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1、等人在70年代提出了一种以定性与定量相结合，系统化、层次化分析问题的方法，称为层次分析法（Analytic Hiearchy Process，简称AHP）。层次分析法将人们的思维过程层次化，逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供了较具说服力的定量依据，层次分析法的提出不仅为处理这类问题提供了一种实用的决策方法，而且也提供了一个在处理机理比较模糊的问题时，如何通过科学分析，在系统全面分析机理及因果关系的基础上建立数学模型的范例。一、层次分析的基本步骤 层次分析过程可分为四个基本步骤：（1）建立层次结构模型；（2）构造出各层次中的所有判断矩阵；（3）层次单排序及一致性
2、检验；（4）层次总排序及一致性检验。下面通过一个简单的实例来说明各步骤中所做的工作。第1页/共41页例1 某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何使用。可供选择的方案有：给职工发奖金、扩建企业的福利设施（改善企业环境、改善食堂等）和引进新技术新设备。工厂领导希望知道按怎样的比例来使用这笔资金较为合理。步1 建立层次结构模型在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些关系分解成若干个层次。较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准则层（中间层）和方案措施层（最低层）。与其他决策问题一样，研究分析者不一定是决策者，不应自作主张地作出决策。对于本例，如果分析者自行决定分配比例，厂领
3、导必定会询问为什么要按此比例分配，符合决策者要求的决策来自于对决策者意图的真实了解。经过双方沟通，分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企业的留成利润，而利润的利用是否合理，决策者的主要标准为：（1）是否有利于调动企业职工的积极性，（2）是否有利于提高企业的生产能力，（3）是否有利于改善职工的工作、生活环境。分析者可以提出自己的看法，但标准的最终确定将由决策者决定。第2页/共41页根据决策者的意图，可以建立起本问题的层次结构模型如下图所示。合理利用企业利润调动职工积极性C1提高企业技术水平C2改善职工工作生活条件C3发奖金P1扩建福利事业P2引进新设备P3目标层O准则层C措施层P图中的连
4、线反映了因素间存在的关联关系，哪些因素存在关联关系也应由决策者决定。第3页/共41页对于因果关系较为复杂的问题也可以引进更多的层次。例如，在选购电冰箱时，如以质量、外观、价格、品牌及信誉等为准则，也许在衡量质量优劣时又可分出若干个不同的子准则，如制冷性能、结霜情况、耗电量大小等等。建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过程结构化、层次化，为进一步分析研究创造了条件。步2 构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，例如上图中目标层利润利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来。但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。第4页/共41页在确
5、定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。虽然你必须让决策者根据经验提供这些数据，但假如你提出“调动职工积极性在判断利润利用是否合理中占百分之几的比例”之类的问题，不仅会让人感到难以精确回答，而且还会使人感到你书生气十足，不能胜任这一工作。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。第5页/共41页设现在要比较n个因子X=x1,xn对某因素Z的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty等人建议可以采取
6、对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子xi和xj，以aij表示xi和xj对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(aij)nn表示，称A为ZX之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若xi和xj对Z的影响之比为aij，则xj和xi对Z的影响之比应为 。定义 1 若矩阵A=(aij)nn满足（i）aij 0，（ii）（i,j=1,2,n），则称之为正互反矩阵（易见aii=1,i=1,n）。关于如何确定aij的值，Saaty等建议引用数字19及其倒数作为标度。他们认为，人们在成对比较差别时，用5种判断级较为合适。即使用相等、较强、强、很强、绝对地强表示差别程度，ai
7、j相应地取1,3,5,7和9。在成对事物的差别介于两者之间难以定夺时，aij可分别取值2、4、6、8。第6页/共41页从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用19标度最为合适。如果在构造成对比较判断矩阵时，确实感到仅用19及其倒数还不够理想时，可以根据情况再采用因子分解聚类的方法，先比较类，再比较每一类中的元素。步3 层次单排序及一致性检验上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其他因素的干扰影响，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果
