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1、第二章微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)微分学导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为2.1.1 导数的概念 引例2.曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速
2、度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题定义1 设函数在点存在,并称此极限为记作即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率若上述极限不存在,在点 不可导.若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.原式是否可按下述方法作:例1.证明函数在 x=0 不可导.证证:不存在,例2.设存在,求极限解解:原式例3.求函数(C 为常数)的导数.解即例4.
3、求函数解说明：说明：对一般幂函数(为常数)例如，例如，函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.即在点的某个右右 邻域内单侧导数单侧导数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x=0 处有定义定义2.设函数有定义,存在,定理定理2.函数在点且存在简写为在点处右右 导数存在定理定理3.函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间 a,b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可
4、导.可导的充分必要条件是且导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:例5.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;思考与练习思考与练习1.函数
5、 在某点 处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系?？与导函数2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解解:由题设由夹逼准则故在可导,且5.设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.考研真题考研真题1.设函数，则在 内（）（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点解：，有不可导点 选C。解解:因为2.设存在,且求所以在 处连续,且，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.3.设故作业作业P124 第1题中选一小题P124 第2题中选一小题P127 第9
6、题P127 第11题P127 第12、13题中选一题例1.求函数的导数.解解:则即类似可证得2.1.2 导数的基本公式与运算法则解即特别地,例2.例3.求函数的导数.解解:即或四则运算求导法则 定理定理1.的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.此法则可推广到任意有限项的情形.证证:设,则故结论成立.例如,(2)证证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)(3)证证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)例4.求下列函数的导数例5.求证证证:类似可证:作业作业P125 第5题中选2小题P125 第6题中选一小题在点 x 可
7、导,2.1.3 复合函数求导法则复合函数求导法则定理定理.在点可导复合函数且在点 x 可导,证证:在点 u 可导,故（当 时 )故有例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.解解例2.例1.例3.求下列导数:解:(1)(2)(3)说明:类似可得例4.设求解:思考:若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同例5.设解:作业作业P126 第7题中选3小题P127 第8题2.2.4 2.2.4 反函数和隐函数的导数反函数和隐函数的导数 定理定理.y 的某邻域内单调可导,证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此例1.求反三角函数
8、及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得利用,则2)设则特别当时,小结小结:常数和基本初等函数的导数例2.求解:例3.设解:求例4.求解:关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导*例5.设求解:隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数,由表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:两边对 x 求导(含导数 的方程)例6.求由方程在x=0 处的导数解:方程两边对x 求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数例7.求椭圆在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即例8.求的
9、导数.解:两边取对数,化为隐式两边对 x 求导对数求导法对数求导法 1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如例如,两边取对数两边对 x 求导又如又如,对 x 求导两边取对数设 f 可导，求下列函数的导数：1.2.3.解 1.2.3.抽象函数求导例9.内容小结内容小结1.求导公式及求导法则注意注意:1)2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.2.隐函数求导法则直接对方程两边求导3.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数1.设其中在因故正确解法:时,下列做法是否正确?在求处连续,思考与练习思考与练习2.设求解解:方法方法1 利用导数定义.方法方法2 利用求导公式.求其反函数的导数.解:方法1方法2 等式两边同时对 求导3.设4.设由方程确定,解解:方程两边对 x 求导,得再求导,得当时,故由 得再代入 得 求考研真题考研真题1.设 是由方程 所确定的隐函数，则 解：2.曲线 上与直线 垂直的切线方程为（）解：3.已知 是周期为5的连续函数，它在 的某邻域内满足关系式，其中是当 时比 高阶的无穷小，且 在 处可导，求曲线 在点 处的切线方程。思路：故切线方程为 作业作业P127 第14题中选2小题P127 第15题中选1小题P127 第16题中选1小题P128 第17题中选1小题