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1、1第一章第一章 概概 述述第四节 数学的语言及数学的应用第1页/共61页2一、数学的语言语言是表达思想的，是人类相互交流的工具。数学语言则是人们进行数学表达 和数学交流的工具。第2页/共61页31自然语言与数学语言 1）自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的语言中国人说汉语，美国人说英语，这些是自然语言；上海人说上海话，四川人说四川话，广东人说广东话，这些也是自然语言。如同生物界有“濒危物种”一样，自然语言中也有“濒危语言”。下面的一个自然段，摘自新华社的一则报道。国际自然及自然资源保护联盟为衡量濒危物种灭绝的危险程度，国际自然及自然资源保护联盟为衡量濒危物种灭绝的危险程度，制定了一套国际通
2、用的评判标准。英国东英吉利亚大学的威廉制定了一套国际通用的评判标准。英国东英吉利亚大学的威廉萨沙兰萨沙兰德教授别出心裁地用这套标准，对世界上共约德教授别出心裁地用这套标准，对世界上共约68006800种语言进行了分类，种语言进行了分类，发现其中发现其中16761676种有灭绝的危险。种有灭绝的危险。第3页/共61页4这些让我们形象地了解到，自然语言是具体的语言，随民族、地域而有所不同。数学语言虽然要以自然语言作为载体，但它是形式化的语言，在形式化的方面，不随民族、地域的不同而不同。数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言构成的科学语言。语言都是用来描述事物的。自然语言可以用来描述
3、事物的各个方面，数学语言则主要用来描述事物的数量关系、空间形式，以及事物的结构、逻辑关系等等。第4页/共61页5例如一个工厂有四种产品，要向北京、天津、上海、重庆、武汉、沈阳六地发货。如果采用自然语言，需要具体说上很长一段话，每种产品向每个城市各发货多少。但如果采用数学语言，只要写出一个4行6列的矩阵，每行表示一种产品，每列表示一个城市，交叉点填上相应的发货数量（比如以吨为单位）。所以说，自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的语言。第5页/共61页62）数学语言使科学精确化 以下三段名言，是关于这个小标题很好的注释：“数学进入一门科学的程度，反映了这门科学成熟的程度。”“世界这本大书，是用数
4、学的语言写成的。”“要是没有数学语言，宇宙几乎是不可描述的！”第6页/共61页7事实上，牛顿用数学语言展示了他的三大定律；爱因斯坦用黎曼几何的语言阐述了他的广义相对论；数学家用群论的语言解决了晶体分类的问题；经济学家用数学语言表述了经济运行的规律。物理中的布朗运动成为概率论中的语言，生物中的遗传基因DNA，原来是数学中的双螺旋线，医学上已经出现“数字化人体”的概念和实物。现在，任何一个科学工作者要使自己的工作精确化，都必须借助于数学语言。第7页/共61页82.数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言1）数学语言是人类文明的共同语言由于数学语言往往需要依靠符号来表达，而世界各国又采用相同的数学符号
5、，这就使得数学语言成为人类文明的共同语言。例如，对于数学语言 （a+b）2 =a 2+b 2+2ab 和 Sinx2+Cosx2 =1表达的意思，任何一个民族、任何一个地域的人都能明白。第8页/共61页9 2）数学语言是宇宙文明的共同语言地球上不同地域的人类文明发展到某一阶段时，都各自独立地发现了“圆周长与直径的比是一个常数”，各自独立地发现了“直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和”。地球文明如此，宇宙文明也一定如此；于是自然地想到，数学语言能够成为宇宙文明的共同语言。第9页/共61页10上个世纪70年代，美国曾经发射过一艘宇宙飞船，目的是与可能存在的“外星人”取得联系。为了让星外文明了
