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1、薄板的屈曲（稳定性）薄板稳定性问题的基本方程用静力法求解板的稳定性用能量法求板的稳定性第四章 薄板稳定问题第1页/共30页薄板在边界上受纵向载荷。受拉时：薄板平面平衡的状态是稳定的要使薄板进入弯曲状态，必须施加横向的干扰力干扰力除去后，薄板还会恢复到原来的平面平衡状态受压时：当纵向压力超过某一数值时（即临界载荷）薄板的平面平衡状态是不稳定的。薄板受到干扰而弯曲后，如果去掉干扰，薄板不在回到原来的平面平衡的状态，而进入一个弯曲的平衡状态。这个弯曲的平衡状态是稳定的。薄板在纵向压力的作用下，处于弯曲的平衡状态，这种现象称为屈曲。4.1 薄板的稳定性第2页/共30页重点：求临界载荷方法：静力法：也叫
2、平衡法，用静力学研究稳定性的方法，基于静力平衡方程。动力法：基于有限自由度系统发展起来的。能量法：通过判断离开平衡位置后势能增量的正负号来研究弹性体的稳定性。4.1 薄板的稳定性第3页/共30页薄板的平面应力问题：当薄板在边界上受纵向载荷作用时，由于板很薄，我们可以假设只发生平行于中面的应力，而且这些应力不沿薄板的厚度变化。每单位长度上的平面应力合成为如下的中面内力或薄膜内力：同时受到横向和纵向联合作用时：如果纵向载荷很小，因而中面内力也很小，对薄板弯曲影响可以不计，我们可以分别计算两个载荷引起的应力，再叠加。如果纵向载荷不小，考虑中面内力对弯曲的影响。我们需要推导这种情况下的微分方程。4.2
3、 薄板稳定性问题的基本方程第4页/共30页x,y方向的投影平衡方程，得4.2 薄板稳定性问题的基本方程第5页/共30页z方向的投影平衡方程横向载荷的投影横向剪力的投影拉应力的投影纵向剪力的投影4.2 薄板稳定性问题的基本方程 薄膜内力对弯曲的影响第6页/共30页横向载荷的投影横向剪力的投影拉应力的投影4.2 薄板稳定性问题的基本方程第7页/共30页纵向剪力的投影4.2 薄板稳定性问题的基本方程第8页/共30页所有z方向力的投影和等于零：利用：得：再利用得4.2 薄板稳定性问题的基本方程第9页/共30页在分析薄板屈曲问题从而求临界载荷时，我们假设：纵向载荷分布规律已知纵向载荷大小未知静力法求解发
4、生屈曲时纵向载荷的最小值（临界载荷）的步骤：首先用平面应力问题的求解方法，求出由纵向载荷引起的平面应力 ，从而求出用未知的纵向载荷来表示的中面内力 。令横向载荷q，得到如下的薄板屈曲微分方程求解临界载荷的问题转换为：使屈曲微分方程有满足边界条件的非零解，纵向载荷的最小数值是多少？4.3 静力法求薄板的稳定性第10页/共30页例1：四边简支的矩形薄板，厚度为t，它的两对边受有均布压力，在板边的每单位长度上为Px。由平面问题可知，由Px引起的平面应力为：于是平面内力代入屈曲微分方程得4.3 静力法求薄板的稳定性第11页/共30页取挠度的表达式为：代入到屈曲微分方程中，得：Amn有非零解的条件是：从
5、而得到临界载荷4.3 静力法求薄板的稳定性第12页/共30页令n=1，得临界载荷：或：其中：4.3 静力法求薄板的稳定性第13页/共30页针对m的不同取值，得到长宽比a/b与k的关系曲线4.3 静力法求薄板的稳定性第14页/共30页例2：四边简支的矩形薄板，厚度为t，双向受均布压力，在边的每单位长度上分别为Px及Py=cPx由平面问题可知，由Px和Py引起的平面应力为：薄膜内力为：4.3 静力法求薄板的稳定性第15页/共30页代入屈曲微分方程得取挠度的表达式为代入到屈曲微分方程中，得：4.3 静力法求薄板的稳定性第16页/共30页从而得到临界载荷对于已知的比值a/b及c，取不同m和n的值求出不
