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1、5.2.2导数的四则运算法则基础过关练题组一导数的四则运算法则1.(2021黑龙江哈尔滨九中月考)已知f(x)=excos x,则f(0)=()A.-1B.0C.1D.e2.(2022北京通州期末)已知f(x)=tan x,则f (x)=()A.1sin2xB.1cos2xC.-1sin2xD.-1cos2x3.(2022江西吉安期末)已知函数f(x)=x+aex,若f (0)=-1,则a=()A.-1B.0C.1D.24.(2021河南焦作期末)已知函数f(x)=ex-e2x2, f (x)为f(x)的导函数,若f (a)=f(a),则a=()A.0B.-1C.2D.0或25.已知函数f(x
2、),g(x)满足f(5)=5, f (5)=3,g(5)=4,g(5)=1,若h(x)=f(x)+2g(x),则h(5)=.6.求下列函数的导数.(1)y=x-2+x2;(2)y=3xex-2x+e;(3)y=lnxx2+1;(4)y=x2-4sin x2cos x2.题组二求导法则的综合应用7.(2021江苏南通如东期末)一物体做直线运动,其位移s与时间t的关系是s=t2+2t,则物体在t=2时的瞬时速度为()A.4B.6C.8D.108.已知函数f(x)=f (1)+xln x,则f(e)=()A.1+eB.eC.2+eD.39.(2021甘肃武威第一中学月考)若曲线y=2x-2x在x=1
3、处的切线的倾斜角为,则cos21+tan=()A.-1B.-15C.3D.210.(2022山西太原期中)已知曲线y=ln x+1在点(1,1)处的切线也为曲线y=ex+a的切线,则a=()A.0B.1C.-1D.211.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中,斜率最小的切线的方程为.12.(2022湖南益阳期末)已知函数f(x)=exln x+3x.(1)求f(x)的导数f (x);(2)求函数f(x)的图象在点(1, f(1)处的切线方程.能力提升练题组导数的四则运算法则及其应用1.(2022湖南邵东第一中学月考)已知函数f(x)=14x2+cos x, f (x)是函数f(x)的导
4、函数,则f (x)的图象大致是()2.(多选)(2022河北邢台月考)过点32,0且与曲线y=x2ex相切的切线的斜率可能为()A.0B.8e2C.-34e32D.13.已知f (x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f (x)=ex(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数), f(0)=1,则()A.f(x)=ex(x+1)B.f(x)=ex(x-1)C.f(x)=ex(x+1)2D.f(x)=ex(x-1)24.(2022江西抚州期末)丹麦数学家琴生(Jensen)对数学分析做出了卓越贡献,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在区间(a,b)内的
5、导函数为f (x), f (x)在区间(a,b)内的导函数为f (x),若在区间(a,b)内f (x)0,曲线y=f(x)在点P(t, f(t)处的切线为l,l与两坐标轴围成的三角形面积为S(t),求S(t)的解析式.答案全解全析基础过关练1.Cf(x)=excos x-exsin x,所以f(0)=1.故选C.2.Bf (x)=(tan x)=sinxcosx=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x.故选B.3.D由题意得f (x)=ex(x+a)exe2x=1xaex,所以f (0)=1ae0=-1,所以a=2.故选D.4.D由题意得f (x)=ex-ex,根据已知条件得ea-e2
6、a2=ea-ea,解得a=0或a=2.5.答案516解析由题意得h(x)=f (x)g(x)f(x)+2g(x)g(x)2,由f(5)=5, f (5)=3,g(5)=4,g(5)=1,得h(5)=f (5)g(5)f(5)+2g(5)g(5)2=34(5+2)142=516.6.解析(1)y=2x-2x-3.(2)y=(ln 3+1)(3e)x-2xln 2.(3)y=x2+12x2lnxx(x2+1)2.(4)y=x2-4sin x2cos x2=x2-2sin x,y=2x-2cos x.7.B因为s=t2+2t,所以s=2t+2,则有st=2=22+2=6,即物体在t=2时的瞬时速度为
7、6,故选B.8.Af(x)=f (1)+xln x,f (x)=ln x+1,f (1)=ln 1+1=1,则f(x)=1+xln x,f(e)=1+eln e=1+e.9.B易得y=1x+2x2,当x=1时,y=1+2=3,所以tan =3,所以cos 2=cos2sin2cos2+sin2=1tan21+tan2=191+9=-45,所以cos21+tan=-4514=-15.故选B.10.C由y=ln x+1求导得y=1x,x0,则曲线y=ln x+1在点(1,1)处的切线的斜率为1,切线的方程为y=x,设直线y=x与曲线y=ex+a相切的切点为(t,et+a),由y=ex+a求导得y=
