经济学金融数学.pptx

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1、1 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 金融工具的基本类型金融工具的基本类型衍生金融工具：远期、期货、期权等原生金融工具：股票、利率、外汇等第1页/共87页2 套期保值者（hedger）：利用金融工具来转移或减少现货市场的价格风险的投资者；第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 套利者（arbitrageur）：利用同一资产在不同市场或不同资产在同一市 上存在的价格差异，通过低买高卖而获取无风险收益的投资者。投资者的三种类型投资者的三种类型 投机者（speculator）：甘愿用资金去冒险，不断地买进卖出衍生证券（期权、期货），希望从市场价格的经常变化中获取利润的投资者。注意：投机与套利是

2、有差异的，投机是基于对未来价格水平的预测，以牟取利润，这是有风险的。套利是利用不同市场在价格联系上的差异的现实，以套取利润，这是无风险的。第2页/共87页3 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 l 期权的发展背景 期权概述期权概述 1、1973年前，场外交易（直接(柜台)交易，费用很高，无二级市场，交易不活跃）；2、1973年4月26日 芝加哥期权交易所（Chicago Board Option Exchange,CBOE）正式挂牌，期权交易标准化阶段。3、20世纪，70年代和80年代，金融市场、商品市场波动剧烈，人们开始运用期权进行套期保值以及进行投机活动。第3页/共87页4 第六章第六

3、章 期权定价理论期权定价理论 l期权的基本概念u期权的定义 期权（option）是给予持有者在规定的时间，以规定的价格购买或出售某项标的资产的权利的一种法律合同。看涨期权（call option）：又称买入期权、敲入期权，它是给予期权的持有 者在规定的时间以规定的价格购买某项标的资产的权利的一种法律合同。看跌期权（put option）：卖出又称期权、敲出期权，它是给予期权的持有 者在规定的时间以规定的价格出售某项标的资产的权利的一种法律合同。注：（1）期权是权利与义务不对称的合约。（2）期权与期货的区别：前者只享有权利，后者既享受权利，又要履行义务。第4页/共87页5 第六章第六章 期权定价

4、理论期权定价理论 l 期权的要素第5页/共87页6 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 l 期权购买者和出售者的权利与义务 期权出售者，接受期权费后，只有义务而没有权利。期权出售者，接受期权费后，只有义务而没有权利。期权的购买者付出期权费后，只有权利而没有义务；期权的购买者付出期权费后，只有权利而没有义务；看涨期权的购买者付出期权费，获得购买标的资产的权利，但他并没有到期必须购买的义务，即他有购买或者不购买的选择权。如果期权的购买者行使其权利，出售者必须向买入期权的持有者提供相应的资产，或者是接受卖出期权持有者手中的资产。看跌期权的购买者，有出售或者不出售标的资产的权利。第6页/共87页7

5、 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 l 期权的价值 p期权的内在价值指期权按协定价格被执行时，期权所具有的价值。第7页/共87页8 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 按照到期日期权施权价与标的资产市场价之间的关系期权有三种类型：第8页/共87页9 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 p期权的时间价值 所有期权的出售方都无一例外地要求买方支付的期权费高于期权的内在价值。期权的权利与义务的非对称性，使得期权卖出方具有亏损的无限性和赢利的有限性特征。在协定价格既定的条件下，时间价值的大小与期权有效期限的长短成正比；时间价值期权费内在价值 这种现象被称作“时间价值衰减”(time va

6、lue decay)。正是由于这种特点，期权有时被叫作递耗资产(wasting assets)。期权距的时间越长金融资产市场价格发生变化的可能性越大期权的时间价值就越大；反之，当期权越临近到期日时，时间价值就越小。第9页/共87页10 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 l 期权的分类1、按照买卖资产的不同分为：看涨期权和看跌期权。2、按照有效期性质规定的不同分为：欧式期权、美式期权与帽式期权。欧式期权（European-style）只有在到期日当天或在到期日以前某一规定的时间可以行使权利；美式期权（American-style）从它一开始购买直到到期日以前任何时刻都可以行使权利，美国的期

