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1、机器人运动学研究的问题：机器人运动学研究的问题： 机器人末端机器人末端在空间的运动在空间的运动与与各个关节的运动各个关节的运动之间之间的关系。的关系。3.1 定义：定义： 描述机器人描述机器人末端末端相对于绝对坐标系或相对于绝对坐标系或基座基座坐标坐标系的系的位置姿态位置姿态的数学表达式的数学表达式 运动学方程的模型：运动学方程的模型： M机器人手在空间的位姿机器人手在空间的位姿 qi机器人各个关节变量机器人各个关节变量( )if qM 已知杆件几何参数和关节角求机器人已知杆件几何参数和关节角求机器人末端相对于参考坐标系的位置和姿态。末端相对于参考坐标系的位置和姿态。3.1 3.1 机器人正运
2、动学方程 连杆描述 连杆连接的描述 对连杆附加坐标系的规定 机器人运动学 PUMA560运动学方程 机器人的各连杆机器人的各连杆通过关节连接在一通过关节连接在一起，关节有起，关节有移动副移动副与与转动副转动副两种两种。关节编号3.1.1连杆描述描述一个连杆的两个参数描述一个连杆的两个参数: 1、连杆长度连杆长度ai-1 关节轴关节轴i-1和关节轴和关节轴i之间之间的公垂线的长度的公垂线的长度ai-1假设条件假设条件把连杆看作是一个刚体把连杆看作是一个刚体 2、连杆扭角连杆扭角i-1 假设作一个平面假设作一个平面,并使该平面与两关节轴之间的公垂线垂直并使该平面与两关节轴之间的公垂线垂直,然然后把
3、关节轴后把关节轴i-1和关节轴和关节轴i投影到该平面上投影到该平面上,在平面内轴在平面内轴i-1按照右按照右手法则转向轴手法则转向轴i,测量两轴角之间的夹角为测量两轴角之间的夹角为i-1.3.1.2 连杆连接的描述 描述连杆连接的两个参数描述连杆连接的两个参数:1) link offset 连杆偏距连杆偏距di. 相邻两个连杆之间有一个公相邻两个连杆之间有一个公共的关节，沿着共的关节，沿着两个相邻连两个相邻连杆公共法线线杆公共法线线的距离可以用的距离可以用一个参数描述为连杆偏距一个参数描述为连杆偏距di. 当当i为移动关节时为移动关节时,连杆偏距为连杆偏距为一变量一变量.（1） 连杆中的中间连
4、杆连杆中的中间连杆 2) joint angle 关节角关节角i. 描述两个相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角描述两个相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角i. 当当i为转动关节时为转动关节时,关节角为一变量关节角为一变量.3.1.2 连杆连接的描述（2） 连杆中的首尾连杆连杆中的首尾连杆 对于运动链中的末端连杆对于运动链中的末端连杆,其参数习惯设为其参数习惯设为0,即即 从关节从关节2到关节到关节n的连杆偏距的连杆偏距di和关节角和关节角i.是根据前面的规定进是根据前面的规定进行定义行定义. 关节关节1(或或n)如果为如果为转动转动关节关节,则则1的零位可以任意选取的零位可以任意选取,规定规定d1=0.0，
5、 关节关节1 (或或n)如果为如果为移动移动关节关节,则则d1的零位可以任意选取的零位可以任意选取, 规定规定1=0.0;000.0,0.0nnaa3.1.2连杆连接的描述（3） 连杆参数连杆参数 对于转动关节对于转动关节,i为关节变量为关节变量,其他三个参数固定不变其他三个参数固定不变; 对于移动关节对于移动关节, di为关节变量为关节变量,其他三个其他三个参数参数固定不变固定不变; 这种用连杆参数描述机构运动关系的这种用连杆参数描述机构运动关系的方法方法称为称为Denavit-Hartenberg参数参数法法, 对于一个对于一个6关节机器人关节机器人,需要用需要用18个参数完全描述这些个参
6、数完全描述这些固定的运动学参数固定的运动学参数,可用可用6组组(ai-1, i-1 , di) 表示表示，用，用6个个关节变量关节变量i描述运动学中的变化部分。描述运动学中的变化部分。3.1.3连杆附加坐标系的规定为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系, ,需要需要在每个连杆上定义一个固连坐标系在每个连杆上定义一个固连坐标系. .11iiixzz （1）连杆中的中间连杆规定规定: : 坐标系坐标系i-1i-1的的Z Z轴轴称为称为Z Zi-1i-1, ,与关与关节轴节轴i-1i-1重合重合; ; 坐标系坐标系i-1i-1的的原点原点位于公垂线位