6、解地球文明，这艘宇宙飞船带去了地球上山川、河流、白云、海洋的照片，地球上各种动物、植物、微生物的照片，以及各种年龄、性别、民族的人类照片；还带去了地球上的许多声音，如狂风暴雨的声音、森林中的鸟鸣声、大海的浪涛声，以及不同民族的人类叫“妈妈”的声音；同时还带去了刻有下面图形的黄金制作（以防锈蚀损毁）的图板。第10页/共61页113数学语言的特点 1）明晰 这含有两个方面的意思，一是数学语言是明确的，一是数学语言是有条理的。数学语言是精确的，是从不含糊的，“大于”与“大于等于”的涵义，是明确不同的；“都属于集合A”与“有的属于集合A”也是明确不同的；“存在左极限”与“存在极限”也是明确不同的。第1
7、1页/共61页12 数学语言又是有条理的。一段话的叙述中，先说哪个层次，后说哪个层次，是有讲究的；一个层次中，先说哪句话，后说哪句话，也是有讲究的。数学语言中必须有“因”有“果”，“因”“果”分明，不能把“因”说成“果”，也不能把此“因”说成彼“因”。第12页/共61页13 2）严谨 严谨，是指逻辑推理的严格和谨慎。它是数学的特点之一，也是数学语言的特点之一。首先是定理的叙述是严谨的。例如算术基本定理叙述为：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。这里，“大于1”的条件不可少，少了就欠严谨；“有限个”三字不可少，少了就欠严谨；“（可
8、以重复）”的注解也不可少，少了就欠严谨；“如果不计次序”的假设也不可少，少了就欠严谨。第13页/共61页14 其次是推理的过程是严谨的。推理的步骤如何，应该表达清楚；每一步的理由是什么，也应该表达充分。许多数学教师在教学中强调，学生推理时应该注意“步骤完整，理由充足”八个字，是击中要害的。例如，一个推理本来应该由六步完成，你只写出了五步，缺一步，就欠严谨；某一步本来应该依据三个理由，你只写出了两个理由，缺一个，就欠严谨。如果某位学生有语言上的这种不严谨，其实是反映了他思维上的不严谨。第14页/共61页15 3）简洁 数学语言要求简单干净。数学语言和自然语言不同。自然语言允许同义反复，为了描述某
9、一事物的美，往往用一大串意义相近的词汇或并列的语句；为了形容一个人的聪明智慧，也常常用一大串意义相近的词汇或并列的语句。但数学语言则要求用词最少、不允许同义反复。在数学表达中，当一个语句被另一些语句蕴含着的时候，它就是多余的，一定要去掉这个语句。如果可以用三句话把意思表达清楚，就最好不要用四句话。如果可以有甲、乙两种方式叙述同一个意思，那么就最好选择用语较少的那种方式。第15页/共61页16 4）规范 自然语言当然也有约定俗成的规范性；而数学语言则更加鲜明地表现出“规范”的特点。一句话说出来，不能有任何歧义。一个词作为一个概念被定义以后，这个定义就要随着这个词贯彻始终，不能再有任何改变。第16
10、页/共61页17 一些数学语言中常用的词语，都有其特定的涵义，长期以来形成了规范。例如“任一个”，“有一个”，“没有”表达的是三种不同的意思；“最多”、“至少”、“全都”表达的也是三种不同的意思；“必定”，“可能”、“不可能”表达的也是三种不同的意思；“开区间”、“闭区间”、“左开右闭的区间”表达的也是三种不同的意思。再例如，“包含”是用来说明两个集合之间的关系，“属于”是用来说明元素与集合之间的关系，“包含”与“属于”不能混用。第17页/共61页184“”语言、集合论语言、公理化语言“”语言、集合论语言、公理化语言都是在不同历史时期产生的数学语言，他们在数学发展史上都发挥了很大的作用。这三种
11、数学语言，我们在“数学发展简史”那一节中已经提及；在以后的章节中还会详细介绍。特别是集合论语言、公理化语言，现在已经成为数学语言的核心部分和公用形式，尤其值得重视。第18页/共61页195重视数学语言的训练语言是思维的反映。数学语言的发展反映了人类理性思维的发展，它也是数学对人类文明的重大贡献之一。作为一个大学生，不但应该重视数学知识、数学方法、数学思想的学习，同时也应该重视数学语言的学习和训练。现在的大学生，在作业中习惯性地写出“等号成立”、“问题得证”等词语的大有人在；其实，相应的规范数学语言应该是“等式成立”和“命题得证”。第19页/共61页20语言的功夫，依赖仔细的推敲及反复的训练。数
