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1、会计学1误差传播定律算术平均值及中误差误差传播定律算术平均值及中误差讨论一般函数，设有函数讨论一般函数，设有函数讨论一般函数，设有函数讨论一般函数，设有函数 其中其中其中其中 为独立观测值。为独立观测值。为独立观测值。为独立观测值。中误差分别为：中误差分别为：中误差分别为：中误差分别为：设设设设 分别有真误差分别有真误差分别有真误差分别有真误差 相应函数相应函数相应函数相应函数 随之产生真误差随之产生真误差随之产生真误差随之产生真误差 根据变量的误差与函数的误差之间的关系近似用全微分表达求函数的全根据变量的误差与函数的误差之间的关系近似用全微分表达求函数的全根据变量的误差与函数的误差之间的关系
2、近似用全微分表达求函数的全根据变量的误差与函数的误差之间的关系近似用全微分表达求函数的全微分微分微分微分,舍取二次以上各项得：舍取二次以上各项得：舍取二次以上各项得：舍取二次以上各项得：第1页/共13页两式相减得两式相减得两式相减得两式相减得;此式为函数此式为函数此式为函数此式为函数Z Z的真误差与独立观测值的真误差之间关系式。的真误差与独立观测值的真误差之间关系式。的真误差与独立观测值的真误差之间关系式。的真误差与独立观测值的真误差之间关系式。是函数对各个变量所取得偏导数。是函数对各个变量所取得偏导数。是函数对各个变量所取得偏导数。是函数对各个变量所取得偏导数。当函数与观测值确定后是一个常数
3、当函数与观测值确定后是一个常数当函数与观测值确定后是一个常数当函数与观测值确定后是一个常数,用用用用K K表示所以函数可写为：表示所以函数可写为：表示所以函数可写为：表示所以函数可写为：将两端各自平方求和除将两端各自平方求和除将两端各自平方求和除将两端各自平方求和除n n得：得：得：得：第2页/共13页根据中误差定义有：根据中误差定义有：根据中误差定义有：根据中误差定义有：三、非线性函数三、非线性函数三、非线性函数三、非线性函数例题例题：丈量得倾斜距离：丈量得倾斜距离s=50.00m，其中误差，其中误差 ，并测得倾斜角，并测得倾斜角 ，其中误差其中误差 ，求相应水平距离，求相应水平距离D及其中
4、误差。及其中误差。解：首先列出函数式解：首先列出函数式 D=Scos 水平距离水平距离D=50cos1 =48.296m这是个非线性函数，所以要用公式（这是个非线性函数，所以要用公式（6-9）求函数的中误差。先求出个偏导数如下：）求函数的中误差。先求出个偏导数如下：按公式（按公式（6-9）得）得：故得：第3页/共13页步骤：步骤：步骤：步骤：（1 1 1 1）写出函数式。）写出函数式。）写出函数式。）写出函数式。（2 2 2 2）写出真误差关系式，只要对函数求微分。）写出真误差关系式，只要对函数求微分。）写出真误差关系式，只要对函数求微分。）写出真误差关系式，只要对函数求微分。（3 3 3 3
5、）换成中误差关系式，就是将偏导数值平房把真误差换成中误）换成中误差关系式，就是将偏导数值平房把真误差换成中误）换成中误差关系式，就是将偏导数值平房把真误差换成中误）换成中误差关系式，就是将偏导数值平房把真误差换成中误差平方差平方差平方差平方三、和差函数三、和差函数三、和差函数三、和差函数例题例题例题例题；测量一正方形四条边长均为；测量一正方形四条边长均为；测量一正方形四条边长均为；测量一正方形四条边长均为10.5m,10.5m,其测量中误差为其测量中误差为其测量中误差为其测量中误差为mmd d=0.05m,0.05m,0.05m,0.05m,求该正方形的周长求该正方形的周长求该正方形的周长求该
6、正方形的周长L L L L及其中误差及其中误差及其中误差及其中误差m m m ml l l l?函数式：函数式：函数式：函数式：D=d1+d1+d1+d1D=d1+d1+d1+d1真误差式：真误差式：中误差式：中误差式：中误差式：中误差式：四、倍数函数四、倍数函数四、倍数函数四、倍数函数如教材例题如教材例题如教材例题如教材例题第4页/共13页第三节算术平均值第三节算术平均值第5页/共13页一、算术平均值一、算术平均值(等精度观测）等精度观测）根据真误差定义，对某量观测了根据真误差定义，对某量观测了n次次两边除两边除n由偶然误差第四特性知：由偶然误差第四特性知：由偶然误差第四特性知：由偶然误差第
7、四特性知：所以所以所以所以在有限次观测时，所求得观测值在有限次观测时，所求得观测值是接近真值的值，因此算术平均值是是接近真值的值，因此算术平均值是观测量的最可靠值。（最或然值）观测量的最可靠值。（最或然值）第6页/共13页二、算术平均值的中误差二、算术平均值的中误差二、算术平均值的中误差二、算术平均值的中误差在同精度观测条件下，得观测值在同精度观测条件下，得观测值L1、L2LLn n,中误差中误差均相同为均相同为m,m,算术平均值如下。算术平均值如下。根据误差传播定律中误差式为：根据误差传播定律中误差式为：第7页/共13页观测次数观测次数观测次数观测次数n n算术平均值的中误差算术平均值的中误
8、差算术平均值的中误差算术平均值的中误差MM2 20.71m0.71m4 40.50m0.50m6 60.41m0.41m10100.32m0.32m20200.22m0.22m50500.14m0.14m算术平均值的中误差是观测值中误差的算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍。算术倍。算术平均值的精度高于观测值的精度随着观测次数的增加平均值的精度高于观测值的精度随着观测次数的增加可以提高成果精度。单靠提高观测次数提高精度达到可以提高成果精度。单靠提高观测次数提高精度达到某种程度时精度提高得很慢，是不经济的，如下表分某种程度时精度提高得很慢，是不经济的，如下表分析。析。第8页/共13页用真误差计
9、算观测值中的误差，在实际中某个未知量的真用真误差计算观测值中的误差，在实际中某个未知量的真用真误差计算观测值中的误差，在实际中某个未知量的真用真误差计算观测值中的误差，在实际中某个未知量的真值是不知道的，所以用最或然误差计算观测值中误差。值是不知道的，所以用最或然误差计算观测值中误差。值是不知道的，所以用最或然误差计算观测值中误差。值是不知道的，所以用最或然误差计算观测值中误差。算术平均值是根据观测数据所求得最接近真值的值称算术平均值是根据观测数据所求得最接近真值的值称算术平均值是根据观测数据所求得最接近真值的值称算术平均值是根据观测数据所求得最接近真值的值称最最最最或然值或然值或然值或然值最
10、或然误差最或然误差最或然误差最或然误差-最或然值最或然值最或然值最或然值X X与观测值之差，也称似真误差，观与观测值之差，也称似真误差，观与观测值之差，也称似真误差，观与观测值之差，也称似真误差，观测值改正数测值改正数测值改正数测值改正数对某量观测对某量观测对某量观测对某量观测n n次则有次则有次则有次则有 已知：已知：已知：已知：将两式相加得将两式相加得：算术平均值的真误差算术平均值的真误差则上式可写为：则上式可写为：第9页/共13页将两边平方将两边平方：两边求和：两边求和：证明：第10页/共13页将将 按级数展开取第一项得按级数展开取第一项得：代入得：第11页/共13页由以上可得由以上可得：（白塞尔公式）（白塞尔公式）第12页/共13页