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1、13.1 机器人运动方程的表示3.1.1 运动姿态和方向角机械手的运动方向原点由矢量p表示。接近矢量a：z向矢量方向矢量o：y向矢量法线矢量n：它与矢量o和a一起构成一个右手矢量集合，并由矢量的交乘所规定：n=o a。第三章 机器人运动学第1页/共33页23.1.1 运动姿态和方向角因此，变换T6具有下列元素。六连杆机械手的T矩阵（T6）可由指定其16个元素的数值来决定。在这16个元素中，只有12个元素具有实际含义。3.1 机器人运动方向的表示第2页/共33页33.1.1 运动姿态和方向角用旋转序列表示运动姿态机械手的运动姿态往往由一个绕轴x，y 和 z 的旋转序列来规定。这种转角的序列，称为
2、欧拉（Euler）角。欧拉角用一个绕 z 轴旋转角，再绕新的 y 轴旋转角，最后绕新 z 的轴旋转角来描述任何可能的姿态，见图3.2。在任何旋转序列下，旋转次序是十分重要的。3.1 机器人运动方向的表示第3页/共33页43.1.1 运动姿态和方向角用横滚、俯仰和偏转角表示运动姿态 另一种常用的旋转集合是横滚（roll）、俯仰（pitch）和偏转（yaw）。3.1 机器人运动方向的表示第4页/共33页53.1.1 运动姿态和方向角对于旋转次序，规定：式中，RPY表示横滚、俯仰和偏转三旋转的组合变换。也就是说，先绕 x 轴旋转角，再绕 y 轴旋转角，最后绕 z 轴旋角。3.1 机器人运动方向的表示
3、第5页/共33页63.1 机器人运动方程的表示3.1.2 运动位置和坐标一旦机械手的运动姿态由某个姿态变换规定之后，它在基系中的位置就能够由左乘一个对应于矢量p的平移变换来确定：第三章 机器人运动学第6页/共33页73.1.2 运动位置和坐标用柱面坐标表示运动位置 用柱面坐标来表示机械手手臂的位置，即表示其平移变换。如图3.4(a)所示，3.1 机器人运动方向的表示第7页/共33页83.1.2 运动位置和坐标用球面坐标表示运动位置 用球面坐标表示手臂运动位置矢量的方法。这个方法对应于沿轴平移，再绕轴旋转角，最后绕轴旋转角，如图3.4(b)所示，即为：式中，Sph 表示球面坐标组合变换。3.1
4、机器人运动方向的表示第8页/共33页93.1 机器人运动方程的表示3.1.3 连杆变换矩阵及其乘积 广义连杆 相邻坐标系间及其相应连杆可以用齐次变换矩阵来表示。要求出操作手所需要的变换矩阵，每个连杆都要用广义连杆来描述。在求得相应的广义变换矩阵之后，可对其加以修正，以适合每个具体的连杆。第三章 机器人运动学第9页/共33页103.1.3 连杆变换矩阵及其乘积机器人机械手是由一系列连接在一起的连杆（杆件）构成的。需要用两个参数来描述一个连杆，即公共法线距离 所在平面内两轴的夹角 ；需要另外两个参数来表示相邻两杆的关系，即两连杆的相对位置 和两连杆法线的夹角 ，如图3.5所示。3.1 机器人运动方
5、向的表示第10页/共33页113.1.3 连杆变换矩阵及其乘积机器人机械手上坐标系的配置取决于机械手连杆连接的类型。有两种连接转动关节和棱柱联轴节。现在来考虑棱柱联轴节（平动关节）的情况。图3.6示出其特征参数 。3.1 机器人运动方向的表示第11页/共33页123.1.3 连杆变换矩阵及其乘积广义变换矩阵 按照下列顺序建立相邻两连杆 之间的相对关系。(1)绕 轴旋转 角，使 轴转到与 同一平面内。(2)沿 轴平移一距离 ，把 移到与 同一直线上。(3)沿 轴平移一距离 ，把连杆 的坐标系移到使其原点与连杆 的坐标系原点重合的地方。(4)绕 同一直线上。3.1 机器人运动方向的表示第12页/共
