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1、第二章方程(组)与不等式(组)第一部分河北中考考点过关河北中考数学第一节 一次方程(组)及其应用目录（河北中考）考点考点1 一元一次方程及其解法考点2 二元一次方程(组)及其解法考点3 一次方程(组)的实际应用考点4 一次方程(组)的实际应用方法命题角度1 一次方程(组)的解法命题角度2 一次方程(组)的实际应用考点一元一次方程及其解法考点11.等式的基本性质性质1等式两边加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍是等式,即若a=b,则ac=.性质2等式两边乘以同一个数或除以同一个不为0的数,结果仍是等式,即若a=b,则ac=;若a=b,c0,则 =.bcbcbcbc一元一次方程及其解法考点12
2、.一元一次方程只含有个未知数(元),未知数的次数是,且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程,一般形式:ax+b=0(a0).3.解一元一次方程的一般步骤一1 1二元一次方程(组)及其解法考点2定义含有两个未知数,且含有未知数的项的次数都是1的整式方程,称为二元一次方程,一般形式:ax+by=c(a0,b0);把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.解法思路,即将二元一次方程组转化为一元一次方程.解法消元法:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.消元法:当二元一次方程组的两
3、个方程中同一未知数的系数是相反数或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.消元代入加减一次方程(组)的实际应用考点3(1)审:审清题意,分清题中的已知量和未知量,明确各数量之间的关系;(2)设:设出关键未知数(可设直接或间接未知数);(3)列:根据题中的等量关系,列方程(组);(4)解:解方程(组);(5)验:检验所解答案是否正确,是否符合题意和实际情况;(6)答:规范作答,注意单位名称.1.列一次方程(组)解应用题的一般步骤一次方程(组)的实际应用考点32.几种常见的方程类型、基本数量关系常见类型基本关系行
4、程问题相遇问题甲走的路程+乙走的路程=全路程.追及问题同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程.同时不同地出发:前者走的路程+两地距离=追者走的路程.航行问题顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度.销售问题利润=售价-进价(不考虑其他费用),总利润=单件的利润销售量,利润率=利润进价100%,总价=单价数量.一次方程(组)的实际应用考点3常见类型基本关系利率问题利息=本金利率期数,本息和=本金+利息=本金+本金利率期数=本金(1+利率期数),年利率=月利率12,月利率=年利率 .增长率问题增长率=增长量原有量100%,现产量=原产量(1+增长率).如原产量为a,产量提高1
5、0%后为a(1+10%).数字问题两位数的表示方法:一个两位数个位上的数是a,十位上的数是b,那么这个两位数是.如89可表示为810+9.工程问题工作总量=工作效率工作时间,各部分工作量之和为1.10b+a10b+a方法一次方程(组)的解法命题角度1例1 2020江苏南京已知x,y满足方程组 则x+y的值为_.【思路分析】方法一:解方程组求得x,y的值,再求出x+y的值.方法二:2+可得5x+5y的值,从而求得x+y的值.1 1一次方程(组)的解法命题角度1二元一次方程组的一般解法二元一次方程组的一般解法提分技法提分技法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数是相反数或相等时,可用加减消元
6、法;当系数既不是相反数也不相等时,可通过找系数的最小公倍数将系数变成相等或相反数,再用加减消元法求解.注意:若涉及求方程组中两个未知数的代数式的值时,可以先考虑将方程组的两个方程相加或相减,再比较所得式子与所求代数式的异同,从而求解.一次方程(组)的实际应用命题角度2例2 2019江苏盐城体育器材室有A,B两种型号的实心球,1只A型球与1只B型球的质量共7千克,3只A型球与1只B型球的质量共13千克.(1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克?(2)现有A型球、B型球的质量共17千克,则A型球、B型球各有多少只?【思路分析】(1)根据1只A型球与1只B型球的质量共7千克,3只A型球与1只B型
7、球的质量共13千克得出方程组,求解即可;(2)利用分类讨论得出方程的解即可.一次方程(组)的实际应用命题角度2【自主解答】解：(1)(1)设每只A A型球、B B型球的质量分别是x x千克、y y千克,根据题意,得 解得 答:每只A A型球的质量是3 3千克、B B型球的质量是4 4千克.(2)(2)设A A型球a a只,B,B型球b b只,根据题意,得3a+4b=17.3a+4b=17.a,ba,b都是正整数,a=3,b=2.,a=3,b=2.答:A:A型球有3 3只,B,B型球有2 2只.一次方程(组)的实际应用命题角度2一次方程一次方程(组组)实际应用题的解题思路实际应用题的解题思路提分
