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1、课堂教学中数学文化挖掘课堂教学中数学文化挖掘数学与信息科学学院 左敬亮 河南省农村骨干教师培训第1页内容提要内容提要一、对数学文化认识一、对数学文化认识二、数学文化教育价值二、数学文化教育价值三、关于数学文化教学实践研究现实状况三、关于数学文化教学实践研究现实状况 四、中学数学课程中数学文化教学探索四、中学数学课程中数学文化教学探索第2页打开数学科学历史画卷打开数学科学历史画卷 展示数学文化及教育价值展示数学文化及教育价值 克莱因这么写道：克莱因这么写道：“数学是一数学是一个精神，一个个精神，一个理性理性精神。正是这种精精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类思神，激发、促进、鼓舞并驱使
2、人类思维得以利用到最完善程度，亦正是这维得以利用到最完善程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类物质、种精神，试图决定性地影响人类物质、道德和社会生活；试图回答相关人类道德和社会生活；试图回答相关人类本身存在提出问题；努力去本身存在提出问题；努力去 了解和了解和控制自然；尽力去探求和确立已经取控制自然；尽力去探求和确立已经取得知识最深刻和最完美内涵。得知识最深刻和最完美内涵。”第3页前前 言言随着20世纪数学观与数学教育观变化，人们愈来愈深刻而明确地认识到，数学是人类文化重要组成部分。正如音乐不仅仅是音符节拍，绘画不仅仅是线条和颜色，数学也不仅仅是一些公式、规则、方程式堆砌。数学和其他人类创
3、建文明一样，具有特定文化价值。数学是一个开放系统，有来自于内部和外部文化基因。一方面，数学内容、思想、方法和语言，深刻地影响着人类文明进步。其次，数学又从一般文化发展中汲取营养，受到所处时代文化制约。在这个意义上说，数学教育是数学文化教育。第4页一、对数学文化认识一、对数学文化认识（一）文化（一）文化人类在社会历史实践过程中所创造物质财富和精人类在社会历史实践过程中所创造物质财富和精神财富总和。即一切非自然、由人类所创造事物神财富总和。即一切非自然、由人类所创造事物或对象。或对象。“文化文化”含有社会性、历史积淀性和民族性等特含有社会性、历史积淀性和民族性等特点文化有导向功效、教育功效、约束功
4、效和解点文化有导向功效、教育功效、约束功效和解读功效；文化心理是影响读功效；文化心理是影响“人格人格”主要原因。主要原因。第5页（二）什么是数学文化（二）什么是数学文化教授认为：教授认为：“按文化结构，数学作为科学，属于按文化结构，数学作为科学，属于文化精神文化结构层次，它由外显知识即数学科文化精神文化结构层次，它由外显知识即数学科学凝固而成物质形态和内隐思想、观念、价值、学凝固而成物质形态和内隐思想、观念、价值、思维方式等精神形态组成。思维方式等精神形态组成。”也有些人认为：也有些人认为：“数学作为一个文化是一个多元数学作为一个文化是一个多元复合体，它不但包含数学知识成份（命题、方法、复合体
5、，它不但包含数学知识成份（命题、方法、问题、语言），而且也包含数学观念成份（数学问题、语言），而且也包含数学观念成份（数学传统：数学共同体共有观念）。传统：数学共同体共有观念）。”数学文化迄今数学文化迄今为止还未形成一个统一贴切定义。为止还未形成一个统一贴切定义。第6页在国内，比较流行说法有：在国内，比较流行说法有：郑毓信给出一个定义郑毓信给出一个定义：“数学文化就是数学共同体特数学文化就是数学共同体特有行为、观念和态度，即有行为、观念和态度，即特定数学传统特定数学传统。”王新民教授则从课程论角度给出定义：王新民教授则从课程论角度给出定义：“数学文化数学文化是指人类在数学行为活动过程中所创造物
6、质产品和是指人类在数学行为活动过程中所创造物质产品和精神产品，物质产品是指数学命题、数学方法、数精神产品，物质产品是指数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等知识性成份；而精神产品是指学问题和数学语言等知识性成份；而精神产品是指数学思想、数学意识、数学精神和数学美等观念性数学思想、数学意识、数学精神和数学美等观念性成份。成份。”他还认为：他还认为：“知识性成份是观念性成份物知识性成份是观念性成份物质载体，观念性成份是物化在知识性成份之中。质载体，观念性成份是物化在知识性成份之中。”第7页在国外，美国著名文化学者怀特在国外，美国著名文化学者怀特（LWhiteLWhite）指出）指出：“数学真理既