7、于公垂线a ai-1i-1与关节轴与关节轴i-1i-1的交点处的交点处. . X Xi-1i-1轴轴沿沿a ai-1i-1方向由关节方向由关节i-1i-1指向指向关节关节i i ( (若若: : a ai-1i-1 =0,=0,则则X Xi-1i-1垂直于垂直于Z Zi-1i-1和和Z Zi i所在的平面所在的平面; ; Y Yi-1i-1轴轴由右手定则确定由右手定则确定 Y Yi-1i-1= = Z Zi-1 i-1 X Xi-1i-13.1.3 连杆附加坐标系的规定 坐标系坐标系0 通常规定通常规定: Z0轴沿着轴沿着关节轴关节轴1的方向的方向,当坐标系当坐标系1的关节变量为的关节变量为0
8、时时,设定设定参考坐标系参考坐标系0与与1重合重合.且且a0=0, 0=0,当关节当关节1为转动关为转动关节节,d1=0;当关节当关节1为移动关节为移动关节, 1=0. 坐标系坐标系n 通常规定通常规定: 对于转动关节对于转动关节 n,设定设定n=0.0,此时此时Xn和和Xn-1轴的方向相同轴的方向相同,选选取坐标系取坐标系n 的原点位置的原点位置,使之满足使之满足dn=0; 对于移动关节对于移动关节 n, n的的设定使之满足设定使之满足n=0.0，且当，且当dn=0时时, Xn 与与Xn-1重合重合.(2)(2)连杆中的首尾连杆连杆中的首尾连杆3.1.3连杆附加坐标系的规定（3）在连杆坐标系
9、中对连杆参数的归纳）在连杆坐标系中对连杆参数的归纳i-111111111,;,;iiiiiiiiiiiiiiiiXZZXZZdZXXZXaX 沿沿轴轴 从从到到的的距距离离；绕绕轴轴 从从到到的的角角度度；沿沿轴轴 从从到到的的距距离离绕绕轴轴 从从旋旋转转到到的的角角度度通常规定通常规定 ,其余可正可负其余可正可负.按照上述规定的坐标系不是唯一的；按照上述规定的坐标系不是唯一的； Zi的指向有两种选择的指向有两种选择;如果关节轴相交如果关节轴相交, Xi轴的指向也有两种选择轴的指向也有两种选择.当相邻两轴平行时当相邻两轴平行时,坐标系原点可以任意选择坐标系原点可以任意选择.当关节为移动关节时
10、当关节为移动关节时,坐标系的选取具有一定任意性坐标系的选取具有一定任意性.10ia3.1.3连杆附加坐标系的规定 确定关节轴，并画出轴的延长线。确定关节轴，并画出轴的延长线。 找出关节轴找出关节轴i-1和和i的公垂线或交点，作为坐标系的公垂线或交点，作为坐标系i-1的原点。的原点。 规定规定Zi-1的指向是沿着第的指向是沿着第i-1个关节轴。个关节轴。 规定规定Xi-1轴得指向是沿着轴轴得指向是沿着轴i-1和和i的公垂线的方向，如果关节轴的公垂线的方向，如果关节轴i-1和和i相交，则相交，则Xi-1轴垂直于关节轴轴垂直于关节轴i-1和和i所在的平面。所在的平面。 Yi-1轴的方向由右手定则确定
11、轴的方向由右手定则确定Yi-1= Zi-1 Xi-1 。 当第一个关节变量为当第一个关节变量为0时，规定坐标系时，规定坐标系0和和1 重合，对于坐标重合，对于坐标系系N，尽量选择坐标系使得连杆参数为，尽量选择坐标系使得连杆参数为0.（4 4）建立连杆坐标系的步骤）建立连杆坐标系的步骤i-13.1.3连杆附加坐标系的规定【例题1】iai-1i-1dii100012L10023L200311111111,;,;iiiiiiiiiiiiiiiiXZZXZZdZXXZXaX 沿沿轴轴 从从到到的的距距离离；绕绕轴轴 从从到到的的角角度度；沿沿轴轴 从从到到的的距距离离绕绕轴轴 从从旋旋转转到到的的角角
12、度度3.1.4操作臂运动学方程 目的：目的：求出相邻连杆间的坐标求出相邻连杆间的坐标变换的形式，进一步求出变换的形式，进一步求出连杆连杆n相对于连杆相对于连杆0的位置和姿态的位置和姿态。（1 1）推导过程：推导过程：1.坐标系坐标系i-1相对于坐标系相对于坐标系i的变换是由连杆的变换是由连杆四个四个参数构成参数构成的函数，其中只有一个变量。的函数，其中只有一个变量。2.为求解为求解 ，对每个连杆建立坐标系，分解成，对每个连杆建立坐标系，分解成4个子变换个子变换问题，每个子变换只包含一个连杆参数。问题，每个子变换只包含一个连杆参数。3.定义三个中间坐标系定义三个中间坐标系R Q P：坐标系坐标系