8、时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：i、j、k=1,2,n 第7页/共41页定义2 满足上面关系式的正互反矩阵称为一致矩阵。如前所述，如果判断者前后完全一致，则构造出的成对比较判断矩阵应当是一个一致矩阵。但构造成对比较判断矩阵A共计要作次比较（设有n个因素要两两比较），保证A是正互反矩阵是较容易办到的，但要求所有比较结果严格满足一致性，在n较大时几乎可以说是无法办到的，其中多少带有一定程度的非一致性。更何况比较时采用了19标度，已经接受了一定程度的误差，就不应再要求最终判断矩阵的严格一致性。如何检验构造出来的（正互反）判断矩阵A是否严重地
9、非一致，以便确定是否接受A，并用它作为进一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩阵和一致矩阵性质的基础上，找到了解决这一困难的办法，给出了确定矩阵A中的非一致性是否可以允忍的检验方法。第8页/共41页定理1 正互反矩阵A的最大特征根max必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征根的模均严格小于max。（证明从略）现在来考察一致矩阵A的性质，看将单位重量的大石块剖分成重量为 1,n的n块小石块的例子，如果判断者的判断结果完全一致，则构造出来的一致矩阵为容易看出，一致矩阵A具有以下性质：第9页/共41页定理2 若A为一致矩阵，则（1）A必为正互反矩阵。（2）A的转置矩阵
10、AT也是一致矩阵。（3）A的任意两行成比例，比例因子（即wi/wj）大于零，从而rank（A）=1（同样，A的任意两列也成比例）。（4）A的最大特征根max=n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。（5）若A的最大特征根max对应的特征向量为W=（w1,wn）I，则aij=wi/wj，i,j=1,2,n。定理3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根 max=n，且当正互反矩阵A非一致时，必有maxn。第10页/共41页根据定理3，我们可以由max是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij，故max比n大得越多，A的非一致性程度也就越为严重，max对应
11、的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X=x1,xn在对因素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。为确定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下办法：（1）求出 ，称CI为A的一致性指标。容易看出，当且仅当A为一致矩阵时，CI=0。CI的值越大，A的非一致性越严重。利用线性代数知识可以证明，A的n个特征根之和等于其对角线元素之和（即n）故CI事实上是A的除max以外其余n1个特征根的平均值的绝对值。若A是一致矩阵，其余n1个特征根均为零，故CI=0；否则，CI0，其值随A非一致性程度的加重而连续地增大。当CI略大于零时（对
12、应地，max稍大于n），A具有较为满意的一致性；否则，A的一致性就较差。第11页/共41页（2）上面定义的CI值虽然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明该非一致性是否应当被认为是可以允许的。事实上，我们还需要一个度量标准。为此，Saaty等人又研究了他们认为最不一致的矩阵用从19及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵，取充分大的子样，求得最大特征根的平均值 ，并定义称RI为平均随机一致性指标。对n=1,11,，Saaty给出了RI的值，如表2所示。表2N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第12页/共41页（3）将CI
13、与RI作比较，定义称CR随机一致性比率。经大量实例比较，Saaty认为，在CR0.10时可以认为判断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应当重新调整判断矩阵，直至具有满意的一致性为止。综上所述，在步3中应先求出A的最大特征根max及max对应的特征向量W=（w1,wn）T，进行标准化，使得 。再对A作一致性检验：计算 ，查表得到对应于n的RI值，求 ，若CR0.1，则一致性较为满意，以 i作为因子xi在上层因子Z中所具有的权值。否则必需重新作比较，修正A中的元素。只有在一致性较为满意时，W的分量才可用作层次单排序的权重。第13页/共41页现对本节例1（即合理利用利润问题的例子）进行层次单排序。为求
14、出C1、C2、C3在目标层A中所占的权值，构造OC层的成对比较矩阵，设构造出的成对比较判断知阵A=311153C1C2C3C1 C2 C30于是经计算，A的最大特征根max=3.038，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033。因CR0.1，接受矩阵A，求出A对应于max的标准化特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以W的分量作为C1、C2、C3在目标O中所占的权重。第14页/共41页类似求措施层中的P1、P2在C1中的权值，P2、P3在 C2中的权值及P1、P2在C1中的权值：1P231P1P2P1C113max=2，CI=CR=0W=(0.75,0.25)