7、是人所数学真理既是人所发觉，又是人所创造，它们是人类头脑产发觉，又是人所创造，它们是人类头脑产物，但它们是被每个在数学文化内成长起物，但它们是被每个在数学文化内成长起来个人所碰到或发觉。来个人所碰到或发觉。”首先，数学是一首先，数学是一个特殊文化形态，是人类文化主要组成部个特殊文化形态，是人类文化主要组成部分。分。第8页著名美国数学史学家克莱因指出：著名美国数学史学家克莱因指出：“数学数学一直是形成当代文化主要力量，同时一直一直是形成当代文化主要力量，同时一直是这种文化极其主要原因。是这种文化极其主要原因。”在人类文化在人类文化发展过程中，数学与宗教、哲学、自然科发展过程中，数学与宗教、哲学、
8、自然科学有着千丝万缕联络。其次，数学是一个学有着千丝万缕联络。其次，数学是一个文化精神，它能够进入人观念系统影响人文化精神，它能够进入人观念系统影响人们世界观和人生观。们世界观和人生观。第9页总而言之，我们还可将数学（数学文化）总而言之，我们还可将数学（数学文化）了解成是了解成是“知识知识”，只是这里，只是这里“知识知识”既既包含包含“显性知识显性知识”（知识性成份），又包知识性成份），又包含含“默会知识默会知识”（观念性成份），二者功（观念性成份），二者功效不一样，前者主要含有效不一样，前者主要含有“科学技术教育科学技术教育”，后者主要含有，后者主要含有“社会文化功效社会文化功效”。第10页
9、数学里文化数学里文化数学是人创造。正如克莱因所说：数学是人创造。正如克莱因所说：“数学是数学是人类最高超智力成就，也是人类心灵最独特人类最高超智力成就，也是人类心灵最独特创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能感人心弦，哲学使人取得智心悦目，诗歌能感人心弦，哲学使人取得智慧，科学能够改进物质生活，慧，科学能够改进物质生活，但数学能给给但数学能给给予上一切。予上一切。”第11页数学家在研究现实世界数量关系和空间形数学家在研究现实世界数量关系和空间形式时候，不可防止地打上那个时期文化烙式时候，不可防止地打上那个时期文化烙印。数学家创造，是他所处时代
10、文化产物，印。数学家创造，是他所处时代文化产物，反过来又丰富了那个时代文化。我们应该反过来又丰富了那个时代文化。我们应该从这么互动中认识数学文化本质，而且在从这么互动中认识数学文化本质，而且在数学教学中揭示数学文化意义，使学生受数学教学中揭示数学文化意义，使学生受到深刻文化感染。到深刻文化感染。第12页1 1、数学是人类文明龙头、数学是人类文明龙头人类文明往往以数学成就作为特殊标志。古人类文明往往以数学成就作为特殊标志。古希腊文明博大精深，不过传留于世一个标志希腊文明博大精深，不过传留于世一个标志性著作是欧几里得几何原本，它印刷量性著作是欧几里得几何原本，它印刷量仅次于圣经。仅次于圣经。171
11、7世纪资本主义文明，是以牛顿科学成就作世纪资本主义文明，是以牛顿科学成就作为标志。他所创建微积分成为那个科学黄金为标志。他所创建微积分成为那个科学黄金时代基础。时代基础。第13页以爱因斯坦相对论为代表当代科学文明，则建立以爱因斯坦相对论为代表当代科学文明，则建立在黎曼几何之上。在黎曼几何之上。2020世纪下半叶开始信息时代，世纪下半叶开始信息时代，则以数学信息论、数学控制论，以及电子计算机则以数学信息论、数学控制论，以及电子计算机冯冯诺依曼方案为代表。诺依曼方案为代表。从人类文明高度来审阅数学，就不会再简单地把从人类文明高度来审阅数学，就不会再简单地把数学看成逻辑堆砌。数学是人类文明史上漂亮女
12、数学看成逻辑堆砌。数学是人类文明史上漂亮女王。王。第14页2 2、数学打上了人类各个文化发展阶段烙印、数学打上了人类各个文化发展阶段烙印以古希腊数学和中国古代数学为例，说明不一样以古希腊数学和中国古代数学为例，说明不一样民族文化会产生不一样格调数学，它们都含有鲜民族文化会产生不一样格调数学，它们都含有鲜明时代文化烙印。明时代文化烙印。比如，比如，“对顶角相等对顶角相等”是否需要证实？是否需要证实？两条直线相交，形成四个角，一共两对。彼此相两条直线相交，形成四个角，一共两对。彼此相对着一对角称为对顶角。对着一对角称为对顶角。古希腊数学家欧几里得古希腊数学家欧几里得(约公元前约公元前330330一