7、权交易一般都是美式期权；帽式期权（Cap-style）只能在到期日前某一规定的时间内才可以行使权利，但如果在到期日之前期权价值已达到了规定的上限（cap），则期权被自动执行。第10页/共87页11 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 l 期权的分类（续）3、按照标的资产的性质分：金融期权和实物期权等。4、按照期权施权价与标的资产市场价之间的关系分：实值期权、平值期权 和虚值期权。5、按照期权施权价的不同有：平均价格期权（亚式期权）、回顾期权、棘轮期权等等。金融期权：标的资产为金融产品的期权。（如：股票期权、远期期权、期货期权）实物期权：标的资产为实物资产的期权。（如：项目投资、企业并购等等

8、）第11页/共87页12 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 u 看涨期权和看跌期权平价公式 对于具有相同的标的资产、施权价、到期日的看涨期权和看跌期权之间存在着一种价格依赖关系：该式被称为看涨期权和看跌期权平价公式（call and put option）。第12页/共87页13 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 不管施权日股价如何变化，该投资组合的价值均为零，则该组合为无风险组合。在市场均衡状态下，不存在无风险套利，于是该组合期初的价值也必然为零，即：化简即为看涨期权和看跌期权平价公式。对于具有相同的标的资产、施权价、到期日的看涨期权和看跌期权价格必须符合平价公式，否则就会出现无

9、风险套利机会，而在市场上不会也不应该存在这样的机会。第13页/共87页14 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 存在无风险套利机会：看涨期权和看跌期权价格不符合平价公式！出售一单位看涨期权（3），购买一单位看跌期权（-2），买入一单位标的资产（-40），并按5的利率借入现金（39.35）。该组合在到期日的价值恒等于零，即为无风险组合。而此时投资着的现金流为0.35。于是投资者这要构造该投资组合，就可以无风险获利0.35元。当前的现金流为：324039.350.35，第14页/共87页15 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 金融期权的交易策略金融期权的交易策略 l 基本操作策略 p 买

10、入看涨期权 理论上讲，看涨期权买入者的收益可以达到无穷大（标的资产价格趋于无穷大时），而其损失最大为期权费。购入看涨期权的基本用途为投机获利和资产保值。第15页/共87页16 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 例如，投资者在6月1日时预期标准普尔500指数将在未来3个月内上升，于是，他以2000美元的期权费买进一张9月15日到期、执行价格为340元的欧式看涨期权，其标的资产是9月份到期的标准普尔500指数期货合约。投机获利投机获利 在到期日那天，若标准普尔500指数升至350元。期货价格也升至350元，则该期权有实值，期权购买者将执行该期权。在执行期权时，该投资者可以协定价格340元买进

11、一张即将到期的标准普尔指数期货合约，并立即以市场价格350元将此期货合约卖出。这样，他可获毛利为(350340)5005000美元，扣除2000美元的期权费，他还可获净利3000美元。若到期日标准普尔500指数升至340元，此时购买者选择不执行期权，净损失为期权费2000元。第16页/共87页17 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 在买进看涨期权时，盈亏平衡点的价格是执行价格加上期权费。如以BP表示盈亏平衡点的价格,则BPX十C 340（2000500）344 投机获利（续）投机获利（续）第17页/共87页18 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 比如，某个投资者预期股票价格将下降，

12、卖空一部分股票以图盈利，但又怕万一股票价格上涨较多造成损失过大，就可以购进相应股票的看涨期权，如果股价上涨，可以执行看涨期权，收进股票以补足卖空的股票。套期保值套期保值 就投资收益率而言，转让期权的收益率往往比执行期权所获得的收益率更高。尤其是在期权合约临近到期，而投资者一时又难以筹措履约所需的资金时，转让期权合约不失为个可取的策略。一般地说，当标的资产的市场价格上涨时，其看涨期权的期权费亦将上涨。因此，在标的资产的市场价格上涨后，买进看涨期权的投资者既可通过履约而获利，也可通过转让期权合约而获利。第18页/共87页19 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 p 出售看涨期权 如果投资者认为

