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1、定积分定积分:二重积分二重积分:三重积分三重积分:第1页/共48页显然显然第2页/共48页（一）（一）曲线积分的概念与性质曲线积分的概念与性质（二）曲线积分的计算方法（二）曲线积分的计算方法（三）格林公式及其应用（三）格林公式及其应用 主主 要要 内内 容容一、一、曲线积分的计算法曲线积分的计算法（四）线积分的应用（四）线积分的应用第3页/共48页（一）（一）曲线积分的概念与性质曲线积分的概念与性质（1）定义设xoy面上的连续曲线L是分段光滑的，且有有限长度，函数z=f(x,y)在L上有界，在曲线L上依次插入分点及为L的两个端点),把L分成n个小弧段记小弧段的长度为并在上任取一点如果极限存在，
2、1.1.对弧长的曲线积分的概念及性质对弧长的曲线积分的概念及性质对弧长的曲线积分的概念及性质对弧长的曲线积分的概念及性质第4页/共48页存在，如果极限则称此极限为函数f(x,y)在平面曲线L上对弧长的曲线积分，记作即积分变量积分弧段被积表达式弧长元素积分和式曲线形构件的质量也称第一类曲线积分.第5页/共48页注意：(1)曲线积分也是一个确定的常数，它只与被积函数f(x,y)及积分弧段L有关.(2)f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为(3)若L分段光滑的则有(4)存在条件：当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分存在.第6页/共48页(5)物理意义：是线密度在L上的线积分.
3、(6)几何意义：即：高在底L上的线积分.(7)推广:函数f(x,y,z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为特别地：联想：第7页/共48页（2）性质(4)无向性：对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.即思考:定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中dx 可能为负.回忆定积分：故第一类曲线积分与定积分是有区别的.第8页/共48页2.2.对坐标的曲线积分的概念及性质对坐标的曲线积分的概念及性质对坐标的曲线积分的概念及性质对坐标的曲线积分的概念及性质（1）定义定义设L为xoy面上从点A到点B的一条分段光滑的有向曲线，函数在L上有界.沿L的方向依次取分点把L分成n个
4、有向小弧段设并记为所有小弧段长度的最大值.在上任意取一点如果极限存在，那么这个极限称为函数在有向弧段L上对坐标x的曲线积分，记作第9页/共48页类似地，如果极限存在，那么这个极限称为函数在有向弧段L上对坐标 y记作的曲线积分，即其中称为被积函数，称为被积表达式，(1)L称为积分路径.说明：(2)与第一类曲线积分记号的区别.可正可负.这里的第10页/共48页(3)组合形式由实例和定义知:变力 沿A B所作的功为：(4)特殊路径情况x由若则记作第11页/共48页（5 5 5 5）存在条件：）存在条件：）存在条件：）存在条件：当在光滑曲线弧L上连续时，第二类曲线积分 存在.(6)(6)推广到推广到推
5、广到推广到空间有向曲线弧第12页/共48页（2 2 2 2）对坐标的曲线积分的性质对坐标的曲线积分的性质 则即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关有关.回忆定积分：故定积分是第二类曲线积分的特例.第13页/共48页第14页/共48页例1.设曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N，为L上（B）（C）（D）（具有一阶连续偏导数）,（A）则下列小于零的是（）从点M到点N的一段弧，B第15页/共48页（二）曲线积分的计算方法（二）曲线积分的计算方法基本思路基本思路:计算定积分转 化求曲线积分1.计算第一类曲线积分的基本方法计算第一类曲线积分的基本方法-三代一定三代一定定定定定 义义义义计计计计算算算
6、算方方方方法法法法第16页/共48页u对弧长的曲线积分的计算步骤：化为：第17页/共48页例例1.1.解解:o oa ay yx xA A所以所以第18页/共48页解解解解:ox1-22y例2.分析分析分析分析:若若若若需要分段计算，较复杂需要分段计算，较复杂需要分段计算，较复杂需要分段计算，较复杂.注意到：关于x轴对称，被积函数关于y是奇函数.计算第一类曲线积分的简化方法：计算第一类曲线积分的简化方法：1.利用第一类曲线积分的几何意义利用第一类曲线积分的几何意义.2.利用第一类曲线积分的对称性利用第一类曲线积分的对称性.3.利用第一类曲线积分的利用第一类曲线积分的积分弧段的方程积分弧段的方程