12、学语言的训练，包括口头表达和书面表达两种形式，希望大家自觉地加强训练数学语言的意识。口头表达的训练，可以通过同学间讨论问题、课堂发言、课堂报告来进行；书面表达的训练，主要通过认真完成数学作业来进行，也可以通过撰写读书报告和撰写小论文来进行。善于熟练地用明晰、严谨、简洁、规范的数学语言进行正确的口头表达和书面表达，是数学能力的重要方面，也是数学素养的重要方面。第20页/共61页21二、数学的应用 我们在第一节中谈到“数学的特点”时，曾经说到数学“应用的广泛性”。现在，将以更多的篇幅来谈“数学的应用”。关于这个话题，既有过正面的经验，也有过反面的教训。第21页/共61页221.功利主义和实用主义的
13、教训 关于数学“用处”的讨论，曾经有过许多曲折和反复。有人讨论数学到底有多大的“用处”，有人讨论哪些数学“真正”有“用处”，有人讨论哪些数学没有“用处”，有人曾因说“我们目前研究的这个数学分支可能200年内没有实际应用”而受到严厉的批判，有人以“理论来源于实际”为武器对研究纯粹数学的数学家横加指责。第22页/共61页23数学确实是解决许多实际问题的工具，但是，数学之作为工具，与斧子可以用来砍柴之作为工具是不同的。在制造斧子的时候，就是以砍柴的功用为目的的，因此，生产斧子能够获利。可是，在研究数学的时候，未必知道这种数学的实际作用何在。在不重视基础数学的时代，有些曾经被列为“没有实际用处”的数学
14、，当突然被发现能够解决重大问题时，才被从“冷宫”中解放出来。“早知如此，何必当初”，那时有些人总在吃后悔药。第23页/共61页24其实，如果完全从实用主义的角度看待数学，那么根本不需要研究无理数；因为有理数在生活实践中就已经够用了。你可能会去买二斤饼干或者半斤饼干；你恐怕不会要求售货员给你称 斤饼干。体检中给你测量身高时，记录的也总是一个有理数。但是现在我们知道，无理数的发现，导致了数学史上的重大进步。关于“哪些数学有用”及数学如何“理论联系实际”的讨论，最近这些年虽然不那么激烈了，但是，历史的经验值得注意，难保历史不会有类似的重演。第24页/共61页252介绍一些说法 近些年，人们越来越深刻
15、地认识到数学的“有用”。下面摘录的，是有关“数学有用”的一些说法。这些说法，都不是某一个人的说法，而是许多学者讨论的结果。第25页/共61页26 上个世纪90年代初，中国科学院数学物理学部有一个“今日数学及其应用”的课题报告，其中说：“数学的贡献在于对整个科学技术（尤其是高新技术）水平的推进与提高，对科技人才的培养和滋润，对经济建设的繁荣，对全体人民的科学思维与文化素质的哺育。这四方面的作用是极为巨大的，也是其他学科所不能比拟的。”第26页/共61页27 本世纪初的2006年，教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会”在“数学学科专业发展战略研究报告”中写道：恩格斯曾说过：“数学的应用：在刚
16、体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在液体力学中就已经比较困难了；在物理学中多半是尝试性的和相对的；在化学中是最简单的一次方程式；在生物学中等于零”。但是，在当今高科技时代，自然科学和社会科学各领域的研究进入到了更深的层次和更广的范围；在这些研究中数学的运用是十分普遍的，并且往往是实质性的，数学与自然科学和社会科学的关系从来没有像今天这样密切。许多一度被认为没有应用价值的抽象的数学概念和理论，出人意料地找到了它们的应用。恩格斯当年描述的状况早已成为历史。我们略举若干事实，说明数学在多方面的渗透和应用。第27页/共61页28数学的许多高深理论与方法正广泛深入地渗透到自然科学的各个领域中去。美