8、ex,所以et=1,et+a=t,解得t=0,a=1,故选C.11.答案3x-y-11=0解析易得y=3x2+6x+6=3(x2+2x+2)=3(x+1)2+33,当x=-1时,y的值最小,即切线的斜率最小,为3,此时切点为(-1,-14),切线方程为y+14=3(x+1),即3x-y-11=0.12.解析(1)f (x)=exln x+ex1x+3=exlnx+1x+3.(2)由(1)知 f (1)=e+3,又f(1)=3,所以切线方程为y-3=(e+3)(x-1),即y=(e+3)x-e,所以函数f(x)的图象在点(1, f(1)处的切线方程是y=(e+3)x-e.能力提升练1.Af(x)
9、=14x2+cos x,f (x)=12x-sin x,易知f (x)是奇函数,故排除B,D.当x=4时, f 4=8-220,故排除C.故选A.2.ABC因为y=x2ex,所以y=(x2+2x)ex,所以曲线y=x2ex在点(x0,x02ex0)处的切线方程为y-x02ex0=(x02+2x0)ex0(x-x0).将32,0代入,得x0ex0(2x02-x0-6)=0,即x0(x0-2)(2x0+3)ex0=0,解得x0=0或x0=2或x0=-32,因为yx=0=0,yx=2=8e2,y x=32=-34e32,所以过点32,0且与曲线y=x2ex相切的切线的斜率可能为0,8e2,-34e3
10、2.故选ABC.3.D由f (x)=ex(2x-2)+f(x),得f (x)f(x)ex=2x-2,即f(x)ex=2x-2,所以f(x)ex=x2-2x+c(c为常数),所以f(x)=ex(x2-2x+c),又因为f(0)=1,所以c=1,所以f(x)=ex(x-1)2.故选D.易错警示已知原函数可求出唯一的导函数,已知导函数求原函数时,结论不唯一,如本题中由y=2x-2可以得到y=x2-2x+c(c为常数),解题时容易将c遗漏导致解题错误.4.BA中, f (x)=1+2cos x, f (x)=-2sin x,显然在定义域内f (x)的值有正有负,故不是“凸函数”;B中, f (x)=1
11、-ex, f (x)=-ex0,故不是“凸函数”;D中, f (x)=1xex, f (x)=x2ex,在定义域内f (x)的值有正有负,故不是“凸函数”.故选B.5.答案132解析因为f(x)=f 2sin x-cos x,所以f (x)=f 2cos x+sin x,所以f 2=f 2cos 2+sin 2,即f 2=1,所以f (x)=cos x+sin x,所以f 56=cos 56+sin 56=-32+12=132,故答案为132.6.答案y=(8e2-4)x-12e2+4解析xf (x)-2f(x)=x3ex,x(0,+),xf (x)2f(x)x3=ex.令g(x)=f(x)x
12、2,则g(x)=xf (x)2f(x)x3=ex,g(x)=f(x)x2=ex+c(c为常数),f(x)=x2(ex+c).又f(1)=e+c=e-1,c=-1,f(x)=x2(ex-1),f (x)=2x(ex-1)+x2ex,f (2)=8e2-4.又f(2)=4(e2-1),所求切线方程为y-4(e2-1)=(8e2-4)(x-2),即y=(8e2-4)x-12e2+4.7.答案992解析依题意得,g(x)=6x2-6x,g(x)=12x-6,令g(x)=0,解得x=12,g12=12,函数g(x)的图象的对称中心为点12,12,则g(1-x)+g(x)=1,1100+99100=210
13、0+98100=49100+51100=1,g1100+g99100=g2100+g98100=g49100+g51100=1,g1100+g2100+g99100=g1100+g99100+g2100+g98100+g49100+g51100+g12=49+12=992.8.解析(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f (x)=2ax+b, f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c.由已知得2ax+b=(a+1)x2+(2a+b)x+a+b+c,a+1=0,2a+b=2a,a+b+c=b,解得a=1,b=0,c=1,f(x)=-x2+1.(2)由(1)得P(t,1-t2),切线l的斜率k=f (t)=-2t,切线l的方程为y-(1-t2)=-2t(x-t),即y=-2tx+t2+1.令y=0,得x=t2+12t,令x=0,得y=t2+1,l与x轴的交点坐标为t2+12t,0,l与y轴的交点坐标为(0,t2+1),S(t)=12t2+12t(t2+1)=(t2+1)24t(t0).9学科网（北京）股份有限公司