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1、第二节第二节 误差传播定律误差传播定律一、测量中观测量与未知量的关系一、测量中观测量与未知量的关系一、测量中观测量与未知量的关系一、测量中观测量与未知量的关系分直接观测和间接观测分直接观测和间接观测分直接观测和间接观测分直接观测和间接观测例：高差测量的读数例：高差测量的读数例：高差测量的读数例：高差测量的读数a a、b b，角度测量某一方向读数，角度测量某一方向读数，角度测量某一方向读数，角度测量某一方向读数这些观测量就是未知量，是独立观测值，称直接观测。这些观测量就是未知量，是独立观测值，称直接观测。这些观测量就是未知量，是独立观测值，称直接观测。这些观测量就是未知量，是独立观测值，称直接观
2、测。间接观测间接观测间接观测间接观测-未知量是由直接观测量推算出来的，即通过函数未知量是由直接观测量推算出来的，即通过函数未知量是由直接观测量推算出来的，即通过函数未知量是由直接观测量推算出来的，即通过函数关系计算得出关系计算得出关系计算得出关系计算得出例例例例h=a-b S=a.bh=a-b S=a.b观测斜距，竖角求水平距离观测斜距，竖角求水平距离观测斜距，竖角求水平距离观测斜距，竖角求水平距离D=SD=Scoscos 二、二、二、二、误误误误差差差差传传传传播定律概念播定律概念播定律概念播定律概念要要要要获获获获得得得得间间间间接未知量必接未知量必接未知量必接未知量必须须须须直接直接直接
3、直接观测观测观测观测某些独立量某些独立量某些独立量某些独立量则则则则直接直接直接直接观测观测观测观测量所量所量所量所含有的含有的含有的含有的误误误误差影响着未知量的精度，那么就需要依据直接差影响着未知量的精度，那么就需要依据直接差影响着未知量的精度，那么就需要依据直接差影响着未知量的精度，那么就需要依据直接观测观测观测观测值值值值的中的中的中的中误误误误差求得差求得差求得差求得间间间间接未知量的中接未知量的中接未知量的中接未知量的中误误误误差，差，差，差，阐阐阐阐述述述述这这这这种关系的定律种关系的定律种关系的定律种关系的定律叫叫叫叫误误误误差差差差传传传传播定律播定律播定律播定律。讨论讨论讨
4、论讨论一般函数，一般函数，一般函数，一般函数，设设设设有函数有函数有函数有函数 其中其中其中其中 为为为为独立独立独立独立观测值观测值观测值观测值。中中中中误误误误差分差分差分差分别为别为别为别为：设设设设 分分分分别别别别有真有真有真有真误误误误差差差差 相相相相应应应应函数函数函数函数 随之随之随之随之产产产产生真生真生真生真误误误误差差差差 根据根据根据根据变变变变量的量的量的量的误误误误差与函数的差与函数的差与函数的差与函数的误误误误差之差之差之差之间间间间的关系近似用全微分表达求函数的全的关系近似用全微分表达求函数的全的关系近似用全微分表达求函数的全的关系近似用全微分表达求函数的全微
5、分微分微分微分,舍取二次以上各舍取二次以上各舍取二次以上各舍取二次以上各项项项项得：得：得：得：两式相减得两式相减得两式相减得两式相减得;此式为函数此式为函数此式为函数此式为函数Z Z的真误差与独立观测值的真误差之间关系式。的真误差与独立观测值的真误差之间关系式。的真误差与独立观测值的真误差之间关系式。的真误差与独立观测值的真误差之间关系式。是函数对各个变量所取得偏导数。是函数对各个变量所取得偏导数。是函数对各个变量所取得偏导数。是函数对各个变量所取得偏导数。当函数与观测值确定后是一个常数当函数与观测值确定后是一个常数当函数与观测值确定后是一个常数当函数与观测值确定后是一个常数,用用用用KK表
6、示所以函数可写为：表示所以函数可写为：表示所以函数可写为：表示所以函数可写为：将两端各自平方求和除将两端各自平方求和除将两端各自平方求和除将两端各自平方求和除n n得：得：得：得：根据中误差定义有：根据中误差定义有：根据中误差定义有：根据中误差定义有：三、非线性函数三、非线性函数三、非线性函数三、非线性函数例题例题：丈量得倾斜距离：丈量得倾斜距离s=50.00m，其中误差，其中误差 ，并测得倾斜角，并测得倾斜角 ，其中误差其中误差 ，求相应水平距离，求相应水平距离D及其中误差。及其中误差。解：首先列出函数式解：首先列出函数式 D=Scos 水平距离水平距离D=50cos1=48.296m这是个