17、国自然科学基金会最近指出：当代自然科学的研究正在日益呈现出数学化的趋势。无论是电子计算机的发明还是它的广泛使用，都是以数学为基础的。在电子计算机的发明史上，里程碑式的人物图灵（ATuring，19121954）和冯诺依曼（Johuvon Neumann，19031957）都是数学家；而在当今计算机的重大应用中也无不包含着数学。因而，美国国家研究委员会在一份报告中把数学与能源、材料等并列为必须优先发展的基础研究领域。第28页/共61页29高科技往往在本质上是一种数学技术。事实上，从医学上的CT技术到印刷排版的自动化，从飞行器的模拟设计到指纹的识别，从石油地震勘探的数据处理到信息安全技术等等，在形
18、形色色的技术背后，数学都扮演着十分重要的角色，常常成为解决问题的关键。数学已经广泛地深入到社会科学的各个领域。例如，用数学模型研究宏观经济与微观经济，用数学手段进行社会和市场调查与预测，用数学理论进行风险分析和指导金融投资，等等，在许多国家已被广泛采用，在我国也开始受到重视。在经济与金融的理论研究上，数学的地位更加特殊。在诺贝尔经济学奖的获得者当中，数学家或有研究数学的经历的经济学家占了一半以上。第29页/共61页30 总之，数学在当代科技、文化、社会、经济和国防等诸多领域中的特殊地位是不可忽视的。发展数学科学，是推进我国科学研究和技术发展，保障我国在各个重要领域中可持续发展的战略需要。第30
19、页/共61页31 因此，不应实用主义地理解因此，不应实用主义地理解 数学的数学的“用处用处”。数学有广泛的用途，但那不同于一般 工具的“用处”；不像一把斧头，拿来便可 砍柴。第31页/共61页32数学对人类文明的贡献（例一）数学对人类文明的贡献（例一）万有引力定律。基于开普勒行星运动的三大定律，牛顿发现了万有引力定律。他把其最重要的著作命名为自然哲学的数学原理，是因为他发现新宇宙的思维方式是数学的思维方式。在这本书中，牛顿用了大量“微积分”的知识和非常复杂的几何知识与技巧。有兴趣的同学可以阅读这本书。第32页/共61页33数学对人类文明的贡献（例二）数学对人类文明的贡献（例二）相对论。爱因斯坦
20、分别于1905年和1915年提出狭义相对论，广义相对论，这是对物理学的重大变革，其核心内容是时空观的改变。爱因斯坦的时空观认为时间和空间是相互联系的。四维空间的洛仑兹变换是这种数学模型的表现形式。第33页/共61页34数学对人类文明的贡献（例三）数学对人类文明的贡献（例三）电磁波的发现。英国物理学家麦克 斯韦概括了由实验建立起来的电磁 现象规律，把这些规律表述为“方程 的形式”，用纯粹数学的方法推导出 可能存在着电磁波并且这些电磁波 应该以光速传播者。据此，他提出 了光的电磁理论。此外，他的结论 还推动了人们去寻找纯电起源的电 磁波。第34页/共61页35数学对人类文明的贡献（例四）数学对人类
21、文明的贡献（例四）最近，两位美国数学家解开了一个困扰科学界长达50年的“简单”问题：啤酒泡和肥皂泡在膨胀、收缩及合并时的数学规律。该研究成果将对工程学的泡沫材料设计、生物学的组织结构研究以及物理学的晶体颗粒排列探测产生深远的影响，相关论文发表在2007年4月26日的自然杂志上。（气泡胀大、收缩或者合并，背后的驱动力都是表面张力，气泡的变化，取决于表面总曲率 ）第35页/共61页36数学对人类文明的贡献（例五）数学对人类文明的贡献（例五）神州六号的升空，宣告了我国具有制造和发射航天飞机的能力。在神舟六号的研制过程中，数学起了不可替代了作用，尤其是在轨道测算，时间测算等方面。第36页/共61页37
22、数学对人类文明的贡献（例六）数学对人类文明的贡献（例六）1973年，美国芝加哥大学学者f布莱克与m肖莱斯提出了布莱克肖莱斯期权定价模型（black-scholes option pricing model），对股票期权的定价作了详细的讨论。此后，不少学者（Merton）又对该模型进行了修正、发展与推广，极大地推动了期权定价理论的研究。该模型中用到很多数学知识。他们也因此获得了1997年的Nobel经济学奖。（上图为Merton，哈佛大学；下图为Scholes，芝加哥大学。）第37页/共61页38请学生帮忙找材料过去学生找到的材料举例第38页/共61页393数学的应用常常是难以预料的数学来源于人