13、一275)275)撰写撰写几何原本里证实了这个定理：几何原本里证实了这个定理：第15页“对顶角相等对顶角相等”。在如图。在如图上，即指上，即指A=BA=B。看几何原本里怎么证看几何原本里怎么证实。实。命题命题 对顶角相等。对顶角相等。证实：因为角证实：因为角A+C=B+C=A+C=B+C=平平角角依据公理依据公理3 3：等量减等量，：等量减等量，其差相等。其差相等。所以，所以，A=BA=BABCD这是经典用公理进行逻辑推演这是经典用公理进行逻辑推演结果，展现了古希腊文明在探结果，展现了古希腊文明在探求真理上理性思维，现已成为求真理上理性思维，现已成为人类最宝贵精神财富。人类最宝贵精神财富。第1
14、6页中国古代数学也含有光芒成就。标志性著作九中国古代数学也含有光芒成就。标志性著作九章算术在春秋战国时期已经初步形成。书中有章算术在春秋战国时期已经初步形成。书中有丈量田亩丈量田亩“方田方田”等共九章等共九章幻灯片幻灯片80，因而得名。，因而得名。然而，我们翻开九章算术根本看不到然而，我们翻开九章算术根本看不到“对顶对顶角相等角相等”这么命题，甚至没有明确地提到这么命题，甚至没有明确地提到“角角”概念。概念。这终究是为何呢？这终究是为何呢？主要在于古希腊数学和中国数主要在于古希腊数学和中国数学是在两种不一样文化影响下产生。学是在两种不一样文化影响下产生。第17页 中国古代数学崇尚实用。九章算术
15、中问题，多半是谋中国古代数学崇尚实用。九章算术中问题，多半是谋中国古代数学崇尚实用。九章算术中问题，多半是谋中国古代数学崇尚实用。九章算术中问题，多半是谋士（包含数学家）向君王提议管理国家理念和数学方法。士（包含数学家）向君王提议管理国家理念和数学方法。士（包含数学家）向君王提议管理国家理念和数学方法。士（包含数学家）向君王提议管理国家理念和数学方法。比如，为了核实财产，需要丈量田亩；为了抽税，需要有比如，为了核实财产，需要丈量田亩；为了抽税，需要有比如，为了核实财产，需要丈量田亩；为了抽税，需要有比如，为了核实财产，需要丈量田亩；为了抽税，需要有百分比计算；为了水利工程，需要计算土方；为了测
16、量天百分比计算；为了水利工程，需要计算土方；为了测量天百分比计算；为了水利工程，需要计算土方；为了测量天百分比计算；为了水利工程，需要计算土方；为了测量天文和地理，有时需要解方程。文和地理，有时需要解方程。文和地理，有时需要解方程。文和地理，有时需要解方程。计算便捷和准确，成为中国计算便捷和准确，成为中国计算便捷和准确，成为中国计算便捷和准确，成为中国数学特征数学特征数学特征数学特征。这么一来，中国传统数学成了。这么一来，中国传统数学成了。这么一来，中国传统数学成了。这么一来，中国传统数学成了“管理国家管理国家管理国家管理国家”“”“文书文书文书文书”。假如说，中国数学是世界上假如说，中国数学
17、是世界上假如说，中国数学是世界上假如说，中国数学是世界上“管理数学管理数学管理数学管理数学”最早文最早文最早文最早文件，大约是不会错。也正因为如此，诸如件，大约是不会错。也正因为如此，诸如件，大约是不会错。也正因为如此，诸如件，大约是不会错。也正因为如此，诸如“对顶角相等对顶角相等对顶角相等对顶角相等”这么问题，和管理数学没有什么关系，自然就不在研究范这么问题，和管理数学没有什么关系，自然就不在研究范这么问题，和管理数学没有什么关系，自然就不在研究范这么问题，和管理数学没有什么关系，自然就不在研究范围之中了。围之中了。围之中了。围之中了。第18页然而，古希腊城邦实施然而，古希腊城邦实施“奴隶主
18、民主政治奴隶主民主政治”。那。那里由男性奴隶主选举执政官，提出预算，决定是里由男性奴隶主选举执政官，提出预算，决定是否宣战等重大问题。即使这是少数人民主，对大否宣战等重大问题。即使这是少数人民主，对大多数奴隶来说，并无民主可言。不过在这种多数奴隶来说，并无民主可言。不过在这种“小小民主民主”制度下毕竟要选举，于是有了在选举中说制度下毕竟要选举，于是有了在选举中说服对方，争取选票需要。反应在文化上，便有了服对方，争取选票需要。反应在文化上，便有了“说服说服”对方，进行证实动机。他们认为，证实对方，进行证实动机。他们认为，证实最好路径是从大家公认真理最好路径是从大家公认真理(公理公理)出发，经过逻
19、出发，经过逻辑推演得到结论。在这么文化背景下，用辑推演得到结论。在这么文化背景下，用“等量等量减等量减等量”公理证实公理证实“对顶角相等对顶角相等”，就是很自然，就是很自然事了。事了。第19页不一样文化孕育了不一样数学。古希腊数学闪耀不一样文化孕育了不一样数学。古希腊数学闪耀着理性思维光芒，不迷信权威，不感情用事，不着理性思维光芒，不迷信权威，不感情用事，不人云亦云，而是客观地、冷静地、逻辑地进行思人云亦云，而是客观地、冷静地、逻辑地进行思索，探求真理。这就是我们应该向古希腊文明学索，探求真理。这就是我们应该向古希腊文明学习地方，也是我们学习几何证实主要目标之一。习地方，也是我们学习几何证实主