13、股票价格要下跌，可以出售看涨期权来赚取期权费，如图所示，最大的盈利为期权费，而亏损则有可能趋于无穷大。第19页/共87页20 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 如一投资者在某年3月初预期长期国债期货的价格将有小幅下跌，于是，他卖出一份6月份到期、协定价格为86的长期国债期货期权合约，收取期权费2000美元。现在，假定有三种不同的情况：1到6月份时，长期国债期货的市场价格为86或更低，则该看涨期权的出售者将获利2000美元。这是因为在市场价格没有上涨或者反而下跌的情况下，看涨期权的购买考将放弃他所拥有的权利；2到6月份时，长期国债期货的市场价格上涨为87，看涨期权的购买者要求履约，则看涨期

14、权的出售者将获利1000美元2000(8786)1000；3在期权合约到期日前，长期国债期货的市场价格出现较大幅度的上升，如升至93，而与此同时，该看涨期权的期权费涨至6000美元，则该投资者应以6000美元的期权费买进一张同样的期权合约。第20页/共87页21 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 这样做，他虽仍难免损失4，000美元，但至少可挽回一部分损失。即，卖出看涨期权的这种无限损失的可能性通常只是一种纯理论的结果而在 现实中它极少转化为现实性。在图中，B点为盈亏平衡点，盈亏平衡点的价格(BP)也是执行价格与期权费之和 更重要的是，假如市场价格还将继续上涨，则这样做后可避免进一步的损

15、失。因此，尽管从理论上说卖出看涨期权将有无限损失的可能性，但是，这种可能性毕竟极小，而且投资者事实上也完全可以采取各种防御措施，以限制其损失的进一步扩大。第21页/共87页22 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 在图中，B点为盈亏平衡点，盈亏平衡点的价格(BP)也是执行价格与期权费之和第22页/共87页23 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 p 买入看跌期权 如果投资者预期股票价格要下跌，可以购进相应股票的看跌期权，当股票价格真的下跌时，便可以执行该看跌期权，在市场上以低价买进股票，然后按较高的施权价卖出，赚取价差利润。值得注意的是，其损失最大为期权费。当然，投资者也可以直接通过卖

16、空该种股票来赚取利润，这样收益将与损失成正比。对比运用期权策略，收益可能更高，但是风险也会更大。第23页/共87页24 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 例：某投资者在1月份时预期德国马克对美元的汇率将下跌，所以，他买进一张3月份到期的欧洲式德国马克期权合约、协定汇率为0.5300，期权价格为0.0200。这样，投资者有如下四种可能的盈亏情况：1在到期日，市场汇率为0.5300或更高，则该投资者将放弃期权，而损失期权费1250美元(0.020062500)。2在到期日那天，市场汇率跌至0.5100，投资者履约，获利1250美元,正好抵补他所支付的期权费，从而既无盈利，也无亏损。3在到期日

17、那天，市场汇率跌至0.4800，投资者履约，获毛利3125美元，扣除期权费1250美元，可获净利1875美元。4在到期日那天，汇率跌为0.0000，投资者履约，获毛利33，125美元，扣除他所支付的期权费，可获净利3l，875美元。第四种情况为一极端的情况，在现实中根本不可能发生。第24页/共87页25 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 对看跌期权的购买者而言，其潜在的利润也是有限的，其限度即为协定价格与期权费的差额。第25页/共87页26 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 p 出售看跌期权 如果投资者认为股票价格要上涨，可以出售看跌期权来赚取期权费，如图所示，最大的盈利为期权费，