23、类实践，但从实践中抽象出来以后，又有它相对的独立性和稳定性。特别是当它发展到一定程度以后，数学内部提出了大量重要的问题，在相当大的程度上吸引了数学家的兴趣。例如，对欧几里得平行线公设的讨论，完全来自理论数学内部的动力。这一讨论时冷时热持续了两千年，虽然许多数学家在试图证明这一公设的努力中失败了，但它最终导致了意义重大的非欧几何的诞生。第39页/共61页40所以，推动数学的发展的动力，除了有实践及其它学科的需要和工程技术的需要这种来自数学外部的动力外，还有来自数学内部的巨大动力。数学工作者常常对数学理论中的某一部分产生极大的兴趣，并通过对数学内部提出的问题的研究，发展和完善数学理论。这样产生的数
24、学理论，往往离现实需要和实际应用相当遥远；有的几十年，有的几百年，有的几千年才发现它们的应用。第40页/共61页41 理论数学的应用往往是当初难以预料的。下面举几个这方面的例子。1）古希腊的素数理论在密码学中的应用上节中曾经介绍过古希腊对素数的研究，那是早在公元前三、四百年的事情了。从那时以来的两千多年，它已经发展成“数论”这样一个重要的数学分支；但长期以来都没有发现数论在生产、生活实践中的应用；不过，这并没有减低数学家研究素数的兴趣。数论看起来是那么远离实际，以至于著名英国数学家哈代（Godfrey Harold Hardy，18771947）在20世纪前期甚至说过，“数论不会在实践中有用”
25、。但就在此后不久，人们开发了素数理论在密码学中的应用。这一应用的初步原理及重大意义，上节中已经叙述。第41页/共61页42 2）阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论在开普勒三定律中 的应用“数学发展简史”一节中提到，在公元前二百多年，希腊数学家阿波罗尼奥斯就已经有关于圆锥曲线的大量研究。但是，圆锥曲线真正有价值的应用，是17世纪发现的开普勒三定律，用椭圆来描述行星运动的规律。这开创了人类研究太阳系行星运动规律的新纪元。第42页/共61页43 3）黎曼几何在广义相对论中的应用非欧几何在19世纪出现以后，虽然一些有远见的数学家预言它们会有用，但长期以来人们应用欧氏几何的传统习惯，使大多数人对非欧几何敬而远之、
26、束之高阁。直到爱因斯坦创立广义相对论，这种局面才有了根本的改观。爱因斯坦1905年创立狭义相对论后不久，就有了广义相对论思想的萌芽。但是他缺乏适当的语言去描述和发展这种思想。他的一位数学家朋友听说后，劝他学习黎曼几何，说黎曼几何中的思想与他的想法有许多共同点。爱因斯坦花了四年的时间，认真地学习黎曼几何，后来果然用黎曼几何的语言创立和表述了广义相对论。第43页/共61页44广义相对论不像当时的非欧几何那样难以捉摸，它是对大范围客观世界的描述，可以用实验和观察去检验。水星的“进动”和光线在大质量物体附近的“弯曲”两个事实，证明了广义相对论是正确的，同时也就表明黎曼几何有用，非欧几何有用。在此之前，
27、世界上没有几个人真正懂得黎曼几何；在此之后，数学界和物理学界纷纷办起了黎曼几何的“学习班”；现在，黎曼几何已经成为研究生的一门课程。第44页/共61页45 4）陈省身的纤维丛理论在杨振宁的规范场理论 中的应用诺贝尔物理学奖得主杨振宁在与数学家陈省身先生交谈时，发现他自己创立的规范场理论，就是陈省身的纤维丛理论在物理上的应用，他非常吃惊：数学家在完全不了解物理背景的情况下，居然从数学理论内部发展出一整套抽象的纤维丛理论，而这套理论的一个应用就是他自己的规范场理论。这与另一位诺贝尔物理学奖得主温伯格(SWeinberg)的感叹如出一辙：“当一个物理学家得到一个思想时，然后却发现在他之前数学家已经发