20、要目标之一。第20页那么，中国传统数学就不主要吗？不。中国传统那么，中国传统数学就不主要吗？不。中国传统数学以数学以计算见长计算见长，含有，含有“算法数学算法数学”和和“数学机数学机械化械化”特征。祖冲之特征。祖冲之(429500)(429500)在这个基础上，在这个基础上，计算出圆周率在计算出圆周率在3.14159263.1415926和和3.14159273.1415927之间，两之间，两个近似值是约率个近似值是约率(22(227)7)和密率和密率(355(355113)113)。还有。还有祖氏父子关于球体积公式推算，祖氏父子关于球体积公式推算，这是数学史上一这是数学史上一个重大贡献。个重
21、大贡献。129129中国传统数学成就中国传统数学成就第21页到了公元，吴文俊因“数学机械化方法”重大数学结果取得第一届“国家最高科学技术奖”。他贡献之一是用计算机能够证实全部已知平面几何定理，而且发觉一些新定理。他是在信息时代既能继承中国古代“算法数学”传统，又能发展古希腊数学精神典范。学习和吸收人类一切优异文化遗产，继承和发展中国传统文化精华，是我们永远需要坚持方向。从这个例子也能够看出，学习数学不能脱离相关文化背景。第22页（三）数学从社会文化中汲取营养（三）数学从社会文化中汲取营养数学家在创建数学时候，不停地从普通文化中汲数学家在创建数学时候，不停地从普通文化中汲取营养。许多数学本原思想
22、和人类普通思想是相取营养。许多数学本原思想和人类普通思想是相通。通。比如：守恒。在改变中找到保持不变规律，比如：守恒。在改变中找到保持不变规律，称为守恒。称为守恒。数学上数学上“对称对称”和文学中和文学中“对仗对仗”是相通。数学是相通。数学上对称，是指在运动改变中保持某种不变性。所上对称，是指在运动改变中保持某种不变性。所谓谓“对仗对仗”，则是在上联变为下联过程中，保持，则是在上联变为下联过程中，保持着意境、语词某种不变性。着意境、语词某种不变性。“明月松间照，清泉明月松间照，清泉石上流石上流”，是王维诗句，对仗十分工整。文学经，是王维诗句，对仗十分工整。文学经过这么过这么“守恒守恒”，表达睿
23、智和均衡美。，表达睿智和均衡美。第23页守恒是客观规律，发觉守恒是科学胜利，认识守守恒是客观规律，发觉守恒是科学胜利，认识守恒是美享受。恒是美享受。那么，数学又是怎样和守恒连在一起呢那么，数学又是怎样和守恒连在一起呢?其实，从小学起，我们就在和守恒打交道。数字其实，从小学起，我们就在和守恒打交道。数字相加和相乘交换律就是守恒定律，位置交换了，相加和相乘交换律就是守恒定律，位置交换了，改变了，不过它们改变了，不过它们“和和”与与“积积”不变。不变。a+b=b+a,a.b=b.a a+b=b+a,a.b=b.a。再如分数再如分数 ，这些分数形式各不相同，这些分数形式各不相同，面貌变了，不过他们表示
24、大小数值没有变，都是面貌变了，不过他们表示大小数值没有变，都是0.50.5。这当然也是守恒。利用分数表示守恒规则，。这当然也是守恒。利用分数表示守恒规则，我们能够通分，进行分数加减乘除。我们能够通分，进行分数加减乘除。第24页在几何上，两个全等图形，它们长度、角度、面在几何上，两个全等图形，它们长度、角度、面积等等都不变。这就是说，全等图形经过运动之积等等都不变。这就是说，全等图形经过运动之后，长度、角度、面积是守恒。后，长度、角度、面积是守恒。数学思想建立离不开人类文化进步。在本原思想数学思想建立离不开人类文化进步。在本原思想上，比如守恒，许多学科之间都彼此相通。数学上，比如守恒，许多学科之
25、间都彼此相通。数学课上指出这一点，就会增加学生对数学亲切感。课上指出这一点，就会增加学生对数学亲切感。与此同时，学生也就更轻易了解数学真谛。与此同时，学生也就更轻易了解数学真谛。第25页（四）数学思维方式对人类文化独特贡献（四）数学思维方式对人类文化独特贡献数学科学抽象，形成了一个人工宇宙。普通来说，数学科学抽象，形成了一个人工宇宙。普通来说，抽象是人类认识世界方式之一。恩格斯曾经说过：抽象是人类认识世界方式之一。恩格斯曾经说过：“数学是一个研究思想事物抽象科学。数学是一个研究思想事物抽象科学。”从从1，2，3，自然数开始，一切数学内容都是以抽象自然数开始，一切数学内容都是以抽象形式出现。也正
