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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四四章 4.4 知识储备（知识储备（2）导数及其运算导数及其运算4.4.2 导数的基本运算公式导数的基本运算公式 4.4.1 导数的定义导数的定义 4.4.3 导数的基本运算法则导数的基本运算法则 4.4.4 高阶导数高阶导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.4.1 导数的定义 1 1、速度问题、速度问题如果运行的轨迹方程是 ，表时间，表 时刻的位置，则 时刻的速度（即瞬时速度），为平面曲线 ：在曲线上点 处的切线斜率为：2 2、切线斜率问题、切线斜率问题定义定义 设函数在有定义，若极限 存在，则称这个极限为函数 在的导数，记为，或，即（1）机动
2、目录 上页 下页 返回 结束 注注 1）在上述极限存在时，也说函数在点可导，否则说不可导。2）导数另一表达形式：令，则当时，而，于是有（2）3）若都存在导数（3）对成为 的函数，称为 的导函数导函数。4）导数表示函数在某一点的变化率。机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.4.2 导数的基本运算公式例例1515 求的导函数。由定义及二项展开式得解机动 目录 上页 下页 返回 结束 即有实际上，有 特别是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1616 求的导数。有解这个结果在前面的例8中已给出。于是有公式同理可证机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1717 求的导数。因为解所以机动 目录
3、 上页 下页 返回 结束 特别是当时，上述公式变成于是有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1818求的导数。因为解令，时，则当于是得机动 目录 上页 下页 返回 结束 有将上式中的底换成，就有反三角函数的导数公式：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1919 求常数函数的导数。不论自变量取何值，函数值均为同一常数，故 解既有4个三角函数的导数公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.4.3 导数的基本运算法则1、导数的四则运算法则1）有限个函数的代数和的导数等于每个函数的导 数的代数和：2）两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数 乘以第二个函数，再加上第二个函数的导数乘 以第
4、一个函数：机动 目录 上页 下页 返回 结束 3）两个函数商的导数等于分子的导数与分母乘积 减去分母的导数与分子乘积的差，再除以分母 的平方：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2020按上述法则，有 解求函数的导数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2121按商的求导法则，有 解求函数的导数。同理可证机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2222解求函数的导数。请注意，不能认为，因为这个函数不是基本初等函数，而是由和这两个基本初等函数经过复合而形成的复合函数。因为按四则运算法则求得其导数为，因此可这个导数结果恰好是构成这个复合函数的两个基本初等函数和分别对各自的自变量求导结果的乘
5、积：机动 目录 上页 下页 返回 结束 设，而，2、复合函数求导法则 其中 为中间变量，则复合的导数为函数注 1）法则指出，由两个基本初等函数复合而成的复 合函数，其关于自变量的导数等于函数关于中 间变量的导数与中间变量关于自变量的导数的乘积。最后结果要将中间变量用自变量的表示式代回。机动 目录 上页 下页 返回 结束 2）由法则可见，求导前要先行将复合函数分解成 两个函数，即和，之后再分别求导相乘即可。这就产生一个需要解决的问题：将一个复合函数分解到什么情形最恰当？简单地说，就是分解出的每一个函数，我们都会对它们求导。那么哪些函数我们已经会求导了呢？显然只有两类：一类是基本初等函数有公式可套
6、；另一类自然是由基本初等函数经四则运算构成的函数有导数的四则运算法则可用。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2323 求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（1）先进行分解：，则有解机动 目录 上页 下页 返回 结束（2）将函数看成是两个函数的乘积，有其中后一项实际上是由复合而故有成的复合函数，其导数为（3）可将函数看成是两个函数的商，按商的运算 法则就有机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是得其中的的导数可以看成是由复合而成的复合函数的导数，其导数为机动 目录 上页 下页 返回 结束（4）构成这个函数的两个函数实际上都是复合 函数，但其间是乘积关系，于是有机动 目录 上页 下页
7、返回 结束 4.4.4 高阶导数是位置函数对时间的导数，即又是对时间 的变化率，即速度的二阶导数，记作 变速直线运动的速度或，而加速度速度的导数：或叫做 对或所以，直线运动的加速度就是位置函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数的导数仍然可导，且它那么我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或相应地我们把的导数的一阶导数。叫做函数类似地，二阶导数的导数，叫做函数导数的导数叫做的三阶导数，一般地，叫做函数的 n 阶导数，记做.或高阶导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数，所以求高阶导数在计算方法上没有新东西，仍可沿用
8、前面学过的求导方法来计算高阶导数。求指数函数例例2424的 n 阶导数。一般地，可得解由，即机动 目录 上页 下页 返回 结束 求正弦函数例例2525的 n 阶导数。因为，故得解机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地，可得 即类似地有机动 目录 上页 下页 返回 结束 求对数函数例例2626的 n 阶导数。解可知即，规定，所以这个公式当时也成立。机动 目录 上页 下页 返回 结束 归纳：1、基本导数公式（1）（2）（3）（5）（4）；机动 目录 上页 下页 返回 结束（7）（6）机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、基本运算法则（1）四则运算法则i）iii）ii）（2）复合函数求导法则若函数则函数关于自变量的导数等于机动 目录 上页 下页 返回 结束