13、R 是由坐标系是由坐标系i-1绕绕X i-1轴偏转轴偏转i-1得到；得到；坐标系坐标系Q是由坐标系是由坐标系R 沿着沿着X i-1轴平移轴平移a i-1得到；得到；坐标系坐标系P是由坐标系是由坐标系Q绕绕Z i轴旋转轴旋转i得到；得到；坐标系坐标系i是由坐标系是由坐标系P沿着沿着Z i轴平移轴平移di得到。得到。Tii1Tii1RQP3.1.4 操作臂运动学方程 最后，得到相邻连杆的一般变换为：（相对于运动坐标系，算子右乘）1111111111111( ,)( ,)( ,)( ,)00001iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiRot xTrans x aRot zTrans z
14、dcsas cc csd ss sc scd c TT3.定义三个中间坐标系定义三个中间坐标系R Q P：坐标系坐标系R 是由坐标系是由坐标系i-1绕绕X i-1轴偏转轴偏转i-1得到；得到；坐标系坐标系Q是由坐标系是由坐标系R 沿着沿着X i-1轴平移轴平移a i-1得到；得到；坐标系坐标系P是由坐标系是由坐标系Q绕绕Z i轴旋转轴旋转i得到；得到；坐标系坐标系i是由坐标系是由坐标系P沿着沿着Z i轴平移轴平移di得到。得到。3.1.4 操作臂运动学方程（2）连续连杆变换定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学方程，坐标系方程，坐标系N
15、相对于坐标系相对于坐标系0的变换矩阵为：的变换矩阵为：00121123NNNTT T TT变换矩阵变换矩阵 是关于是关于n n个关节变量的函数，个关节变量的函数，这些变量可以这些变量可以通过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端连杆在基通过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端连杆在基坐标系（笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。坐标系（笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。0NT0011121122000(,)()()()0 0 01NNNNNNNq qqqqqTTTTRP例题例题例题例题建立下图所示的SCARA机器人的正运动学方程。3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程型机
16、器人运动学方程3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程型机器人运动学方程 1.确定确定D-H坐标系坐标系 2.确定各连杆确定各连杆D-H参数和关节变量参数和关节变量 i-1 =沿沿Xi-1轴轴,从从Zi-1到到Zi的距离；的距离； ai-1 =绕绕Xi-1轴轴,从从Zi-1到到Zi的角度；的角度； di=沿沿Zi轴轴,从从Xi-1到到Xi的距离的距离; i=绕绕Zi轴轴,从从Xi-1旋转到旋转到Xi的角度的角度;ii-1ai-1dii10001(90)20-90d22(0)32003(-90)43-90d44(0)509005(0)60-90
17、06(0) 3.求出两杆间的位姿矩阵111111111100001iiiiiiiiiiiiiiiiiiicsas cc csd ss sc scd c T3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程型机器人运动学方程1122112011222000000001,00100000010001cscsscdTTsc3324433342334440000001,00100000010001csacsascdTTsc556645565566000000100010,000000010001cscsTTscsc不同的坐标系下D-H矩阵是不同的，关键是约定!3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程
18、 4. 求末杆的位姿矩阵555 65 66644565665 6500000001c cc ssscTT Ts cs cc54 5 64 64 5 64 6433345 65 6546464 5 64 64 5 64 64 500001c c cs sc c ss cc sas ss scdTT Ts c cc ss c sc cs s232322211232323232 2000100001csa cdTT Tsca s3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程型机器人运动学方程1111111111363611110001xxxxyyyyzzzznoapnoapTT Tnoap1234