26、因为如此，数学为人类提供了用形式出现。也正因为如此，数学为人类提供了用高度抽象思维把握现实存在文化范例。高度抽象思维把握现实存在文化范例。第26页假如说，哲学是自然科学和社会科学概括，那么，假如说，哲学是自然科学和社会科学概括，那么，数学则是这两大科学在数量上抽象概括。数学是数学则是这两大科学在数量上抽象概括。数学是世界抽象化、符号化描述。数学世界是一个由人世界抽象化、符号化描述。数学世界是一个由人类来编织、有自己严密组织与系统、超物质理性类来编织、有自己严密组织与系统、超物质理性思辨体系。数学这一特质，成为人类思维象征。思辨体系。数学这一特质，成为人类思维象征。数学理性成为人类文明关键部分之
27、一。实际上，数学理性成为人类文明关键部分之一。实际上，这也是这也是数学成为学校最主要课程之一原因。数学成为学校最主要课程之一原因。数学成为学校最主要课程之一原因。数学成为学校最主要课程之一原因。第27页数学理性思维产物：数学理性思维产物：数学理性思维产物：数学理性思维产物：数世界。数字数世界。数字数世界。数字数世界。数字“1”“1”，就能够，就能够，就能够，就能够表示世界上全部单个物体；自然数是人类直觉产表示世界上全部单个物体；自然数是人类直觉产表示世界上全部单个物体；自然数是人类直觉产表示世界上全部单个物体；自然数是人类直觉产物，却在抽象领域内取得思维更大自由。负数、物，却在抽象领域内取得思
28、维更大自由。负数、物，却在抽象领域内取得思维更大自由。负数、物，却在抽象领域内取得思维更大自由。负数、分数引入，组成了最初数量世界。与此同时，分数引入，组成了最初数量世界。与此同时，分数引入，组成了最初数量世界。与此同时，分数引入，组成了最初数量世界。与此同时，“=”“=”引入，标志着数量上某种统一性。相等推广，引入，标志着数量上某种统一性。相等推广，引入，标志着数量上某种统一性。相等推广，引入，标志着数量上某种统一性。相等推广，就有全等、同解、等价、同伦等等抽象数学概念就有全等、同解、等价、同伦等等抽象数学概念就有全等、同解、等价、同伦等等抽象数学概念就有全等、同解、等价、同伦等等抽象数学概
29、念出现。当然，与相等对立出现。当然，与相等对立出现。当然，与相等对立出现。当然，与相等对立“不等不等不等不等”，引发出，引发出，引发出，引发出“大大大大小小小小”、“次序次序次序次序”概念。实际上，没有这些抽象，概念。实际上，没有这些抽象，概念。实际上，没有这些抽象，概念。实际上，没有这些抽象，也就没有些人类文明。也就没有些人类文明。也就没有些人类文明。也就没有些人类文明。让我们看一些例子。让我们看一些例子。早早早早期数学知识积累期数学知识积累期数学知识积累期数学知识积累第28页数学是人类思维精巧化。数学是人类思维精巧化。数学是人类思维精巧化。数学是人类思维精巧化。徐利治先生引用徐利治先生引用
30、徐利治先生引用徐利治先生引用“孤帆孤帆孤帆孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流远影碧空尽，唯见长江天际流远影碧空尽，唯见长江天际流远影碧空尽，唯见长江天际流”名句，描绘数学名句，描绘数学名句，描绘数学名句，描绘数学上上上上“极限极限极限极限”意境，可称绝妙。初唐诗人陈子昂有意境，可称绝妙。初唐诗人陈子昂有意境，可称绝妙。初唐诗人陈子昂有意境，可称绝妙。初唐诗人陈子昂有诗云：诗云：诗云：诗云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠前不见古人，后不见来者，念天地之悠前不见古人，后不见来者，念天地之悠前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下。悠，独怆然而涕下。悠，独怆然而涕下。悠，独怆然而涕下。”
31、他给我们描述了一维时间，他给我们描述了一维时间，他给我们描述了一维时间，他给我们描述了一维时间，三维天地。数学，则将它精巧化为时间直线和三三维天地。数学，则将它精巧化为时间直线和三三维天地。数学，则将它精巧化为时间直线和三三维天地。数学，则将它精巧化为时间直线和三维欧氏几何。解析几何则使之能够用数量进行描维欧氏几何。解析几何则使之能够用数量进行描维欧氏几何。解析几何则使之能够用数量进行描维欧氏几何。解析几何则使之能够用数量进行描述。数学理性并不是天上掉下来，是人们日常思述。数学理性并不是天上掉下来，是人们日常思述。数学理性并不是天上掉下来，是人们日常思述。数学理性并不是天上掉下来，是人们日常思
