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1、2022-2023学年度（上）沈阳铁路实验中学高一期末考试高一年级数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再根据并集运算的定义求解即可【详解】解：，故选：D【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题2. 设函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】要使有意义，根据抽象函数的定义域、对数真数不为0、分母不为0可得到答案.【详解】要使有意义，只需，即，解得或，则函数的定义域为.故选：B.
2、3. 在人类中，双眼皮由显性基因控制，单眼皮由隐性基因控制当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮随机从父母的基因中各选出一个或者基因遗传给孩子组合成新的基因根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分不必要条件概念判断即可.【详解】若父母均为单眼皮， 则父母的基因一定为和， 孩子就一定是单眼皮 若孩子为单眼皮， 则父母的基因可能是和，即父母均为双眼皮， 故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件故选：A4. 当时
3、，函数（ ）A. 有最大值B. 有最小值C. 有最大值4D. 有最小值4【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值.【详解】，当且仅当时等号成立，故选：A5. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由对数运算性质化简，结合不等式性质或构造讨论单调性即可判断.【详解】，解法一：因为，所以解法二：设，则，又因为在上单调递增，所以故选：B6. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事
4、件.下列结论中不正确的是（ ）A. B. 事件A与事件相互独立C. 与和为D. 事件A与事件B互斥【答案】D【解析】【分析】分别求出，进一步求出与，从而判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项.【详解】，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确，故A正确，故C正确事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误.故选：D.7. 我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，已知，则（
5、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.【详解】由题意,即，所以 故选：A.8. 已知函数若（，互不相等），则的取值范围是（注：函数在上单调递减，在上单调递增）（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，设，由图象的性质求得，再利用双勾函数求得，代入可得选项【详解】作出函数的图象如下图所示：设，且，当时，即，所以，所以， 当时，解得，所以设，又函数在上单调递增，所以，即，所以，即，故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的函数值相等的问题，解决的关键在运用运用数形结合的思想，作出函数的图象，求得变量
6、的范围二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是（ ）A. 平均数为2，中位数为3B. 平均数为1，方差大于0.5C. 平均数为2，众数为2D. 平均数为2，方差为3【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断A，D；举例说明判断B，C作答.【详解】对于A，因1
7、0个数的平均数为2，中位数为3，将10个数从小到大排列，设后面4个数从小到大依次为a，b，c，d，显然有，而，则d的最大值为5，A符合条件；对于B，平均数为1，方差大于0.5，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，其平均数为1，方差大于0.5，B不符合；对于C，平均数为2，众数为2，可能存在大于7数，如连续10天的数据为：0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，其平均数为2，众数为2，C不符合；对于D，设连续10天的数据为，因平均数为2，方差为3，则有，于是得，而，因此，D符合条件.故选：AD10. 如图，由到的电路中有4个元件，分别标为元件1，元
8、件2，元件3，元件4，电流能通过元件1，元件2的概率都是，电流能通过元件3，元件4的概率都是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知元件1，元件2中至少有一个能通过电流的概率为0.96，则（ ）A. B. 元件1和元件2恰有一个能通的概率为C. 元件3和元件4都通的概率是0.81D. 电流能在与之间通过的概率为0.9504【答案】ACD【解析】【分析】根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案.【详解】对于A，由题意，可得，整理可得，则，则，故A正确；对于B，故B错误；对于C，故C正确；对于D，元件3，元件4中至少有一个能通过电流的概率为，则电流能在与之间通过的概率为，故
9、D正确.故选：ACD.11. 在中，是中线，则下列等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】延长至，使，根据平面向量加法的平行四边形法则，即可判断A是否正确；由题意可知，结合，根据共线定理即可求出，即可判断B,D是否正确；由于，同底，以及，结合相似关系，可得，即可判断C是否正确.【详解】延长至，使，如下图所示，则是平行四边形，所以，故A正确；因为，故B正确，D错误；分别故作边的垂线，垂足分别为，如下图所示：则，又，所以，所以与高之比为，又，的底均为，所以，故C正确.故选:ABC.12. 氡(Radon) 又名氭， 是一种化学元素， 符号是 Rn 氡元素对应的
10、单质是氡气， 为无色、无臭、 无味的惰性气体， 具有放射性 已知放射性元素氡的半衰期是天， 经天衰变后变为原来的（且）， 取， 则（ ）A. 经过天以后， 空元素会全部消失B. 经过天以后， 氡元素变为原来的C. D. 经过天以后剩下的氡元素是经过天以后剩下的氡元素的【答案】BC【解析】【分析】根据指数函数模型，依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A，因为放射性元素氡的半衰期是天， 所以经过天以后， 氡元素变为原来的，故经过天以后， 氡元素不会全部消失，A错误对于D，经过天以后剩下的氡元素为原来的 ， 经过天以后剩下的氡元素为原来的，故D错误 对于B，因为放射性元素氡的半衰期是天， 所以要使
11、氡元素变为原来的，则，故需经过天，B 正确对于C，因为放射性元素氡的半衰期是天， 所以， 即，因为 ， 所以因为函数在上单调递增， 所以， C正确故选：BC第卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 袋子中有四个小球，分别写有“中华民族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中华民族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为_.【答案】【解析】
