电磁场与电磁波课件电子科技大学时变电磁场解析.pptx

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1、14.1 波动方程 在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有 无源区的波动方程无源区的波动方程 波动方程波动方程 二二阶矢量微分方程阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性揭示电磁场的波动性 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场，描述电场与磁场 间的相互作用关系间的相互作用关系 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 波动方程波动方程 问题的提出问题的提出电磁波动方程第1页/共58页2同理可得 推证推证 问题 若为有源空间，结果如何？（非齐次）若为有源空间，结果如何？（非齐次）若为导电媒质，结果如何？（复波数若为导电媒质，结果如何？（复波数kc）第

2、2页/共58页34.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 讨论内容 位函数的性质位函数的性质 位函数的定义位函数的定义 位函数的规范条件位函数的规范条件 位函数的微分方程第3页/共58页4引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数的意义引入位函数的意义 位函数的定义位函数的定义第4页/共58页5 位函数的不确定性位函数的不确定性 满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一个电磁场问题。即也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规范变换 原因：未规定原因：未规定 的散度的散度为任意可微函数为任意可微函数第5页/共58页6除了利用洛伦兹条件

3、外，另一种常用的是库仑条件，即 在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即 位函数的规范条件位函数的规范条件 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得以简化。（洛仑兹条件是个定解条件。）（洛仑兹条件是个定解条件。）第6页/共58页7 位函数的微分方程位函数的微分方程（达朗贝尔方程）（达朗贝尔方程）第7页/共58页8同样同样第8页/共58页9 说明说明 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程?具有什么特点?问题 应用洛仑兹条件的特点：应用洛仑兹条件的特点：位函数满足的方程在形式上是对称位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易

4、求解；的，且比较简单，易求解；解的物理意义非常清楚，明确地解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；反映出电磁场具有有限的传递速度；矢量位只决定于矢量位只决定于J，标，标 量位只决定于量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出这对求解方程特别有利。只需解出A，无需，无需 解出解出 就可得到待求的电场和磁场。就可得到待求的电场和磁场。电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位用不同的规范条件，矢量位A和标量位和标量位 的解也不相同，但最终的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的

5、。得到的电磁场矢量是相同的。第9页/共58页104.3 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律（重点）（重点）讨论内容 坡印廷定理 电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系 坡印廷矢量第10页/共58页11进入体积V的净能量体积V内注入的能量体积V内损耗的能量电场能量密度：磁场能量密度：电磁能量密度：空间区域V中的电磁能量：特点特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动时间改变，从而引起电磁能量流动 电磁能量守恒关系：电磁能量守恒关系：电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系第11页/共58页12 其中：单

6、位时间内体积V 中所增加 的电磁能量 单位时间内电场对体积V中的电流所作的功；在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率 表征电磁能量守恒关系的定理积分形式：坡印廷定理微分形式：第12页/共58页13 在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有将以上两式相减，得到由 推证推证第13页/共58页14即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：在在任任意意闭闭曲曲面面S 所所包包围围的的体体积积V上上，对对上上式式两两端端积积分分，并并应应用用散散度度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式定理，即可得到坡印廷定理的积分形式 物理意义：物理意义：单位时间内，通

7、过曲面单位时间内，通过曲面S 进入体积进入体积V的电磁能量等于的电磁能量等于 体积体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。第14页/共58页15 定义：定义：(W/m2)物理意义物理意义：的方向 电磁能量传输的方向 的大小 通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）第15页/共58页16 例 同轴线的内导体半径为a、外导体的内半径为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U，导体中流过的电流为I。（1）在导体为理想导体（为）的情况下，

8、计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。同轴线同轴线第16页/共58页17 解：（1）在内外导体为理想导体(为)的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量（因为Jz=Ez），只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量第17页/共58页18电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负载，如图所示。穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）（理想导

9、体情况）第18页/共58页19 （2）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场内根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为内磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）（非理想导体情况）第19页/共58页20式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。进入每单位长度内导体的功率为由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体

10、的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。第20页/共58页214.4 惟一性定理惟一性定理 在以闭曲面S为边界的有界区域内V，如果（i）给定t0时刻的电场强度和磁场强度的初始值；（ii）并且在 t 0 时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量；那么，在 t 0 时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一确定。惟一性定理的表述 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。惟一性问题惟一性问题第2

11、1页/共58页22 惟一性定理的证明惟一性定理的证明 利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟一的，那么至少存在两组解 、和 、满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令则在区域V 内 和 的初始值为零；在边界面S 上电场强度 的切向分量为零或磁场强度 的切向分量为零，且 和 满足麦克斯韦方程第22页/共58页23根据坡印廷定理，应有所以，得由于的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得根据 和 的边界条件，上式左端的被积函数为第23页/共58页24上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有（证毕）即 惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁

12、场惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。应用。第24页/共58页254.5 时谐电磁场时谐电磁场（重点）（重点）复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 （有耗媒质的）复电容率（有耗媒质的）复电容率c c和复磁导率和复磁导率 时谐场的位函数时谐场的位函数 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量第25页/共58页26 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同