18、而最大亏损则为期权费与执行价格的差额。第26页/共87页27 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 假如某投资者预期未来3个月内股市将比较平稳或略有上涨，所以，他卖出一份NYSE综合股价指数期货合约的看跌期权。如果该投资者所卖出的是一平价期权，协定价格为150，收取期权费2000美元，并向经纪人缴纳保证金4000美元。在到期时，若市场价格为150或更高，则期权购买者不会履约。于是，该投资者将获利2000美元，其收益率为50(20004000l00)。若到期时的市场价格低于150，则期权购买者将要求履约，该投资者的收益将被损失所冲减。若市场价格低于146(盈亏平衡点价格)，则投资者将发生净损失

19、。价格越低，损失越大。若市场价格降为零，则投资者将发生最大损失73000美元(500美元150一2，000美元)。第27页/共87页28 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 如图所示的是以上例说明的卖出看跌期权的盈亏情况。在图中，B为盈亏平衡点，与此点对应的价格是146(150一2，000500)。第28页/共87页29 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 可以用下表来概括金融期权交易的基本策略的损益情况：第29页/共87页30 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 l 组合操作策略 p n 个期权的组合技巧 n 个看涨期权情况 同时以价格C购买n个，执行日为T，执行价为X,到期日的

20、资产价格为ST 的看涨期权，则其盈利情况如图所示。（1）盈亏平衡点与买入看涨期权的数量无关；（2）n 个看涨期权时的利润函数线斜率为 n；（3）与买入单个看涨期权相比，组合投资具有较多的获利，较多的损失，且均为单个期权的 n 倍。第30页/共87页31 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 n 个看跌期权情况 同时以价格P购买n个，执行日为T，执行价为X,到期日的资产价格为ST 的看涨期权，则其盈利情况如图所示。（1）盈亏平衡点与买入看跌期权的数量无关；（2）n 个看跌期权时的利润函数线斜率为 n；（3）与买入单个看跌期权相比，组合投资具有较多的获利，较多的损失，且均为单个期权的 n 倍。第

21、31页/共87页32该组合可以有效的保护投资者不因股票价格大幅下跌而遭受重大的损失。第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 l股票与期权的组合技巧 p买入股票同时买入看跌期权（protective put）买入或已经拥有一支股票的同时买入一个以该股票为标的资产，施权价为X的看跌期权，以保证这一组合的价值不低于X-P-S0。该组合的收益函数为：第32页/共87页33 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 p 买入股票同时出售看涨期权（covered call）当股票价格升至X时，股票会随着期权的执行而售出。尽管这样会丧失股票价格进一步上涨的利润，但是投资者毕竟得到了期权费做补偿，并确保股票按照

22、预先设定的价格售出。采用这样策略的原因可能为：投资者准备按照施权价X出售手中的股票，如果同时出售以该股票为标的资产的看涨期权，投资者可以得到一笔期权费。第33页/共87页34 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 l 对敲期权交易策略 p 同价对敲 (straddles)多头同价对敲 (long straddles)：同时购入标的资产、施权价、到期日完全相同的看涨期权和看跌期权的交易策略。到期日的资产价格如果为ST,则该交易头寸的相应利润函数为：作用：两头受益；套利者预计资产价在到期日会大幅度偏离执行价，但确定不了是大幅上升还是大幅下降的趋势。第34页/共87页35 第六章第六章 期权定价理

23、论期权定价理论 空头同价对敲 (short straddles)：同时出售标的资产、施权价、到期日完全相同的看涨期权和看跌期权的交易策略。到期日的资产价格如果为ST,则该交易头寸的相应利润函数为：作用：中间受益；套利者预计资产价在到期日不会大幅度偏离执行价，但确定不了是小幅上升还是小幅下降的趋势。第35页/共87页36 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 p 异价对敲 (strangles)作用：类似多头同价对敲，两头受益；套利者预计资产价在到期日会大幅度偏离执行价，但确定不了是大幅上升还是大幅下降的趋势；此时由于Xp较小，看跌价p也较小，需要的投资金为c+p,较同价对敲的投资金低。不过在