19、5 64 623 5 614 5 64 61234 5 64 623 5 61234 5 64 623 5 614 5 64 61234 5 64 623 5 6()()()()xyzxyzncc c cs ss s cns c cc snsc c cs sc s cocc c ss cs s sos c sc cosc c ss cc s s 1234 523 514 51234 523 51223234231213 2322423xyzxyzac c ss cas sas c sc cpa ca cd spdpa sa sd c 3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程0016160
20、001xxxxyyyyzzzznoapnoapTT Tnoap1234 5 64 623 5 614 5 64 61234 5 64 623 5 614 5 64 6234 5 64 623 5 61234 5 64 623 5 614 5 64 61234 5 64 623 5()()()()()()()()xyzxync cc c cs ss s cs s c cc sns cc c cs ss s cc s c cc snsc c cs sc s coc cc c ss cs s ss s c sc cos cc c ss cs s s 614 5 64 6234 5 64 623 5
21、6()()zc s c sc cosc c ss cc s s1234 523 51 4 51234 523 51 4 5234 523 51223234232 11223234232 13 2322423()()xyzxyzac c c ss cs s sas c c ss cc s sas c sc cpc a ca cd sd sps a ca cd sd cpa sa sd c 3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程 5.验证12345690 ,0,90 ,0,00oo 2240630100011000001dadTa与图示情况一致。与图示情况一致。3.2 机器人逆运动学方程已
22、知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），操作机能否使操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作如能达到，那么操作机机有几种不同形态可以满足同样的条件有几种不同形态可以满足同样的条件？3.2机器人逆运动学 可解性 多解性 求解方法 PUMA560 逆解过程3.2.1可解性 解的存在问题取决于操作臂的解的存在问题取决于操作臂的工作空间工作空间（Workspace）工作空间：操作臂末端执行器所能到达的范围工作空间：操
23、作臂末端执行器所能到达的范围（反解存在（反解存在的区域）的区域） 所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一个单一串联所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一个单一串联链中共有个链中共有个6自由度或小于自由度或小于6个自由度时是可解的。其通解个自由度时是可解的。其通解是数值解，不是解析表达式，是利用数值迭代原理求解得是数值解，不是解析表达式，是利用数值迭代原理求解得到的，其计算量比求解析解大得多。要使机器人有到的，其计算量比求解析解大得多。要使机器人有解析解，解析解，设计时就要使机器人的结构尽量简单设计时就要使机器人的结构尽量简单，而且尽量满足，而且尽量满足连续连续三个旋转关节的旋转轴交会于一点
24、三个旋转关节的旋转轴交会于一点，或，或连续三个关节轴互连续三个关节轴互相平行相平行的充分条件。（的充分条件。（Pieper准则）准则） 3.2.2多解性对于给定的位置与姿态，它具有多组解。造成机器人运动学逆解具有多解是由于解反三角函数方程产生的。对于一个真实的机器人，只有一组解与实际情况对应， 为此必须做出判断，以选择合适的解。通常采用剔除多余解的方法： 为此必须做出判断，以选择合适的解。通常 (1) 根据关节运动空间来选择合适的解。 (2) 选择一个最接近的解。 (3) 根据避障要求选择合适的解。 (4) 逐级剔除多余解。3.2.3 求解方法操作臂全部求解方法分为：操作臂全部求解方法分为：封