13、样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。研究时谐电磁场具有重要意义研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。的载波等都是时谐电磁场。任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。同频率的时谐场的叠加。第26页/共58页27时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题得分析得以简化。设设 是是一

14、一个个以以角角频频率率 随随时时间间t t 作作正正弦弦变变化化的的场场量量，它它可可以以是是电电场场和和磁磁场场的的任任意意一一个个分分量量，也也可可以以是是电电荷荷或或电电流流等等变变量量，它与时间的关系可以表示成它与时间的关系可以表示成式中的式中的A0为振幅、为振幅、为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。实数表示法或实数表示法或瞬时表示法瞬时表示法第27页/共58页28式中的式中的A0为振幅、为振幅、为与坐标有关的为与坐标有关的空间相位分布空间相位分布。实数表示法或实数表示法或瞬时表示法瞬时表示法场量瞬时值：场量瞬时值：瞬时相位：瞬时相位：时间因子xy方向上的场分量的初相分布z

15、方向上的相位分布（与传播有关）空间相位分布第28页/共58页29对应复数形式为：对应复数形式为：其中，复振幅：其中，复振幅：xy方向的振幅分布空间相位分布xy方向上的场分量的初相分布z方向上的相位分布（与传播有关）时间因子复振幅复振幅复振幅不含时间因子第29页/共58页30注意：u由瞬时值形式由瞬时值形式-复振幅形式，要去掉时间因子（复振幅形式，要去掉时间因子（t t）u由由复振幅复振幅形式形式-瞬时值瞬时值形式，要取回时间因子（形式，要取回时间因子（t t）时间因子不含时间因子第30页/共58页31复平面的两个不同的复振幅的相位关系：复平面的两个不同的复振幅的相位关系：初相角，可以区分两个不

16、同的复振幅，所以，初相角，可以区分两个不同的复振幅，所以，可以去掉。可以去掉。第31页/共58页32其中，复振幅其中，复振幅空间相位因子空间相位因子复数表示法复数表示法复振幅复振幅时间因子时间因子瞬时值即：xy方向的振幅分布复矢量复矢量：即复振幅矢量，是：即复振幅矢量，是复振幅复振幅与与方向矢量方向矢量的结合。的结合。如：第32页/共58页33其中，复振幅其中，复振幅空间相位因子空间相位因子xy方向的振幅分布复矢量复矢量三要素，是：三要素，是：方向矢方向矢、振幅振幅与与初相角初相角。如：第33页/共58页34 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场复数式只是数学表示方式，不代表真实的场 真实场

17、是复数式的实部，即瞬时表达式真实场是复数式的实部，即瞬时表达式 由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关 的部份就可表示复矢量的部份就可表示复矢量照此法，矢量场的各分量照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 各分量合成以后，电场强度为各分量合成以后，电场强度为 有关复数表示的进一步说明有关复数表示的进一步说明复矢量复矢量第34页/共58页35 例 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式（2）解：（1）由于（1）所以第35页/共58页36（2）因为 故 所以 第36页/共58页37 例 已知电

18、场强度复矢量解其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量第37页/共58页38以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得 将 、与 交换次序，得上式对任意 t 均成立。令 t0，得复矢量的麦克斯韦方程令t/2，得即第38页/共58页39从形式上讲，只要把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程 略去“.”和下标m第39页/共58页40 例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为式中 解：（1）因为故电场的复矢量为故电场的复矢量为试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。第40页/共58页41（2）由复数形式的麦克斯

19、韦方程，得到磁场的复矢量磁场强度瞬时值第41页/共58页42实际的介质都存在损耗：实际的介质都存在损耗：导电媒质导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗当电导率有限时，存在欧姆损耗 电介质电介质受到极化时，存在电极化损耗受到极化时，存在电极化损耗 磁介质磁介质受到磁化时，存在磁化损耗受到磁化时，存在磁化损耗 损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 导电媒质的等效介电常数导电媒质的等效介电常数 由由复复数数

20、形形式式的的麦麦克克斯斯韦韦方方程程，对对于于介介电电常常数数为为 、电电导导率率为为 的的导电媒质导电媒质，有，有其其中中 c=-j/、称称为为导导电电媒媒质质的的等等效效介介电电常常数数。无无耗耗时时，c=第42页/共58页43 电介质的复介电常数电介质的复介电常数 对对于于存存在在电电极极化化损损耗耗的的电电介介质质，有有 ，称称为为复复介介电电常常数数或或复复电电容容率率。其其虚虚部部为为大大于于零零的的数数，表表示示电电介介质质的的电电极极化化损损耗耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质同时存在极化损耗和欧