24、较宽的区域内无法盈利。第36页/共87页37 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 作用：类似空头同价对敲，中间受益；套利者预计资产价在到期日不会大幅度偏离执行价，但确定不了是小幅上升还是小幅下降趋势；由于Xp 较小，看跌价p也较小，需要的投资金为 c+p,较同价对敲的投资金低。不过在较窄的区域内盈利。第37页/共87页38 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 l 价差期权交易策略（spreads strategies）称到期日相同但执行价不同的期权为一个垂直系列期权；称执行价相同但到期日不同的期权为一个水平系列期权；在期权交易行情表上，各类不同到期日的期权均以横向排列，各种不同执行价的

25、期权均以纵向排列；p 垂直价差期权交易策略(price spread)同时购入一个期权和卖出一个相同类型的期权，到期日T相同，但执行价X不相同。第38页/共87页39 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 按照期权类型和执行价格的不同，可以将垂直价差期权细分为：第39页/共87页40 方法：购入一个低价位看涨期权，同时再卖出一个高价位看涨期权，它们的执行价分别为 Xl 和 Xh，其中 Xl ch(1)牛市看涨价差 (bull call spread)第40页/共87页41 作用：投资者预计资产价在到期日会上升,但又怕可能因下降而亏损过大时，可用此投资策略。第41页/共87页42 方法：购入一

26、个低价位看跌期权，同时再卖出一个高价位看跌期权，它们的执行价分别为 Xl 和 Xh，其中 Xl Xh ;它们的价格分别为 pl 和 ph，到期日 T 均相同.到期日的资产价格如果为 ST,则该交易头寸的相应利润函数为：一个盈亏平衡点：最大亏损值：最大盈余值：应有：pl Xl;它们的价格分别为 cl 和 ch，到期日 T 均相同.到期日的资产价格如果为 ST,则该交易头寸的相应利润函数为：一个盈亏平衡点：最大亏损值：最大盈余值：应有：cl ch(3)熊市看涨价差 (bear call spread)第44页/共87页45 作用：投资者预计资产价在到期日会下跌,但又怕可能因上升而亏 损过大时，可用

27、此投资策略。第45页/共87页46(4)熊市看跌价差 (bear put spread)方法：购入一个高价位看跌期权，同时再卖出一个低价位看跌期权，它们的执行价分别为 Xh 和 Xl，其中 Xh Xl;它们的价格分别为 pl 和 ph，到期日 T 均相同.到期日的资产价格如果为 ST,则该交易头寸的相应利润函数为：一个盈亏平衡点：最大亏损值：最大盈余值：应有：pl ph第46页/共87页47 作用：投资者预计资产价在到期日会下跌,但又怕可能因上升而亏 损过大时，可用此投资策略。第47页/共87页48同时购入和卖出相同类型的期权，执行价X相同，但到期日T不相同.p 水平差期权交易策略 (cale

28、ndar spread,time spread)第48页/共87页49p 期权价值影响因素的定性分析 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 连续型期权定价模型连续型期权定价模型l 期权价值的初步分析 影响期权（以股票期权为例）价值的因素主要有以下几个：1、股票价格（S）2、执行价格（X）期权的价值随着股票价值的波动变化范围的增大而升高。股票的市场价格越高，看涨期权的价值越高，看跌期权的价值低。执行价格越高看涨期权的价值越低，看跌期权的价值越高。第49页/共87页50 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 4、与到期日的时间距离（T-t）距离期权到期日的时间越长，期权的价值越高。5、利率的大

29、小（r）利率越高，看涨期权价值越高；利率越高，看跌期权价值越低。6、现金股利（D）标的股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值上升。注：股票期权的价值不受到标的股票分割（拆股）和股票股利的影响。第50页/共87页51 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 2、看跌期权的价值变动范围与此同时，股票价格必须大于零，故看跌期权的上限为施权价X。1、看涨期权的价值变动范围另一方面，施权价必须大于零，故看涨期权的上限为股票的市价S。p 股票期权价值的变动范围 第51页/共87页52 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 l 随机微积分初步p 维纳过程第52页/共87页