28、现了。”第45页/共61页46 5）伽罗瓦的群论在守恒定律和晶体结构中的应用19世纪初期，伽罗瓦从理论研究的兴趣出发，在研究“五次方程根式解”问题的过程中创造的群论，深刻揭示了现实世界的对称性。过了一百年，群论成为物理学家统一能量守恒定律、动量守恒定律、自旋守恒定律、电荷守恒定律的基本工具，成为认识晶体结构的基本方法，以至成为研究量子论的基本工具。现在，群论影响着几乎所有的数学领域，它已经成为现代数学家必备的知识。第46页/共61页47 6）正电子、黑洞与电磁场的发现 诺贝尔物理学奖获得者温伯格(SWeinberg)曾无 可奈何地感叹：“当一个物理学家得到一个思想时，却发现在他之前数学家已经得
29、到了。”第47页/共61页48 上面这些事实说明，理论数学的应用往往是人们在研究当初难以预料的。希望大家通过课外阅读，自己也能举出一个类似的例子。理论数学不仅“有用”，而且理论数学之“有用”，往往是重大的“有用”；数学理论可能联系的“实际”，有时会远远超出人们的想象，甚至常常是数学理论出现时尚未出现的“实际”。而理论数学的这种“应用”，多次大大推动了世界科学技术的发展。第48页/共61页49 三、数学的发展 1数学的分支越来越细数学的分支越来越细 以至不可能再有一位数学家熟习数学的所有分支 2数学对自然科学和社会科学的渗透越来越数学对自然科学和社会科学的渗透越来越广广 “一门科学应用数学的程度
30、，标志着这门科学成熟的程度”3历史遗留许多难题，数学永远充满魅力历史遗留许多难题，数学永远充满魅力 “费尔马大定理”上世纪末刚被证明 “哥德巴赫猜想”等难题仍未解决第49页/共61页50第50页/共61页51第51页/共61页52第52页/共61页53象棋残局中的数学文化第53页/共61页54第54页/共61页55本节结束谢谢！谢谢！第55页/共61页56第56页/共61页57数学对人类科学的贡献（六）数学对人类科学的贡献（六）美国哈佛大学日前发表一份研究报告称，伊斯兰世界对数学有过重要贡献。研究人员认为，中世纪伊斯兰世界的外墙砖设计图案说明它们的设计者掌握了西方世界500年后才掌握的数学概念
31、。（中世纪的工匠用直尺和圆规来完成复杂的多边形图案，是“准晶体”设计 ）第57页/共61页58 2数学的应用常常是难以预料的数学的应用常常是难以预料的 1）素数在密码学中的应用 2）圆锥曲线论在行星运动开普勒三定律中的应用 3）黎曼几何在广义相对论中的应用 4）陈省身的纤维丛理论在杨振宁的规范场理论中 的应用 5）正电子、黑洞与电磁场的发现 诺贝尔物理学奖获得者温伯格(SWeinberg)曾无 可奈何地感叹：“当一个物理学家得到一个思想时，却发现在他之前数学家已经得到了。”第58页/共61页59数学数学“新用场新用场”但但19451945年原子弹的蘑菇云使人们，也使哈代本人在生前看到了相对论不
32、可年原子弹的蘑菇云使人们，也使哈代本人在生前看到了相对论不可能与战争有关的预言的可怕破产。他最钟爱的数论也已成为能控制成千上万能与战争有关的预言的可怕破产。他最钟爱的数论也已成为能控制成千上万颗核导弹的密码系统的理论基础。颗核导弹的密码系统的理论基础。9090年代的年代的“海湾战争海湾战争”甚至被称为数学战甚至被称为数学战争了。争了。第59页/共61页60数学新用场数学新用场 二战后，数学的面貌呈现四大变化：二战后，数学的面貌呈现四大变化：（1 1）计算机的介入改变了数学研究的方法，大）计算机的介入改变了数学研究的方法，大大扩展了数学研究的领域，加强了数学与社会多大扩展了数学研究的领域，加强了数学与社会多方面的联系。例如，四色问题的解决，数学实验方面的联系。例如，四色问题的解决，数学实验的诞生，生物进化的模拟，股票市场的模拟等。的诞生，生物进化的模拟，股票市场的模拟等。2 2）数学直接介入社会，数学模型的作用越来越）数学直接介入社会，数学模型的作用越来越大。大。3 3）离散数学获得重大发展。人们可以在不懂微）离散数学获得重大发展。人们可以在不懂微积分的情况下，对数学作出重大贡献。积分的情况下，对数学作出重大贡献。4 4）分形几何与混沌学的诞生是数学史上的重大）分形几何与混沌学的诞生是数学史上的重大事件。事件。第60页/共61页61感谢您的观看！第61页/共61页