8、技法提分技法1.设元的方法.(1)直接设元法:直接设要求的量为未知数;(2)间接设元法:当问题较复杂时,有时设与要求的未知量相关的一些量为未知数,即为间接设元.无论怎样设元,设几个未知数,就要列几个方程.2.用一次方程组求解的应用题,一般有两个相等关系,若列一元一次方程求解,则这两个相等关系一个用来设出未知数后表示另一个未知数,另一个相等关系用来列方程;若列二元一次方程组,则这两个相等关系均用来列方程.第二章方程(组)与不等式(组)第一部分河北中考考点过关河北中考数学第二节 分式方程及其应用目录（河北中考）考点考点1 分式方程及其解法考点2 分式方程的实际应用方法命题角度1 解分式方程命题角度
9、2 分式方程的实际应用考点分式方程及其解法考点11.分式方程的概念 分母中含有_的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法 基本思路 去分母,化分式方程为整式方程.一般步骤(1)方程两边同乘以各分式的,将其化为整式方程;(2)解整式方程;(3)检验,把整式方程的解代入最简公分母,看计算结果是否为0,若结果不为0,则此解是原分式方程的解;若结果为0,则此解为原分式方程的增根.验根方法法一:利用方程解的定义,把整式方程的解直接代入原方程检验.法二:把整式方程的解代入最简公分母,看计算结果是否为0.未知数最简公分母分式方程及其解法考点13.分式方程的增根增根概念 分式方程化为整式方程后,整式方程的根使分
10、式方程中分母的值为0时,分式方程无解,这样的根叫做分式方程的增根.检验方法 利用方程的解的定义进行检验.将解得的整式方程的根代入最简公分母,看计算结果是否为0,不为0就是原分式方程的根,若为0则为增根,必须舍去.分式方程有增根与分式方程无解的关系:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母的值为0的根.分式方程的实际应用考点21.列分式方程解应用题的一般步骤审审清题意,分清题中的已知量、未知量,搞清等量关系.设设出未知数.列根据题中的等量关系,列出分式方程.解解分式方程.验既要检验所得的解是不是分式方程的解,又要检
11、验所得的解是否符合实际问题.答完整答题(包括单位).分式方程的实际应用考点22.常见模型及关系式行程问题基本数量关系:时间=常用等量关系:=时间差(注意时间单位统一)工程问题基本数量关系:工作时间=常用数量关系:时间差，销售问题 基本数量关系:=数量分式方程的实际应用考点2注意:若一项工程的工程量为1,甲单独做用x天完成,乙单独做用y天完成,则甲每天做,乙每天做,甲、乙合作每天做,甲、乙合作完成需要的时间是天.方法解分式方程命题角度1例1 2020 江苏南京方程 的解是_.【思路分析】根据分式方程的解法解之即可,注意不要忽略验根步骤.解分式方程必须要验根解分式方程必须要验根提分技法提分技法解分
12、式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0(称为增根),所以解分式方程一定要验根,这也是不同于解整式方程的重要步骤.分式方程的实际应用命题角度2【自主解答】解:设原来每天的用水量是x x吨,则现在每天的用水量是 x x吨.根据题意,得 ,解得x=10.x=10.经检验,x=10,x=10是原分式方程的根.当x=10 x=10时,x=x=10=8.10=8.答:现在每天的用水量是8 8吨.分式方程的实际应用命题角度2列分式方程解决列分式方程解决实际问题列分式方程解决实际问题与列其他方程解决实际问题的方法和过程类似,都需要经历审题、设元、列方程、解方程和作答这样几个步骤,不同的是
13、如果所列方程是分式方程,必须检验该根是不是分式方程的根,然后再作答.另外,在列分式方程时,应注意方程两边的单位要统一.提分技法提分技法第二章方程(组)与不等式(组)第一部分河北中考考点过关河北中考数学第三节 一元二次方程及其应用目录（河北中考）考点考点1 一元二次方程考点2 一元二次方程的解法考点3 一元二次方程根的判别式考点4 一元二次方程的应用方法命题角度1 解一元二次方程命题角度2 一元二次方程的判别式命题角度3 一元二次方程的实际应用考点一元二次方程考点1定义只含有个未知数,且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一般形式 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0)方程的根使方
14、程左右两边相等的的值就是这个一元二次方程的根(或解).一2 2整式未知数一元二次方程的解法考点2解法适用情况方程的根直接开平方法x2=m(m0)(x+n)2=p(p0)配方法ax2+bx+c=0(x+n)2=p(p0)公式法ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)x=_ _ 因式分解法ax2+bx+c=0a(x-m)(x-n)=0(a0)x1=m,x2=n一元二次方程根的判别式考点3关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为 ,通常用希腊字母“”表示.方程ax2+bx+c=0的根的情况:b2-4ac0方程有的实数根.b2-4ac=0方程有的实数根.b2-4acb,则acbc.性