30、53 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 维纳过程有如下基本的性质：显然 于是 从而 第53页/共87页54 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 在金融数学分析中经常用到的是以下的一般的维纳过程(Generalized Wiener process)：第54页/共87页55 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 p 伊藤引理（Itos Lemma）日本数学家伊藤于1951年发现了伊藤引理：因为第55页/共87页56 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 所以两边平方得于是而第56页/共87页57 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 整理可得第57页/共87页58 第六章第六章

31、期权定价理论期权定价理论 第58页/共87页59 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 第59页/共87页60 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 l Black-Scholes期权定价模型 p 基本假设条件 Black和Scholes考虑的是无现金股利的股票的欧式看涨期权的定价模型，且模型是基于如下基本假设之上：（1）无风险利率 r 是一个常数；（2）没有交易成本和税收，交易是连续进行的，股票可以分成任意小的部分，股票不支付股利；（3）期权为欧式期权；第60页/共87页61 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 （4）市场对卖空没有任何限制；（5）投资者可以自由借贷资金，且两者的利率

32、相等，均为无风险利率；（6）市场上不存在无风险套利机会；（7）标的股票价格S的变化服从几何布朗运动:第61页/共87页62 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 p Black-Scholes微分方程 假设标的股票价格变动满足如下的几何布朗运动：相应的离散形式，可以近似表示为：相应的离散形式，可以近似表示为：第62页/共87页63 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 考虑一个由1单位期权多头和份标的股票的空头构成的投资组合，并通过选择适当的值，使得该组合在t,t+t时间段内的回报率是无风险的,这样的投资组合构成方式称为对冲。显然在t时刻，该投资组合的收益可以表示为：于是，在t,t+t时间

33、段内，该投资组合的收益为：第63页/共87页64 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 整理即可得 该式即为著名的B-S微分方程。第64页/共87页65 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 BS微分方程的意义在于：第65页/共87页66 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 p Black-Scholes期权定价公式 1、Black-Scholes欧式看涨期权定价公式另外，在到期日，期权的价值应满足第66页/共87页67 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 综合起来，欧式看涨期权定价即为如下带边界条件的微分方程组的解：该方程组即为物理学中的热传导方程。求解方程组（过程略），可以得到

34、著名的Black-Scholes欧式看涨期权定价公式:第67页/共87页68 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 2、Black-Scholes欧式看跌期权定价公式 运用看涨期权和看跌期权的平价公式，得到即第68页/共87页69 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 进而得到期权的价格为第69页/共87页70 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论（3）股票期权价值影响因素的定量分析1）股票当前价格的影响（）：因此，在其它条件不变的情况下，股价越高，看涨期权价格越高，看跌期权价格越低。2）施权价的影响：因此，在其它条件不变的情况下，施权价越高，看涨期权价格越低，看跌期权价格越高。第70页

35、/共87页71 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 对于欧式看涨期权而言，价格会随着到期日的临近而下降，但是对于欧式看跌期权而言，并不存在确定的关系。因此，在其它条件不变的情况下，股票价格的波动率越高，期权的价值越高。因此，在其它条件不变的情况下，利率越高，看涨期权价格越高，看跌期权价格越低。符号不定！第71页/共87页72 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 综合前述的定性分析与定量分析，欧式期权各因素对其价值的影响，可用下表来概括。第72页/共87页73 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 离散离散型期权定价模型型期权定价模型 Black-Scholes期权定价模型给出了欧式期

