3 Drucker 公设444.3 Drucker 公设应力应变曲线形式应力应变曲线形式OOO(a)(b)(c)图图 4.3 应力应变曲线形式应力应变曲线形式应力增加应变减应力增加应变减少少,不可能现象不可能现象454.3 Drucker 公设公设的叙述：公设的叙述：考虑某
21、应力循环，开始应力考虑某应力循环，开始应力 0ij在屈服面内，然后达到在屈服面内，然后达到 ij，刚好在屈服面上，刚好在屈服面上，再继续在屈服面上加载到再继续在屈服面上加载到 ij+d ij，在这一阶段，将产生塑性应变，在这一阶段，将产生塑性应变d pij。最。最后将应力又卸回到后将应力又卸回到 0ij。若在整个应力循环过程中做功不小于零，则这种材。若在整个应力循环过程中做功不小于零，则这种材料就是稳定的。料就是稳定的。图图 4.4 应力循环路径应力循环路径(4.37)应力循环过程中外载所做的功：应力循环过程中外载所做的功：464.3 Drucker 公设(4.38)判断材料稳定性的条件判断材
22、料稳定性的条件:O图图 4.5 一维的应力循环一维的应力循环因弹性应变在应力循环中可逆因弹性应变在应力循环中可逆(4.39)(4.40)对于稳定材料对于稳定材料阴影面积一定阴影面积一定不会小于零不会小于零47oPrandtl-Reuss理理论：应力主力主轴与与应变增量主增量主轴重合。重合。推推论1：屈服曲面一定是外凸的。：屈服曲面一定是外凸的。o4.3 Drucker 公设48推推论2：塑性：塑性应变增量垂直于屈服曲面。增量垂直于屈服曲面。推推论3：塑性：塑性应变增量可用屈服增量可用屈服 函数函数的梯度表示。的梯度表示。屈服条件确定后可求出塑性屈服条件确定后可求出塑性应变增量。增量。o 只有当
23、只有当应力增量指向力增量指向屈服面外屈服面外侧才可能才可能产生塑生塑性性变形。形。o4.3 Drucker 公设(4.44)494.4 加载和卸载准则504.4 加载和卸载准则(4.46)理想塑性材料的加载和卸载理想塑性材料的加载和卸载加载面和屈服面一样加载面和屈服面一样加卸载准则的数学形式加卸载准则的数学形式:弹性状态弹性状态加载加载卸载卸载514.4 加载和卸载准则(4.47)理想塑性材料的加载和卸载理想塑性材料的加载和卸载在应力空间中的形式在应力空间中的形式:加载加载卸载卸载加载加载图图 4.8卸载卸载由于屈服面不能扩大，由于屈服面不能扩大，d 不能指向屈服面外不能指向屈服面外524.4
24、 加载和卸载准则(4.48)理想塑性材料的加载和卸载理想塑性材料的加载和卸载光滑面交界处的加卸载准则光滑面交界处的加卸载准则:加载加载卸载卸载加载加载卸载卸载加载加载图图 4.9(4.49)加载加载卸载卸载总之，应力增量保持在屈总之，应力增量保持在屈服面上就称为服面上就称为加载加载；返到；返到屈服面以内时就称为屈服面以内时就称为卸载卸载。53强化条件：材料在初始屈服后，卸化条件：材料在初始屈服后，卸载再加再加载重新重新进入塑料状入塑料状态时，应力分量力分量满足的条件。（加足的条件。（加载条件）条件）强化曲面：化曲面：强化条件在化条件在应力空力空间中的几何中的几何图形。（加形。（加载曲面）曲面）
25、强化函数：化函数：强化曲面的方程表示。（加化曲面的方程表示。（加载函数）函数）强化模型：等向化模型：等向强化、随化、随动强化、化、组合合强化化等向等向强化：加化：加载面是初始屈服曲面的比例面是初始屈服曲面的比例扩大曲面（中心位置、大曲面（中心位置、形状不形状不变）。）。随随动强化：加化：加载面是初始屈服曲面在面是初始屈服曲面在应力空力空间的平移（大小、形的平移（大小、形状不状不变）。）。4.4 加载和卸载准则强化材料的加卸载准则：强化材料的加卸载准则：544.4 加载和卸载准则强化材料的加卸载准则：强化材料的加卸载准则：不同点：加载面允许向外扩张不同点：加载面允许向外扩张(4.50)加载加载卸
26、载卸载中性变载中性变载：相当于应力点沿加：相当于应力点沿加载面切向变化，加载面并未扩载面切向变化，加载面并未扩大的情形。大的情形。卸载卸载加载加载n中性变载中性变载加载曲面加载曲面图图 4.10中性变载中性变载(4.51)加载加载卸载卸载中性变载中性变载数学表达数学表达554.5 理想塑性材料的增量关系564.5 理想塑性材料的增量关系(4.52)进入塑性状态的应变增量表达式进入塑性状态的应变增量表达式流动法则流动法则应力应变增量关系应力应变增量关系与屈服条件相联系与屈服条件相联系(4.44)574.5 理想塑性材料的增量关系(4.53)一一、与、与Mises屈服条件相关连的流动法则屈服条件相