32、维精巧化。维精巧化。维精巧化。维精巧化。第29页数学抽象又一个主要台阶是无理数发觉。数学抽象又一个主要台阶是无理数发觉。数学抽象又一个主要台阶是无理数发觉。数学抽象又一个主要台阶是无理数发觉。这是人这是人这是人这是人类跨越无限第一个胜利。它不是来自直观，而是类跨越无限第一个胜利。它不是来自直观，而是类跨越无限第一个胜利。它不是来自直观，而是类跨越无限第一个胜利。它不是来自直观，而是理性思维结果。理性思维结果。理性思维结果。理性思维结果。毕德哥拉斯学派数学成就毕德哥拉斯学派数学成就毕德哥拉斯学派数学成就毕德哥拉斯学派数学成就。接着，。接着，。接着，。接着，微积分创造，再次跨越无限，催生了科学黄金
33、时微积分创造，再次跨越无限，催生了科学黄金时微积分创造，再次跨越无限，催生了科学黄金时微积分创造，再次跨越无限，催生了科学黄金时代。学习微积分，就是学习人类怎样跨越无限，代。学习微积分，就是学习人类怎样跨越无限，代。学习微积分，就是学习人类怎样跨越无限，代。学习微积分，就是学习人类怎样跨越无限，掌握无限。康托向无限进军，创造了无限集合超掌握无限。康托向无限进军，创造了无限集合超掌握无限。康托向无限进军，创造了无限集合超掌握无限。康托向无限进军，创造了无限集合超限数理论，到达了理性思维新高峰。希尔伯特形限数理论，到达了理性思维新高峰。希尔伯特形限数理论，到达了理性思维新高峰。希尔伯特形限数理论，
34、到达了理性思维新高峰。希尔伯特形式主义数学体系以及哥德尔论证形式主义体系两式主义数学体系以及哥德尔论证形式主义体系两式主义数学体系以及哥德尔论证形式主义体系两式主义数学体系以及哥德尔论证形式主义体系两个不完备性定理，成为人类理性思维伟大结晶。个不完备性定理，成为人类理性思维伟大结晶。个不完备性定理，成为人类理性思维伟大结晶。个不完备性定理，成为人类理性思维伟大结晶。第30页数学理性又一个伟大胜利是非欧几何创建。数学理性又一个伟大胜利是非欧几何创建。人类摆脱直觉限制，建立了理性几何世界。人类摆脱直觉限制，建立了理性几何世界。复数和四元数发觉，抽象群论建立，无限复数和四元数发觉，抽象群论建立，无限
35、小分析严密化，终于创建了纯粹数学理性小分析严密化，终于创建了纯粹数学理性王国。王国。第31页数学理性新境界，则是数学模拟世界。数学理性新境界，则是数学模拟世界。数数学模型将自然世界中原因抽象为用符号表学模型将自然世界中原因抽象为用符号表示数量和结构，利用数学抽象工具加以分示数量和结构，利用数学抽象工具加以分析，并将得出结果还原为现实。数学模型析，并将得出结果还原为现实。数学模型是了解自然现象钥匙。最近，借助计算机是了解自然现象钥匙。最近，借助计算机技术创建模拟试验、模拟战场、模拟社会，技术创建模拟试验、模拟战场、模拟社会，使得数学理性世界和现实世界紧密结合，使得数学理性世界和现实世界紧密结合，
36、成为人类改造自然利器。成为人类改造自然利器。第32页由上述若干例子说明，数学是从数量（广义）侧由上述若干例子说明，数学是从数量（广义）侧由上述若干例子说明，数学是从数量（广义）侧由上述若干例子说明，数学是从数量（广义）侧面观察事物。数学家抽象和数学理性世界是非自面观察事物。数学家抽象和数学理性世界是非自面观察事物。数学家抽象和数学理性世界是非自面观察事物。数学家抽象和数学理性世界是非自然、人文，含有文化形态，正如科学和艺术也在然、人文，含有文化形态，正如科学和艺术也在然、人文，含有文化形态，正如科学和艺术也在然、人文，含有文化形态，正如科学和艺术也在结构自己思维方式。比如，艺术结构世界包含：结
37、构自己思维方式。比如，艺术结构世界包含：结构自己思维方式。比如，艺术结构世界包含：结构自己思维方式。比如，艺术结构世界包含：用音符写成音乐；用笔绘成图画；用泥构作雕塑；用音符写成音乐；用笔绘成图画；用泥构作雕塑；用音符写成音乐；用笔绘成图画；用泥构作雕塑；用音符写成音乐；用笔绘成图画；用泥构作雕塑；用构件孕育建筑。艺术家用形象思维使得艺术作用构件孕育建筑。艺术家用形象思维使得艺术作用构件孕育建筑。艺术家用形象思维使得艺术作用构件孕育建筑。艺术家用形象思维使得艺术作品含有些人文价值，折射出世间万象，从而形成品含有些人文价值，折射出世间万象，从而形成品含有些人文价值，折射出世间万象，从而形成品含有