21、姆损耗的介质 对对于于同同时时存存在在电电极极化化损损耗耗和和欧欧姆姆损损耗耗的的电电介介质质，复复介介电电常常数数为为 磁介质的复磁导率磁介质的复磁导率 对对于于磁磁性性介介质质，复复磁磁导导率率数数为为 ，其其虚虚部部为为大大于于零零的的数，表示磁介质的磁化损耗。数，表示磁介质的磁化损耗。第43页/共58页44 损耗角正切损耗角正切 工工程程上上通通常常用用损损耗耗角角正正切切来来表表示示介介质质的的损损耗耗程程度度，其其定定义义为为复介常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有复介常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有 导电媒质导电性能的相对性导电媒质导电性能的相对性 导导电电媒媒质质的的导导电

22、电性性能能具具有有相相对对性性，在在不不同同频频率率情情况况下下，导导电电媒质媒质具有不同的导电性能。具有不同的导电性能。电介质电介质导电媒质导电媒质磁介质磁介质 弱导电媒质和良绝缘体（损耗小）弱导电媒质和良绝缘体（损耗小）一般导电媒质一般导电媒质 良导体（损耗大）良导体（损耗大）第44页/共58页45亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 导电媒质导电媒质理想介质理想介质 在在时时谐谐时时情情况况下下，将将 、，即即可可得得到到复复矢矢量量的的波波动动方方程程，称为称为亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程。瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量第45页/共58页46时谐场的位函数时谐场的位函数 在在时时谐谐情情况况下下，矢矢量

23、量位位和和标标量量位位以以及及它它们们满满足足的的方方程程都都可可以以表示成复数形式。表示成复数形式。洛仑兹条件洛仑兹条件达朗贝尔方程达朗贝尔方程瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量第46页/共58页47平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 时谐场中时谐场中二次式的表示方法二次式的表示方法注注意意：二二次次式式本本身身不不能能用用复复数数形形式式表表示示，其其中中的的场场量量必必须须是是实实数数形式，不能将复数形式的场量直接代入形式，不能将复数形式的场量直接代入。设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为 电磁场能量密度、能流密度的表达式中

24、都包含了场量的平方电磁场能量密度、能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为关系，这种关系式称为二次式二次式，如：，如：；第47页/共58页48则能流密度为则能流密度为 如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有先取实部，再代入先取实部，再代入 注注意意：二二次次式式本本身身不不能能用用复复数数形形式式表表示示，其其中中的的场场量量必必须须是是实实数数形式，不能将复数形式的场量直接代入形式，不能将复数形式的场量直接代入,如下所示。如下所示。第48页/共58页49使用二次式时需要注意的问题使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数

25、形式；二次式只有实数的形式，没有复数形式；场量是实数式时，直接代入二次式即可；场量是实数式时，直接代入二次式即可；场场量量是是复复数数形形式式时时，应应先先取取实实部部再再代代入入，即即“先先取取实实后后相相乘乘”；如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子；如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子；第49页/共58页50 二次式的时间平均值二次式的时间平均值 在时谐电磁场中，常常要在时谐电磁场中，常常要关心关心二次式二次式在一个时间周期在一个时间周期 T 中的中的 平均值，即平均值，即平均能流密度矢量平均电场能量密度平均磁场能量密度 在时谐电磁场中，二次式在时谐电磁场中

26、，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有算，有第50页/共58页51则平均能流密度矢量（基本定义式）为则平均能流密度矢量（基本定义式）为 如果电场和磁场都用复数形式给出，即有如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 时间平均值与时间无关 例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出都用实数形式给出注意！注意！成立条件：EH为等相位；第51页/共58页52 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它 时变电磁场；而时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。只适用于时谐电磁场

27、。在在 中，中，和和 都是实数形式且是都是实数形式且是 时间的函数，所以时间的函数，所以 也是时间的函数，也是时间的函数，反映的是能流密度反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值在某一个瞬时的取值；而；而 中的中的 和和 都是复矢量，与时间无关，所以都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间无也与时间无 关，关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。利用利用 ，可由，可由 计算计算 ，但不能直，但不能直 接由接由 计算计算 ，也就是说，也就是说 关于关于 和和 的几点说明的几点说明第52页/共58页53 例例已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为

28、已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为 ，其中，其中k 和和 E0 为常数。求：为常数。求：（1）磁场强度复矢量）磁场强度复矢量H；（；（2）瞬时坡）瞬时坡印廷矢量印廷矢量S；（；（3）平均）平均坡印廷矢量坡印廷矢量Sav。解：（1）由得（2）电场和磁场的瞬时值为）电场和磁场的瞬时值为第53页/共58页54 （3）平均坡印廷矢量为）平均坡印廷矢量为或直接积分，得或直接积分，得瞬时坡印廷矢量为瞬时坡印廷矢量为第54页/共58页55 例例 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为解解:(1)由于(2)所以其中其中E0、H0 和和 k 为常数。求：为常数。求：(1)w 和和 wav；(2)S 和和 Sav。第55页/共58页56例 已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为 式中H0、都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。解：（1）和 的瞬时值为第56页/共58页57（2）平均坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量第57页/共58页58感谢您的观看！第58页/共58页