6、同的临界载荷。当Py为拉力时，c取负值，上式仍适用。4.3 静力法求薄板的稳定性第17页/共30页例3：两对边简支的矩形薄板，厚度为t，它的两简支边受有均布压力，在板边的每单位长度上为Px。代入屈曲微分方程：得4.3 静力法求薄板的稳定性第18页/共30页取挠度的表达式为：代入到屈曲微分方程中，得：它对于的特征方程是：这个代数方程的四个跟是：4.3 静力法求薄板的稳定性第19页/共30页大多数情况：取正实数：少数情况下：此时：Ym的解答为：4.3 静力法求薄板的稳定性第20页/共30页挠度为：利用y=0和y=b处的四个边界条件得到C1至C4的联立代数方程组。当薄板屈曲时，C1至C4 不能都为零
7、，因而只能要求该方程组的系数行列式等于零，得到关于Px的一个方程（通常是超越方程），取不同m可以得到屈曲临界载荷。4.3 静力法求薄板的稳定性第21页/共30页稳定性的辨别：薄板在纵向压载荷作用下处于平面平衡状态，如果薄板受到横向干扰进入临界的某一弯曲状态，在干扰力去除后，它是否恢复原来的平面状态。能量角度：当薄板从平面状态进入弯曲状态时，势能是增加还是减少。势能增加：表明平面状态下的势能为极小，对应于稳定平衡势能减小：平面状态下的势能为极大，对应于不稳定平衡。势能不变：表示该平面状态下的平衡是稳定平衡的极限，对应于这一极限状态的纵向载荷就是临界载荷。此时，临界载荷做的功等于变形势能的增加、即
8、全部的弯曲变形势能，所以总的势能不变。W-U=0，或W=U4.4 能量法求薄板的稳定性第22页/共30页纵向载荷做的功可以按照纵向载荷引起的中面内力所做的功计算。设纵向载荷在薄板中面某一微面引起的薄膜内力为Nx、Ny、Nxy，如图所示。dx边的边长发生弯曲变形后，变为：4.4 能量法求薄板的稳定性第23页/共30页x方向边长缩短了 ，所以内力Nxdy所做的功是同样Nydx所做的功为：对于Nxy=Nyx，他们做的功为将以上三部分相加，得到微面上所有中面内力做的功：4.4 能量法求薄板的稳定性第24页/共30页整个薄板内中面内力做的功为：弯曲变形势能为：计算屈曲临界载荷的步骤：由纵向载荷来表示中面
9、内力假设满足边界条件的挠度表达式求纵向载荷作的功w以及弯曲变形能U由w=U得到屈曲弯曲临界载荷4.4 能量法求薄板的稳定性第25页/共30页为了使得假设的挠度较好的符合临界载荷下的挠度，从而精确的求得临界载荷，可以假定挠度的表达式为：其中wm是满足边界条件的函数，Cm是待定系数，由最小势能原理求。薄板在屈曲状态下时总的势能为U-W，由最小势能原理得到：这是关于Cm 的代数方程组，Cm 有非零解的条件是这个齐次方程组的系数行列式等于零，这样就可以求解出屈曲临界载荷。4.4 能量法求薄板的稳定性第26页/共30页例4：仍以四边简支的矩形薄板为例，厚度为t，它的两对边受有均布压力，在板边的每单位长度上为Px。由平面问题可知，由Px引起的平面应力为：于是平面内力4.4 能量法求薄板的稳定性第27页/共30页取挠度的表达式为：代入到弯曲变形势能表达式：积分后得到：代入纵向载荷做功表达式4.4 能量法求薄板的稳定性第28页/共30页得到：代入 ，得到：上式有非零解的条件，即方程系数行列式等于零得：4.4 能量法求薄板的稳定性第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页