12、【分析】利用古典概型的随机数法求解.【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，所以恰好抽取三次就停止的概率约为，故答案为：14. 设，且，则_【答案】20【解析】【分析】显然用对数式表示出后代入，运用对数的运算法则化简可得答案.【详解】依题意有故答案为：2015. 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲乙丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为_.【答案】【解析】【分析】先算出甲乙2
13、人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案.【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率.同理，丙购买不到冰墩墩的概率.所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.故答案为：.16. 在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为_.【答案】9【解析】【分析】根据向量共线定理得推论得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以，又，故，当且仅当，即时等号成立.故答案为：9.四、
14、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知（1）当k为何值时，与共线；（2）若且A，B，C三点共线，求m的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；（2）由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解【小问1详解】，又与共线，即；【小问2详解】，、三点共线，即18. 2018年4月4日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降30%以上，为响应国家政策，某通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA
15、303000B506000这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值2000M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充值2000M流量，资费20元，以此类推此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零，不可次月使用小张过去50个月的手机月使用流量（单位：M）的频数分布表如下：月使用流量分组20003000(3000,4000(4000,5000(5000,6000(6000,7000(7000,8000频数451116122根据小张过去50个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：（1）若小张选择A套餐，将以上频率作为
16、概率，求小张在某一个月流量费用超过50元的概率.（2）小张拟从A或B套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？说明理由.【答案】（1）; （2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题中所给的条件，求得随着流量的变化，求得对应的费用，利用公式求得对应的概率；（2）选用哪种套餐的标准是哪种更省钱，所以分别算出两种套餐对应的费用，进行比较大小，求得结果.【小问1详解】（1）设使用流量M，流量费用为，当当所以流量费用超过50元概率：【小问2详解】设：表示A套餐的月平均消费；表示B套餐的月平均消费. .故选：套餐B.19. 已知函数，其中且（1）若且函数的最大值为2，求实数a的值（2
17、）当时，不等式在有解，求实数m的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将代入函数得出解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类讨论和时在的单调性，由此确定最大值，即可解出实数a的值（2）由对数函数性质可得，再由对数单调性可得，利用换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到m的取值范围【小问1详解】当时，所以，当时，在定义域内单调递增，解得当时，在定义域内单调递减，解得，不符合题意，舍去综上所述，实数a的值为.【小问2详解】要使在上有意义，则，解得由，即，因为，所以即，得，令，记，对称轴为，若不等式在有解，则在有解即，即综上所述，实数m的取值范围为20. 甲、乙两人进行
18、围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢（1）求第四盘棋甲赢的概率；（2）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，再利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答.（2）甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是甲在第三盘赢、第四盘赢、第五盘赢的互斥事件的和，再利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答.【小问1详解】记第四盘棋甲赢的事件为A，它是第
19、三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，则，所以第四盘棋甲赢的概率是.【小问2详解】记甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和，甲只在第三盘赢的事件为、只在第四盘赢的事件为、只在第五盘赢的事件为，则，则有，所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为.21. 已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的解析式；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式；（2）由复合函数单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得的取值范围【详解】（1）
20、因为函数为奇函数，所以，即，所以，所以，可得，函数.（2）由（1）知所以在上单调递减.由，得，因为函数是奇函数，所以，所以，整理得，设，则，当时，有最大值，最大值为.所以，即.【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.22. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足：，则称函数是上的“平均值函数”，是它的平均值点.（1）函数是否是上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由；（2）现有函数是上
21、的平均值函数，求实数的取值范围.【答案】（1）函数是上的“平均值函数”，0是它的平均值点 （2）【解析】【分析】（1）根据“平均值函数”的定义，假设求，确定是否在上即可判断是否是上的“平均值函数”.（2）由题设，设是平均值点可得，应用换元法则在区间上有解，法一：利用二次函数的性质，讨论区间内根的个数求参数范围；法二：应用参变分离思想，将方程整理为，讨论t，结合的性质求参数范围.【小问1详解】函数是上的“平均值函数”，理由如下：，设是它的平均值点.，则有解得：.函数是上的“平均值函数”，0是它的平均值点.【小问2详解】由题意得：，设是它的平均值点，即，整理得：.令，则有解.法一：令，当在内有一个实根时，解得.当在内有两个不等的实根时，可得，故.综上所述：.法二：整理得，当，即时，解得（矛盾），故.当，即时，整理得：令在上单调递增，即.