15、T15P31P2P3P2C215max=2，CI=CR=0W=(0.167,0.833)T1P221P1P2P1C312max=2，CI=CR=0W=(0.66,0.333)T第15页/共41页经层次单排序，得到下图合理利用企业利润调动职工积极性C1提高企业技术水平C2改善职工工作生活条件C3发奖金P1扩建福利事业P2引进新设备P3目标层O准则层C措施层P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332第16页/共41页设上一层次（A层）包含A1,Am共m个因素，它们的层次总排序权值分别为a1,am。又设其后的下一层次（B层）包含n个因素B1,Bn，它们
16、关于Aj的层次单排序权值分别为b1j,bnj（当Bi与Aj无关联系时，bij=0）。现求B层中各因素关于总目标的权值，即求B层各因素的层次总排序权值b1,bn，计算按下表所示方式进行,即 ，i=1,n。bn mbn2bn1BnB2 mb22b21B2B1mb12b11B1B层总排序权值AmA m A2a 2A1a1层A层B步4 层次总排序及一致性检验最后，在步骤（4）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因素关于总目标（最高层）的相对重要性权值。第17页/共41页例如，对于前面考察的工厂合理利用留成利润的例子，措施层层次单排序权值的计算如下表所示。层层C层层PC1C2C3层层P的总排序权的
17、总排序权值值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。第18页/共41页设B层中与Aj相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为CI(j)，(j=1,m)，相应的平均随机一致性指标为RI(j)(CI(j)、RI(j)已在层次
18、单排序时求得)，则B层总排序随机一致性比率为CR=当CR0，k=0。（步2）迭代计算 ，k=0,1,。若 ，i=1,n，则取W=为A的对应于max的特征向量的近似，否则转步2。（步3）将 标准化，即求 其中 为 的第i个分量。第23页/共41页（步4）求max的近似值对前面例子中的OC判断矩阵，若取 ，=0.001，利用幂法求近似特征向量如下：（第一次迭代）(0)=(0.511,3,1.444)T，=4.955，求得W(1)=(0.103,0.605,2.91)T（第二次迭代）(2)=(0.321,1.993,0.802)T，=3.116，求得W(2)=(0.103,0.639,0.257)T
19、第24页/共41页（第三次迭代）(3)=(0.316,1.925,0.779)T，=3.02，求得W(3)=(0.105,0.637,0.258)T（第四次迭代）(4)=(0.318,1.936,0.785)T，=3.04，求得W(4)=(0.105,0.637,0.258)T因 ，取W=W(4)。进而，可求得 。3、和积法（步1）将判断矩阵A的每一列标准化，即令 ,i,j=1,n令 。第25页/共41页（步2）将 中元素按行相加得到向量 ，其分量 ，i=1,n。（步3）将 标准化，得到W，即，i=1,nW即为A的（对应于max的）近似特征向量。（步4）求最大特征根近似值 。第26页/共41页
20、仍以前面例子中的OC判断矩阵为例：按列标准化 标准化，以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且A的非一致性越弱相差越小，而当A为一致矩阵时两者完全相同。按行相加第27页/共41页三、层次分析法应用举例在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（1）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（2）如何将某些定性的量作比较接近实际的定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（1）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严
21、重非一致性（即矛盾性），却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。（2）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。AHP至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法，如何用更科学、更精确的方法来研究问题并作出决策，还有待于进一步的探讨研究。在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再分析若干实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。第28页/共41页例2 招聘工作人员某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图8.9所示。招聘人员综合情况知识能力外表经济知识外语知识法律知识组