7、非线性函数，所以要用公式（这是个非线性函数，所以要用公式（6-9）求函数的中误差。先求出个偏导数如下：）求函数的中误差。先求出个偏导数如下：按公式（按公式（6-9）得）得：故得：步骤：步骤：步骤：步骤：（1 1 1 1）写出函数式。）写出函数式。）写出函数式。）写出函数式。（2 2 2 2）写出真误差关系式，只要对函数求微分。）写出真误差关系式，只要对函数求微分。）写出真误差关系式，只要对函数求微分。）写出真误差关系式，只要对函数求微分。（3 3 3 3）换成中误差关系式，就是将偏导数值平房把真误差换成中误）换成中误差关系式，就是将偏导数值平房把真误差换成中误）换成中误差关系式，就是将偏导数值
8、平房把真误差换成中误）换成中误差关系式，就是将偏导数值平房把真误差换成中误差平方差平方差平方差平方三、和差函数三、和差函数三、和差函数三、和差函数例题例题例题例题；测量一正方形四条边长均为；测量一正方形四条边长均为；测量一正方形四条边长均为；测量一正方形四条边长均为10.5m,10.5m,其测量中误差为其测量中误差为其测量中误差为其测量中误差为mmd d=0.05m,0.05m,0.05m,0.05m,求该正方形的周长求该正方形的周长求该正方形的周长求该正方形的周长L L L L及其中误差及其中误差及其中误差及其中误差m m m ml l l l?函数式：函数式：函数式：函数式：D=d1+d1
9、+d1+d1D=d1+d1+d1+d1D=d1+d1+d1+d1D=d1+d1+d1+d1真误差式：真误差式：真误差式：真误差式：中误差式：中误差式：中误差式：中误差式：四、倍数函数四、倍数函数四、倍数函数四、倍数函数如教材例题如教材例题如教材例题如教材例题第三节算术平均值第三节算术平均值一、算术平均值一、算术平均值一、算术平均值一、算术平均值(等精度观测）等精度观测）等精度观测）等精度观测）根据真误差定义，对某量观测了根据真误差定义，对某量观测了根据真误差定义，对某量观测了根据真误差定义，对某量观测了n n次次次次两边除两边除n由偶然误差第四特性知：由偶然误差第四特性知：由偶然误差第四特性知
10、：由偶然误差第四特性知：所以所以所以所以在有限次观测时，所求得观测值在有限次观测时，所求得观测值是接近真值的值，因此算术平均值是是接近真值的值，因此算术平均值是观测量的最可靠值。（最或然值）观测量的最可靠值。（最或然值）二、算术平均值的中误差二、算术平均值的中误差二、算术平均值的中误差二、算术平均值的中误差在同精度观测条件下，得观测值在同精度观测条件下，得观测值L1、L2LLn n,中误差中误差均相同为均相同为m,m,算术平均值如下。算术平均值如下。根据误差传播定律中误差式为：根据误差传播定律中误差式为：观测次数观测次数观测次数观测次数n n算术平均值的中误差算术平均值的中误差算术平均值的中误
11、差算术平均值的中误差MM2 20.71m0.71m4 40.50m0.50m6 60.41m0.41m10100.32m0.32m20200.22m0.22m50500.14m0.14m算术平均值的中误差是观测值中误差的算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍。算术平倍。算术平均值的精度高于观测值的精度随着观测次数的增加可以均值的精度高于观测值的精度随着观测次数的增加可以提高成果精度。单靠提高观测次数提高精度达到某种程提高成果精度。单靠提高观测次数提高精度达到某种程度时精度提高得很慢，是不经济的，如下表分析。度时精度提高得很慢，是不经济的，如下表分析。用真误差计算观测值中的误差，在实际中某个未知
12、量的真用真误差计算观测值中的误差，在实际中某个未知量的真用真误差计算观测值中的误差，在实际中某个未知量的真用真误差计算观测值中的误差，在实际中某个未知量的真值是不知道的，所以用最或然误差计算观测值中误差。值是不知道的，所以用最或然误差计算观测值中误差。值是不知道的，所以用最或然误差计算观测值中误差。值是不知道的，所以用最或然误差计算观测值中误差。算术平均值是根据观测数据所求得最接近真值的值称算术平均值是根据观测数据所求得最接近真值的值称算术平均值是根据观测数据所求得最接近真值的值称算术平均值是根据观测数据所求得最接近真值的值称最或最或最或最或然值然值然值然值最或然误差最或然误差最或然误差最或然误差-最或然值最或然值最或然值最或然值X X与观测值之差，也称似真误差，观与观测值之差，也称似真误差，观与观测值之差，也称似真误差，观与观测值之差，也称似真误差，观测值改正数测值改正数测值改正数测值改正数对某量观测对某量观测对某量观测对某量观测n n次则有次则有次则有次则有 已知：已知：已知：已知：将两式相加得将两式相加得：算术平均值的真误差算术平均值的真误差则上式可写为：则上式可写为：将两边平方将两边平方：两边求和：两边求和：证明：将将 按级数展开取第一项得按级数展开取第一项得：代入得：由以上可得由以上可得：（白塞尔公式）（白塞尔公式）