7、化简被积函数化简被积函数.第19页/共48页注：第一类曲线积分的对称性：注：第一类曲线积分的对称性：LL1OyxLL1OxyLL1Oxy第20页/共48页例3.解:对于用一般方程表示的空间曲线,曲线积分常需要把的方程化为参数方程，这个过程一般是比较困难的，在特殊情况下可用特殊方法处理.要计算函数对弧长的第21页/共48页推广推广:设空间曲线弧的设空间曲线弧的参数方程参数方程为为则例4.解:xyzO第22页/共48页 例5.计算其中L为圆周提示:原式=说明:1.若用参数方程计算,则 2.若用参数方程：第23页/共48页2.计算第二类曲线积分的基本方法计算第二类曲线积分的基本方法-二代一定二代一定
8、定理特殊情况：(1)曲线弧L的方程为：x自a到b,则(2)曲线弧L的方程为：y自 c到d,则(3)推广则第24页/共48页u对坐标的曲线积分的计算步骤：化为：第25页/共48页比较比较直接法或参数方程法直接法或参数方程法第26页/共48页例6.计算其中L 为沿抛物线解法1:化为对x的定积分，则解法2:化为对y的定积分，则从点的一段.第27页/共48页例7.计算其中L为圆周沿逆时针方向.解一:=0.解二:在L上则于是0.0.这里故由格林公式设L围成区域D，第28页/共48页例例8.解解:第29页/共48页3.两类曲线积分之间的联系 第30页/共48页（三）格林公式及其应用（三）格林公式及其应用
9、1.1.格林公式：格林公式：格林公式：格林公式：(1)格林公式是牛顿莱布尼兹公式的推广，其中L是D的正向边界曲线（有向性）.D是有界闭区域（封在D上有一阶连续偏导数（连续性）.上的二重积分二重积分与区域边界上的线积分线积分的联系.注意：(2)公式的记忆方法：沟通了区域(3)对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全全部部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向都是正向 闭性），第31页/共48页(4)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反方向,则有：格林公式格林公式格林公式格林公式;(5)格林公式适用于平面曲线上的第二类线积分的计算平面曲线上的第二类线积分的计算.(6)如果L不是闭
10、曲线或函数P(x,y),Q(x,y)在区域D的个别点上一阶偏导数不连续，一阶偏导数不连续，格林公式不能直接使用，此时往往需添加辅助线，然后再作计算.第32页/共48页2.2.格林公式的应用：格林公式的应用：格林公式的应用：格林公式的应用：(2)简化计算曲线积分(1)利用曲线积分计算平面图形的面积闭区域D的面积(3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件(4)二元函数的全微分求积格林公式格林公式格林公式格林公式;第33页/共48页与路径无关的四个等价命题条件等价命题(1)在G内与路径无关，(2)在G内存在u(x,y),使(3)在G内，(4)闭曲线在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的一
11、阶偏导数，则以下四个命题等价.说明：1.四个等价命题第34页/共48页2.多元函数的原函数：由此,可以求某个全微分的原函数，并且并且原函数原函数不唯一不唯一第35页/共48页闭合闭合闭合闭合非闭非闭非闭非闭闭合闭合闭合闭合非闭非闭非闭非闭补充曲线后用格林公式或直接计算补充曲线后用格林公式或直接计算注意条件注意条件注意条件注意条件第36页/共48页例例例例1.1.L为由点为由点(a,0)到到(0,0)的上半圆周的上半圆周解解解解:L L如图，如图，D添加辅助线：添加辅助线：第37页/共48页2.2.注意格林公式成立的条件.说明：有向性；连续性；封闭性.格林公式格林公式格林公式格林公式;第38页/
12、共48页例2.的分段光滑的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向.xyoL解:记L所围的闭区域为D，令由格林公式知，其中L为一无重点且不过原点第39页/共48页y yx xo o注意格林公式的条件注意格林公式的条件注意格林公式的条件注意格林公式的条件:作位于D内圆周其中其中 l l 的方向取的方向取逆时针方向逆时针方向.应用格林公式,得即有有第40页/共48页解解:例例例例3.3.计算计算为由点为由点O(0,0)到点到点A(1,1)的曲线的曲线其中其中L因为因为则则在在 平面上成立平面上成立.第41页/共48页选择如图所示的路径选择如图所示的路径选择新路径应注意：（3）一般选与坐标轴平行的新路径（1
13、）新路径的起点与终点不变（2）新路径第42页/共48页例4.验证：在整个xoy平面内，是某个函数的全微分，并求出它的一个原函数.解:这里则在整个xoy平面内有：于是在整个xoy平面(它是一个单连通区域)内，是某个函数的全微分，由公式线积分法线积分法第43页/共48页例4.验证：在整个xoy平面内，是某个函另解:则所求的函数为：事实上：数的全微分，并求出它的一个原函数.偏积分法偏积分法观察法观察法第44页/共48页（四）线积分的应用（四）线积分的应用 第45页/共48页第46页/共48页（1）变力 沿曲线 所作的功为：（2）变力 沿曲线 所作的功为：第47页/共48页感谢您的观看！第48页/共48页