25、闭封闭解和数值解法解和数值解法。数值解法是利用迭。数值解法是利用迭代性质求解，速度慢。代性质求解，速度慢。封闭解封闭解是我是我们主要的求解方法。们主要的求解方法。封闭解分为代数解和几何解封闭解分为代数解和几何解1000010000122111231231221112312303slslcsclclscTTBW（1）代数解）代数解3.2.3 求解方法1000010000ycsxscTBW1221112211123123 slslyclclxsscc通过比较，我们得出四个方程：通过比较，我们得出四个方程：求得：求得：),(2tan321csA),(2tan),(2tan121kkAxyA),(2t
26、an222csA3.2.3 求解方法几何方法中，首先将操作臂的空间几何参数分解成为平几何方法中，首先将操作臂的空间几何参数分解成为平面几何参数，然后应用平面几何方法求出关节角度面几何参数，然后应用平面几何方法求出关节角度（2）几何解）几何解22222121 22:2cos(180)xylll l2122212222 l lllyxc),(2tanxyA112-+ 或3212212221222cosyxlllyx3.2.4 PUMA560 机器人逆运动学方程机器人逆运动学方程100006zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonT问题：已知问题：已知求：各转角求：各转角1111111111
27、111611110000=0010000100010001xxxxxxxxyyyyyyyyzzzzzzzzcsnoapnoapscnoapnoapTnoapnoap22tan2(,)xyyxppApp再利用三角代换再利用三角代换: : 和和 ，其中，其中cosxpsinyp3.2.4 PUMA560 机器人逆运动学方程机器人逆运动学方程首先求首先求1 ，将，将 等式两端左乘等式两端左乘 ，得，得01160001T Tnoap0-11T上式两端的元素（上式两端的元素（2，4）对应相等，得：）对应相等，得：把它们代入代换前的式子得：把它们代入代换前的式子得：21)sin(d22121)(1)(si
28、n1)cos(d)(1,(2tan2221ddA),(2tan),(2tan222221dppdAppAyxxy 再求再求3。再令矩阵方程两端的元素（。再令矩阵方程两端的元素（1,4）和（）和（3,4）分别对应）分别对应相等得：相等得：113 234 232 23 234 232 2xyzc ps pa cd sa cpa sd ca s3.2.4 PUMA560 机器人逆运动学方程机器人逆运动学方程两边平方相加得：两边平方相加得：2323432232422323223242232322222323432232422323223242232322222211222222)(csdascadss
29、aacdsasascdacsadccaasdcacappspczyx2422232222234233222daadpppsdacaazyx合并同类项并整理得：合并同类项并整理得：2242223222222)(addaapppkzyx令令，再利用三角代换可得：，再利用三角代换可得：),(2tan),(2tan22423433kdakAdaA式中正，负号对应着式中正，负号对应着3 的两种可能解。的两种可能解。3.2 机器人逆运动学然后然后求求2： 22234233sacdsapz将展开并整理得：将展开并整理得：23433234233)()(ccdsassdacapz同样再利用三角代换容易求得同样再
30、利用三角代换容易求得2的四种可能解：的四种可能解： ),(2tan),(2tan2222xyzyxzkkApkkpA34233sdacakx)(3433cdsaky其中其中其他关节变量过程类似，略。其他关节变量过程类似，略。3.2 机器人逆运动学 机械手的末端位姿由机械手的末端位姿由n个关节变量所决定，这个关节变量所决定，这n个关节个关节变量统称为变量统称为n维关节矢量维关节矢量 ，所有关节矢量，所有关节矢量 构成的空间称为构成的空间称为关关节空间节空间。 末端手爪的位姿是在直角坐标空间中描述的，即用末端手爪的位姿是在直角坐标空间中描述的，即用操作操作空间空间或作业定向空间来表示。或作业定向空间来表示。 各驱动器的位置统称为驱动矢各驱动器的位置统称为驱动矢量量 。所有驱动矢量构成的空。所有驱动矢量构成的空间称为间称为驱动空间驱动空间。3.2.5关节空间和操作空间