6、33页133.1.3 连杆变换矩阵及其乘积用A矩阵表示T矩阵机械手的末端装置即为连杆6的坐标系，它与连杆 坐标系的关系可由 表示为：可得连杆变换通式为：3.1 机器人运动方向的表示第13页/共33页143.1.3 连杆变换矩阵及其乘积如果机械手与参考坐标系的相对关系是由变换 来表示的，而且机械手与其端部工具的关系由变换 表示，那么此工具端部对参考坐标系的位置和方向可由变换 表示如下：可求得：3.1 机器人运动方向的表示第14页/共33页153.2 机器人运动方程的表示3.2.1 欧拉变换解基本隐式方程的解 令由式(3.4)和(3.23)得到：第三章 机器人运动学第15页/共33页163.2.1
7、 欧拉变换解得到9个隐式方程，如下：3.2 机械手运动方程的求解第16页/共33页173.2.1 欧拉变换解用双变量反正切函数确定角度 在求解时，总是采用双变量反正切函数atan2来确定角度。atan2提供二个自变量，即纵坐标和横坐标，见图3.8。当-，由atan2反求角度时，同时检查y和x的符号来确定其所在象限。这一函数也能检验什么时候x或y为0，并反求出正确的角度。atan2的精确程度对其整个定义域都是一样的。3.2 机械手运动方程的求解第17页/共33页183.2.1 欧拉变换解用显式方程求各角度 要求得方程式的解，采用另一种通常能够导致显式解答的方法。用未知逆变换依次左乘已知方程，对于
8、欧拉变换有：式(3.37)的左式为已知变换的函数，而右式各元素或者为0，或者为常数。3.2 机械手运动方程的求解第18页/共33页19 求解方程，整理之后确定其等价欧拉角：如果已知一个表示任意旋转的齐次变换，那么就能够确定其等价欧拉角。3.2.1 欧拉变换解 3.2 机械手运动方程的求解第19页/共33页203.2.2 滚、仰、偏变换解直接从显式方程来求解用滚动、俯仰和偏转表示的变换方程。RPY变换各角如下：3.2 机械手运动方程的求解第20页/共33页213.2.3 球面变换解把求解滚、仰和偏变换方程的技术用于球面坐标表示的运动方程。球面变换的解为：3.2 机械手运动方程的求解第21页/共3
9、3页223.3 PUMA 560机器人运动方程 3.3.1 PUMA 560运动分析PUMA 560是属于关节式机器人，6个关节都是转动关节。前3个关节确定手腕参考点的位置，后3个关节确定手腕的方位。各连杆坐标系如图3.9所示。相应的连杆参数列于表3.1。第三章 机器人运动学第22页/共33页233.3.1 PUMA 560运动分析 3.3 PUMA机器人运动方程第23页/共33页243.3.1 PUMA 560运动分析 3.3 PUMA机器人运动方程第24页/共33页253.3.1 PUMA 560运动分析据式(3.16)和表3.1所示连杆参数，可求得各连杆变换矩阵如下：3.3 PUMA机器
10、人运动方程第25页/共33页263.3.1 PUMA 560运动分析各连杆变换矩阵相乘，得PUMA 560的机械手变换矩阵：即 为关节变量的函数。3.3 PUMA机器人运动方程第26页/共33页27于是，可求得机械手的变换矩阵：3.3.1 PUMA 560运动分析 3.3 PUMA机器人运动方程第27页/共33页283.3.2 PUMA 560运动综合将PUMA 560的运动方程（3.64）写为：若末端连杆的位姿已经给定，即 为已知，则求关节变量 的值称为运动反解。3.3 PUMA机器人运动方程第28页/共33页293.3.2 PUMA 560运动综合求 式中，正、负号对应于 的两个可能解。3
11、.3 PUMA机器人运动方程第29页/共33页303.3.2 PUMA 560运动综合求 式中，正、负号对应 的两种可能解。求根据 解的四种可能组合可以得到相应的四种可能值 ，于是可得到 的四种可能解：式中，取与 相对应的值。3.3 PUMA机器人运动方程第30页/共33页313.3.2 PUMA 560运动综合求 求求 3.3 PUMA机器人运动方程第31页/共33页32 3.4 小结机器人运动方程的表示用变换矩阵表示机械手的运动方向用转角（即欧拉角）变换序列表示运动姿态用横滚俯仰和偏转角表示运动姿态机器人运动方程的求解欧拉变换解滚-仰-偏变换解球面变换解PUMA560机器人运动方程的表示和求解 第三章 机器人运动学第32页/共33页33感谢您的观看！第33页/共33页