36、权的精确解，但是对于美式期权而言，BS定价模型演变为一个“自由边界”问题，很难得到期权价值的解析解。人们通常假定期权标的资产运动过程为离散的形式，进而用数值解法来得到期权的价值。在众多的离散型期权定价模型中二叉树期权定价模型又是运用的最为广泛的。l 二叉树期权定价模型 p 单期二叉树期权定价公式 第73页/共87页74 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 假设标的股票和期权的价格变化过程如图所示：利用对冲技巧，给出期权的定价。考虑一个由1单位期权多头和份标的股票的空头构成的投资组合，并通过选择适当的值，使得该组合t,t+t时间段内的回报率是无风险的。在期初投资组合的价值为 由于投资组合是无

37、风险的，因此在不考虑复利的情形下，该期末投资组合的价值应为：又因为该投资组合是无风险的，因此在期末应有：第74页/共87页75 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 另外 整理得到从而 该式即为单期的二叉树期权价值的计算公式。于是 第75页/共87页76 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 定义一个新的概率测度（probability measure）Q，由于dru，易见于是 或者 在整个模型的构建过程中，风险资产的回报率与无风险证券率相同都等于无风险利率，因此把具有这个性质的金融市场称为风险中性世界（risk-neutral world）。在这个世界里，所有投资者对风险不要求补偿，所有

38、证券的预期收益率都是无风险利率。相应的把上述定义的概率测度Q称为风险中性测度，在风险中性测度意义下给出的期权定价称为风险中性价格。第76页/共87页77 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 p 多期二叉树期权定价公式 上述单期的二叉树模型可以扩展到多期，在同样的假设下，考虑两期的情形。标的资产与相应的期权运动过程如图所示：根据单期模型有代入到 得到 第77页/共87页78 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 该式即为n期的二叉树期权定价模型。第78页/共87页79 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 解解 根据题设可以得到股票价格的二叉树图为因为 则第79页/共87页80 第六章第

39、六章 期权定价理论期权定价理论 于是，由二叉树期权定价公式 得到相应的期权价值的二叉树图为：即：期权的理论价值应为11.87美元。第80页/共87页81 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 二叉树期权定价模型最初是用来对欧式期权定价，实际上它可以用于美式期权的定价。美式期权可以在有效期内任何一天被执行。期权持有者可以在期权到期日之前的任何一个工作日，选择执行或不执行期权合约。因此与欧式期权定价相比，美式期权在二叉树的每一个节点就多了一个是否执行的决策过程。解 根据题设可以得到股票价格的二叉树图为第81页/共87页82 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 因为 则于是，由二叉树期权定价公

40、式 另外，对于美式期权而言，在二叉树的每个节点都面临着两种选择:提前执行或继续持有。于是在每个节点都要将按照欧式期权计算的期权的价值与在该点执行期权的价值进行比较，选择其中较大的。如在节点P，若不提前执行，期权的价值应该为若提前执行，期权的价值应该为于是，取两者中较大的即在该点期权的价值应该为19美元。第82页/共87页83 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 以此类推，可以得到其它各点的期权价值，从而得到相应的期权价值的二叉树图为：即：期权的理论价值应为2.74美元。第83页/共87页84 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 l二叉树期权定价模型与B-S期权定价模型的联系 当期数趋于

41、无穷大时，二叉树期权定价模型的极限形式将是B-S期权定价模型。Cox、Ross和Rubinstein(1979)证明了，当二叉树表达式中的n变得非常大时，二叉树期权定价模型的极限形式即为BS期权定价模型。二叉树期权定价模型实际上是BS期权定价模型的一种数值解法，直观上看，若二叉树模型的期数n非常大的话，标的资产的价值的取值也相应的有很大，只要期数趋于无穷大的话，标的资产价值相应的变成连续了，于是离散型二叉树期权定价模型即变成连续型的B-S期权定价模型。第84页/共87页85 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 【本章要点】l期权的定义、分类、要素与内在价值l看涨看跌期权平价公式的证明与应用l期权不同头寸的权利与义务特征以及收益函数l期权组合投资的应用l伊藤引理lB-S期权定价模型l二叉树期权定价模型的应用第85页/共87页86 第六章第六章 期权定价理论期权定价理论 第86页/共87页87感谢您的观看！第87页/共87页