38、些人文价值，折射出世间万象，从而形成艺术上文化形态。艺术上文化形态。艺术上文化形态。艺术上文化形态。第33页二、数学文化教育价值二、数学文化教育价值（一）数学文化价值（一）数学文化价值数学作为人类文化极其主要组成原因，对人类文数学作为人类文化极其主要组成原因，对人类文明发展有着举足轻重作用，尤其是当代文化发展明发展有着举足轻重作用，尤其是当代文化发展更表明了数学文化地位和作用。数学除了含有普更表明了数学文化地位和作用。数学除了含有普通文化价值外，亦含有独特文化价值。通文化价值外，亦含有独特文化价值。1、认识价值、认识价值从哲学上看，任何事物都是量和质统一体，要取从哲学上看，任何事物都是量和质统
39、一体，要取得对事物本质清楚认识，就必须对事物量进行分得对事物本质清楚认识，就必须对事物量进行分析，而数学正是一门研究析，而数学正是一门研究“量量”科学，因而必定科学，因而必定成为人们认识世界有力工具。成为人们认识世界有力工具。第34页（1）数学：科学语言）数学：科学语言数学成为描述自然和社会语言，数学是一数学成为描述自然和社会语言，数学是一个语言，一个普遍使用科学语言。首先，个语言，一个普遍使用科学语言。首先，数学作为科学语言向科学贡献了许多概念。数学作为科学语言向科学贡献了许多概念。数学概念成为科学概念基础，许多数学概数学概念成为科学概念基础，许多数学概念成为普通科学中基本概念和基本用语。念
40、成为普通科学中基本概念和基本用语。如集合、空间、极限、算子、随机性、线如集合、空间、极限、算子、随机性、线性、非线性等等。性、非线性等等。第35页其次，数学语言含有单义性、确定性特点，其次，数学语言含有单义性、确定性特点，所以，利用数学语言表述科学概念与原理所以，利用数学语言表述科学概念与原理清楚、准确，不会产生歧义，能够克服自清楚、准确，不会产生歧义，能够克服自然语言多义性，从而确保科学概念科学性、然语言多义性，从而确保科学概念科学性、准确性。总之，数学语言已成为一个通用准确性。总之，数学语言已成为一个通用理想化语言。理想化语言。第36页（2 2 2 2）数学：普遍适用思想方法）数学：普遍适
41、用思想方法）数学：普遍适用思想方法）数学：普遍适用思想方法数学作为形成当代文化主要力量，提供给人类不数学作为形成当代文化主要力量，提供给人类不数学作为形成当代文化主要力量，提供给人类不数学作为形成当代文化主要力量，提供给人类不但仅是现成知识、工具，更主要是，它提供给人但仅是现成知识、工具，更主要是，它提供给人但仅是现成知识、工具，更主要是，它提供给人但仅是现成知识、工具，更主要是，它提供给人类以崭新思想和无穷方法。在数学众多思想方法类以崭新思想和无穷方法。在数学众多思想方法类以崭新思想和无穷方法。在数学众多思想方法类以崭新思想和无穷方法。在数学众多思想方法之中，带有根本性思想方法恐怕就是公理化
42、思想、之中，带有根本性思想方法恐怕就是公理化思想、之中，带有根本性思想方法恐怕就是公理化思想、之中，带有根本性思想方法恐怕就是公理化思想、数学模型方法等。数学模型方法等。数学模型方法等。数学模型方法等。时至今日，数学许多主要思想方法，早已超越数时至今日，数学许多主要思想方法，早已超越数时至今日，数学许多主要思想方法，早已超越数时至今日，数学许多主要思想方法，早已超越数学本身领域，而成为人类含有普遍适用性思想方学本身领域，而成为人类含有普遍适用性思想方学本身领域，而成为人类含有普遍适用性思想方学本身领域，而成为人类含有普遍适用性思想方法。首先，数学思想方法起着科学示范作用。其法。首先，数学思想方
43、法起着科学示范作用。其法。首先，数学思想方法起着科学示范作用。其法。首先，数学思想方法起着科学示范作用。其次，数学思想方法为其它科学提供了普遍思想框次，数学思想方法为其它科学提供了普遍思想框次，数学思想方法为其它科学提供了普遍思想框次，数学思想方法为其它科学提供了普遍思想框架。架。架。架。第37页2、智力价值、智力价值数学是人类智力创造物，因而成为训练人数学是人类智力创造物，因而成为训练人智力、提升人智力水平最为有效路径。实智力、提升人智力水平最为有效路径。实事求是地说，就培养人智力功效来讲，就事求是地说，就培养人智力功效来讲，就培养人思维深度、广度以及系统性而言，培养人思维深度、广度以及系统
44、性而言，再没有其它一门学科能与数学相比了。再没有其它一门学科能与数学相比了。第38页人智力核心是思维能力。数学可认为思维能力提高和发展提供全方位训练。在数学学习中，不论被称之为“数学老三大能力”运算能力、逻辑思维能力和空问想像能力，还是被称之为“数学新三大能力”数学应用能力、数学探索能力和数学阅读能力，思维能力都是各种能力核心能力。数学中几何是思维训练最具力量学科，它对训练人们智力、提高智力水平具有独特价值。历史上许多科学巨匠，如笛卡儿、牛顿、爱因斯坦等都曾得益于他们少年时代几何学习。第39页另外，数学智力价值还表现在智力探险意另外，数学智力价值还表现在智力探险意义上。仅仅把数学看成是一门实用