15、质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向,即若ab,c0,则acbc(或 ）.性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向 ,即若ab,c0,则acbc(或 ).不变不变 改变 一元一次不等式及其解法考点2定义含有一个未知数,未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式.一般地,能够使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解,所有这些解的全体称为这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.解法步骤一般步骤:去分母去括号移项合并同类项系数化为1.一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法类似,不同的是当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时,不等号方
16、向要改变.解集在数轴上的表示xa xa在数轴上表示解集时,要注意“两定”.1.定边界点:“”或“”在数轴上表示为实心圆点,“”在数轴上表示为空心圆圈.2.定方向:小于向左,大于向右.一元一次不等式及其解法考点2温馨提示温馨提示一元一次不等式组的解法考点3由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.1.一元一次不等式组2.解不等式组的一般步骤先分别解出每个一元一次不等式,再求出它们解集的,即为不等式组的解集.公共部分一元一次不等式组的解法考点33.一元一次不等式组的解集表示类型(ab)在数轴上的表示口诀解集 同大取大_ 同小取小xb 大小小大中间找 _ 大大小小解
17、不了无解xaxabxabxa一元一次不等式的实际应用考点41.一般步骤2.不等式实际问题中,常见关键词与不等号的关系表常见关键词符号大于,多于,超过,高于小于,少于,不足,低于至少,不低于,不小于,不少于_ 至多,不超过,不高于,不大于_方法 解一元一次不等式组命题角度1例1 解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答.(1)解不等式,得_;(2)解不等式,得_;(3)把不等式和的解集在如图所示的数轴上表示出来:(4)原不等式组的解集为_;(5)原不等式组的非负整数解为_.【思路分析】先根据不等式的基本性质分别解不等式,再根据不等式组解集的表示求解即可.x-2x-2x1x1-2x1-2x10,1
18、0,1 解一元一次不等式组命题角度1确定一元一次不等式组的解集的两种常用方确定一元一次不等式组的解集的两种常用方法法1.数轴法:先把不等式组中的每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来,再找出它们的公共部分,就是不等式组的解集,若无公共部分,则该不等式组无解.2.口诀法:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到.提分技法提分技法一元一次不等式的实际应用命题角度2例2 2020辽宁辽阳某校计划为教师购买甲、乙两种词典.已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元,购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元.(1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元.(2)学校计划购买甲种词典
19、和乙种词典共30本,总费用不超过1 600元,那么最多可购买甲种词典多少本?【思路分析】(1)设每本甲种词典的价格为x元,每本乙种词典的价格为y元,根据题意列出关于x,y的二元一次方程组,解之即可.(2)设学校购买甲种词典m本,则购买乙种词典(30-m)本,根据总费用不超过1 600元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出结论.一元一次不等式的实际应用命题角度2【自主解答】解:(1):(1)设每本甲种词典的价格为x x元,每本乙种词典的价格为y y元,根据题意,得 解得答:每本甲种词典的价格为7070元,每本乙种词典的价格为5050元.(2)(2)设购买甲种词典m m本,则购买乙种词典
20、(30-m)(30-m)本,根据题意,得70m+50(30-m)1 600,70m+50(30-m)1 600,解得m5.m5.答:学校最多可购买甲种词典5 5本.一元一次不等式的实际应用命题角度2列一元一次不等式解决实际问题的步骤列一元一次不等式解决实际问题的步骤1.审:认真审题,分清已知量和未知量,找出能表示题目含义的一个不等关系;2.设:设出适当的未知数;3.列:根据题中不等关系列出不等式;4.解:解一元一次不等式,求出其解集;5.验:检验所求出的不等式的解集是否符合题意;6.答:写出答案.注意:审题是解决实际问题的基础,找到题中的不等关系是解题的关键,也是解题的难点,要抓住题目中的关键词“大于”“小于”“不等于”“不小于”“至少”“最多”“超过”“不超过”等,理解它们的含义,并且要明确不等号中是否包含等号.提分技法提分技法一元一次不等式的实际应用命题角度2利用不等式解决实际问题时的注意事项利用不等式解决实际问题时的注意事项1.设未知数时,表示不等关系的文字(如“至少”“最大”等)不能出现.2.利用不等式解决实际问题时,要注意问题中的限制条件,取解时必须使实际问题有意义,如人数、次数、物体的个数等为非负整数;长度、面积等为正数.提分技法提分技法