27、关连的流动法则(4.54)加上弹性应变增量Prandtl-Reuss关系关系(4.55)Levy-Mises关系关系略去弹性应变略去弹性应变584.5 理想塑性材料的增量关系一一、与、与Mises屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则(4.56)(4.57)变换变换594.5 理想塑性材料的增量关系一一、与、与Mises屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则(4.58)O321图图 4.11604.5 理想塑性材料的增量关系二、与二、与Tresca屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则(4.59)主应力空间的屈服面主应力空间的屈服面当应力点处在当应力点处在f1=0
28、面上时面上时:(4.60)当应力点处在当应力点处在f2=0面上时面上时:(4.61)614.5 理想塑性材料的增量关系二、与二、与Tresca屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则当应力点处在当应力点处在f1=0及及 f2=0交点交点上时上时:(4.62)f1=0f2=0n1n2f1=0f2=0图图 4.124.12(a)(b)624.6 强化材料的增量关系634.6 强化材料的增量关系假设假设:(4.63)强化模量强化模量(4.64)Mises等向强化模型等向强化模型依赖于加载面的变化规律依赖于加载面的变化规律(4.65)(4.66)(4.67)644.6 强化材料的增量关系(4.
29、67)(4.68)(4.69)自乘自乘自乘自乘654.6 强化材料的增量关系(4.40)(4.41)可由简单拉伸的曲线来确定可由简单拉伸的曲线来确定线性强化时线性强化时:(4.42)664.7 简单加载定律674.7 简单加载定律一、简单加载一、简单加载如果应力的加载路径已知如果应力的加载路径已知,可以通过对增量应可以通过对增量应力应变的积分力应变的积分,得到应力和应变的全量关系得到应力和应变的全量关系(4.43)O321图图 4.13 简单加载简单加载主方向不变主方向不变由由(4.63)(4.63)确定确定与理想塑性的与理想塑性的Prandtl-Reuss关系形式一样关系形式一样684.7
30、简单加载定律一、简单加载一、简单加载(4.44)应力按比例增加应力按比例增加:令令:(4.45)694.7 简单加载定律一、简单加载一、简单加载应用应用:(4.46)(4.47)单一曲线假定单一曲线假定:704.7 简单加载定律一、简单加载一、简单加载全量关系表达式全量关系表达式:(4.48)(4.49)或者或者:714.7 简单加载定律二、简单加载定理二、简单加载定理依留辛条件依留辛条件:1 1、小变形；、小变形；2 2、=1/2=1/2；3 3、外载按比例单调增长；如有位移边界条件，、外载按比例单调增长；如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；只能是零位移边界条件；4 4、材料的、材料的
31、曲线具有曲线具有 形式。形式。基本的必要条件基本的必要条件724.8 全量理论与增量理论的比较73 一般的弹塑性强化材料，在加载过程中，按增量理论，最后的应变状态不仅取决于最终的应力，而且是和应变的路径有关系。按全量理论，全应变由最终的应力确定，而不管应变路径。故一般两个理论的解是不一致的。特别是在中性变载的情况，两者相差最明显。根据实验观察，对中性变载不产生塑性应变的改变，增量理论反映了这一特点，而按全量理论，只要是应力分量改变，塑性应变也要发生改变。4.8 全量理论与增量理论的比较74另外，对于弹性区和塑性区以及加载区和卸载区的分界面，既服从弹性关系、也服从于塑性关系。这种分界面称为中性区。为了保证中性区的应力和应变的连续性，则塑性关系在中性区应自动退化为弹性关系。增量理论可以保证，但全量理论不能保证这种连续性。但是在小变形条件及简单加载下，两个理论是一致的，即可由增量关系导出全量关系。在一般加载的情况下，增量理论的方法是比较合理的。而在简单加载或与此相近的情况75下，全量理论也是可用的，特别是由于全量理论在数学处理上比增量理论要方便得多，故全量理论广泛地用于解决工程问题。76此此课课件下件下载载可自行可自行编辑编辑修改，修改，仅仅供参考！供参考！感感谢谢您的支持，我您的支持，我们们努力做得更好！努力做得更好！谢谢谢谢