45、工具学义上。仅仅把数学看成是一门实用工具学科观点是片面。在数学中，有不少领域及科观点是片面。在数学中，有不少领域及其研究结果最少在能够预见未来似乎并不其研究结果最少在能够预见未来似乎并不可能产生某种主要实用价值，然而，依然可能产生某种主要实用价值，然而，依然有许多数学家活跃在这些领域，每当他们有许多数学家活跃在这些领域，每当他们取得一项主要研究结果，都意味着人类在取得一项主要研究结果，都意味着人类在智力攀登中到达了一个新高度。智力攀登中到达了一个新高度。第40页3、精神价值数学是人类最重要创造性活动之一，作为一种创造性活动，数学世界能够不停地提高人类精神境界，推进人类精神文明和进步。（1）理性
46、精神理性精神是人们对外部客观世界与自身一种理智、根本看法或基本态度，它对人类自身存在和文化发展具有特别重要意义。第41页数学对象并非现实世界中真实存在，而是抽象思维产物，它存在于一个独立、不依赖于人意志为转移客观世界理念世界之中。一方面它是人脑抽象思维创造物，其次它又是不依赖于人意识而独立存在着。数学对象这种二重性质也就构成了数学文化二重性，而这正是数学理性重要内涵主客体严格区分，但是，在数学研究中，又是采取纯客观立场把数学对象看成是不依赖于人而独立存在，采取纯逻辑演绎方法。第42页数学研究对象和研究方法所蕴含理性精神，数学研究对象和研究方法所蕴含理性精神，对于人类文化发展和认识世界、改造世界
47、对于人类文化发展和认识世界、改造世界含有特殊主要意义。从人类文化各个阶段含有特殊主要意义。从人类文化各个阶段发展看，无不印证着数学中充满理性精神，发展看，无不印证着数学中充满理性精神，是其它任何一门科学无法比拟和所能替换。是其它任何一门科学无法比拟和所能替换。第43页（2 2 2 2）求实精神）求实精神）求实精神）求实精神求实精神表现为尊重事实、尊重科学、尊重规律、求实精神表现为尊重事实、尊重科学、尊重规律、求实精神表现为尊重事实、尊重科学、尊重规律、求实精神表现为尊重事实、尊重科学、尊重规律、实事求是、考究逻辑、不迷信、不盲从。这是追实事求是、考究逻辑、不迷信、不盲从。这是追实事求是、考究逻
48、辑、不迷信、不盲从。这是追实事求是、考究逻辑、不迷信、不盲从。这是追求真理精神表示。求真理精神表示。求真理精神表示。求真理精神表示。数学逻辑性、确定性，为数学数学逻辑性、确定性，为数学数学逻辑性、确定性，为数学数学逻辑性、确定性，为数学求实精神提供了可靠确保。逻辑性表现在数学形求实精神提供了可靠确保。逻辑性表现在数学形求实精神提供了可靠确保。逻辑性表现在数学形求实精神提供了可靠确保。逻辑性表现在数学形式中因果关系和次序关系，确定性反应数学一切式中因果关系和次序关系，确定性反应数学一切式中因果关系和次序关系，确定性反应数学一切式中因果关系和次序关系，确定性反应数学一切概念都是十分准确、简炼语言表
49、示。数学认识世概念都是十分准确、简炼语言表示。数学认识世概念都是十分准确、简炼语言表示。数学认识世概念都是十分准确、简炼语言表示。数学认识世界规律性反应在命题中结论必定性、可验证性；界规律性反应在命题中结论必定性、可验证性；界规律性反应在命题中结论必定性、可验证性；界规律性反应在命题中结论必定性、可验证性；数学对真理检验反应在方法既含有普通科学研究数学对真理检验反应在方法既含有普通科学研究数学对真理检验反应在方法既含有普通科学研究数学对真理检验反应在方法既含有普通科学研究方法合理性，又含有逻辑可靠性。数学求真、求方法合理性，又含有逻辑可靠性。数学求真、求方法合理性，又含有逻辑可靠性。数学求真、
50、求方法合理性，又含有逻辑可靠性。数学求真、求实精神孕育其中。实精神孕育其中。实精神孕育其中。实精神孕育其中。第44页（3 3 3 3）创造精神）创造精神）创造精神）创造精神 数学是一个创造性活动和创造性活动精神产物。首先，数数学是一个创造性活动和创造性活动精神产物。首先，数数学是一个创造性活动和创造性活动精神产物。首先，数数学是一个创造性活动和创造性活动精神产物。首先，数学概念建立含有前所未有创意。许多数学概念产生和取得学概念建立含有前所未有创意。许多数学概念产生和取得学概念建立含有前所未有创意。许多数学概念产生和取得学概念建立含有前所未有创意。许多数学概念产生和取得都凝聚着人类创造性劳动，如