22、织能力公关能力计算机操作气质身高体形C层B层A层0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9第29页/共41页该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而在能力方面则应有稍强一些的要求。根据以上看法，建立AB层成对比较判断矩阵 求得max=3，CR=0。1211121B1B2B3B3B2B1A第30页/共41页类似建立BC层之间的三个成对比较矩阵:1C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21C921C8751C7C9C
23、8C7B3W=(0.186,0.737,0.077)T =3.047,CR=0.041W=(,)TW=(0.738,0.168,0.094)T =3.017,CR=0.015第31页/共41页经层次总排序，可求得C层中各因子Ci在总目标中的权重分别为：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024 招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的九项指标作19级评分。设其得分为X=(x1,x9)T，用公式y=0.047x1+0.184x2+0.019x3+0.167(x4+x5+x6)+0.184x7+0.042x8+0
24、.024x9 计算总得分，以y作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用。第32页/共41页例3 （挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如下图所示。工作满意程度研究课题发展前途待遇同事情况地理位置单位名气工作1工作2工作3目标层A准则层B方案层CB1B2B3B4B5B6C1C2C3第33页/共41页该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：133222B611311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A第34页/共41页由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。（方案层）1
25、2C3314C21C1C3C2C1B1125C314C21C1C3C2C1B2113C311C231C1C3C2C1B3第35页/共41页(层次总排序)如下表所示。准则研究课题发展前途待遇同事情况地理位置单位名气总排序权值准则层权值0.160.190.190.050.120.30方案层工作10.140.100.320.280.470.770.40单排序工作20.620.330.220.650.470.170.34权值工作30.240.570.460.070.070.060.26根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作1。（说明：本例省略了一致性检验）第36页/共41页例4 作品评比。电影或文
26、学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为由此可求得W=(0.158,0.187,0.656)T，CR=0.024(0.1)第37页/共41页本例的层次结构模型如下图所示 电影或文学作品评比教育性艺术性娱乐性作品1作品n0.1580.1870.656在具体评比时，可请专家对作品的教育性、艺术性和娱乐性分别打分。根据作品的得分数X=(x1,x2,x3)T，利用公式y=0.158x1+0.187x2+0.656x3 计算出作品的总得分，据此排出的获奖顺序。读者不难看出，A矩阵的建立对评比结果的影响极大。事实上，整个评比过程是在组织者事先划定的框架下
27、进行的，评比结果是按组织者的满意程度来排序的。这也说明，为了使评比结果较为理想，A矩阵的建立应尽可能合理。第38页/共41页例5(作业)教师工作情况考评。某高校为了做好教师工作的综合评估，使晋级、奖励等尽可能科学合理，构造了下图所示的层次结构模型。教育工作评估教学工作量指导研究生数教学内容教学效果主要刊物发表论文数一般论文数国家级获奖项目省部级获奖项目出版著作字数翻译著作字数数量质量论文项目著作教学科研OA1A2B1B2B3B4B5C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10第39页/共41页在C层中共列出了十项指标，有些可用数量表示，有些只能定性表示（如教学效果只能分为若干等级）。即使对于可以
28、定量表示的指标，由于各指标具有不同的量纲，例如一篇论文并不等同于一个获奖项目，互相之间不能直接进行比较。为此，在层次单排序与总排序时应先统一化成无量纲量。如可将每一指标分为若干等级并对每一等级规定一个合适的得分数。然后再根据各因子的重要程度利用成对比较及层次排序来确定各因子的权。在评估某教师时，只要根据该教师的各项指标，利用由层次分析得到的评估公式计算其最终得分即可。上述诸例有一个共同的特征，模型涉及的因素间存在着较为明确的因果关系，这些因果关系又可以分成若干个层次。同一层次中的各因素间相互影响很小基本上可略去不计，上层因素对下层的某些因素存在着逐层传递的支配关系，但不考虑相反的逆关系。更复杂的层次结构可以考虑同一层次内各因素间的相互影响，也可以考虑下层因素对上层因素的反馈作用，因研究这类层次结构需要用到更多的数学知识，因此不再作进一步的介绍，有兴趣的同学可以查阅有关的书籍和文献。第40页/共41页感谢您的观看！第41页/共41页