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1、第七章一、一、向量代数向量代数 二、空间曲面与曲线二、空间曲面与曲线空间解析几何与向量代数 三、空间的平面与直线三、空间的平面与直线1.直角坐标系与向量的坐标直角坐标系与向量的坐标向径向径(1)点点 M有序数组有序数组也称为点也称为点 M 的的坐标坐标.(2)向量的坐标向量的坐标则则一、向量代数一、向量代数距离公式：距离公式：2.模模3.3.向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征方向余弦的特征:5.投影定理投影定理 设设6.线性运算：线性运算：设设7.向量的数量积向量的数量积8.向量的向量积向量的向量积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向
2、量）且符合右手规则且符合右手规则/9.向量位置关系向量位置关系:点积的运算律：点积的运算律：(1)交换交换律律(2)结合律结合律(3)分配律分配律叉积的运算律：叉积的运算律：(2)分配律分配律(3)结合律结合律-反交换律反交换律例例1.已知向量已知向量的夹角的夹角且且解：解：在顶点为在顶点为三角形中三角形中,求求 AC 边上的高边上的高 BD.解：解：三角形三角形 ABC 的面积为的面积为 例例2.向量积的几何意义：向量积的几何意义：即：即：向量积向量积的的模等于模等于以以为邻边的为邻边的平行四边平行四边形的面积形的面积.而而故有故有例例3.解解:注意：注意：向量的运算与标量的运算是不一样的向
3、量的运算与标量的运算是不一样的,不能随不能随 意的套用意的套用.思考：思考：提示：提示：二、空间曲面与曲线二、空间曲面与曲线1.空间曲面空间曲面三元方程三元方程 球面球面 柱面柱面-二元方程二元方程如如,曲面曲面表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如,圆柱面，椭圆柱面圆柱面，椭圆柱面,双曲柱面双曲柱面,抛物柱面等抛物柱面等.这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的准线，准线，准线，准线，动直线动直线动直线动直线L L 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的母线母线母线母线.平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲
4、线沿定曲线沿定曲线C C 移动的移动的移动的移动的直线直线直线直线L所所所所柱面的定义：柱面的定义：柱面的定义：柱面的定义：形成的曲面形成的曲面形成的曲面形成的曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.圆柱面圆柱面抛物柱面抛物柱面抛物柱面抛物柱面平面平面平面平面练习：练习：练习：练习：问方程问方程问方程问方程表示什么曲面？表示什么曲面？表示什么曲面？表示什么曲面？z zx xy yo o抛物柱面抛物柱面抛物柱面抛物柱面(1)(1)定义：定义：定义：定义：以一条以一条以一条以一条平面曲线平面曲线平面曲线平面曲线绕该平面上的一条直线绕该平面上的一条直线绕该平面上的一条直线绕该平面上的一条直线旋转一周旋
5、转一周旋转一周旋转一周这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲面的叫旋转曲面的叫旋转曲面的叫旋转曲面的轴轴轴轴所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.曲线曲线曲线曲线叫旋转曲面的叫旋转曲面的叫旋转曲面的叫旋转曲面的母线母线母线母线.yozyoz面上的曲线面上的曲线面上的曲线面上的曲线f f(y,zy,z)=0)=0绕绕绕绕z轴旋转一周所成的轴旋转一周所成的轴旋转一周所成的轴旋转一周所成的旋转旋转旋转旋转曲面的方程：曲面的方程：曲面的方程：曲面的方程：yozyoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线坐标面上的已知
6、曲线 f f(y,zy,z)=0)=0绕绕绕绕y y轴旋转一周的轴旋转一周的轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面的方程旋转曲面的方程旋转曲面的方程旋转曲面的方程为为为为 旋转曲面旋转曲面(2)(2)方程：方程：方程：方程：(3)(3)圆锥面：圆锥面：圆锥面：圆锥面：方程的方程的方程的方程的特点：特点：特点：特点：叫叫叫叫标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面(如下图如下图如下图如下图).).三元二次齐次方程三元二次齐次方程三元二次齐次方程三元二次齐次方程.是上半圆是上半圆是上半圆是上半圆锥面锥面锥面锥面.叫叫叫叫标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面.旋转抛物面旋转抛物面oyzxxyozxyo
7、zozyx1)椭球面椭球面(p,q 同号同号)2)椭圆抛物面椭圆抛物面zxyoxyzo常用的二次曲面及其方程常用的二次曲面及其方程或参数方程或参数方程2.空间曲线空间曲线三元方程组三元方程组设空间曲线设空间曲线消去消去 z得投影柱面得投影柱面得得C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线与与xoy 面方程联立面方程联立求投影曲线求投影曲线消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程例例1.将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:解解 (1)根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数,(2
8、)将第二方程变形为将第二方程变形为故所求为故所求为得所求为得所求为oyzx例例2.求曲线求曲线绕绕 z 轴旋转的曲面与平面轴旋转的曲面与平面 的交线在的交线在 xoy 平面的投影曲线方程平面的投影曲线方程.解：解：旋转曲面方程为旋转曲面方程为交线为交线为此曲线向此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为面的投影柱面方程为 所以所以 此曲线在此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为,它与所给平面的它与所给平面的如如:所围的立体在所围的立体在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为:上半球面上半球面和锥面和锥面在在 xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线二者交线二者交线所围圆域所围圆域
9、:二者交线在二者交线在xoy 面上的投影曲线所围区域面上的投影曲线所围区域.消去消去 z 得投影柱面得投影柱面空间平面的方程空间平面的方程1)一般式一般式:2)点法式点法式:3)截距式截距式:1.空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程三、空间的平面与直线三、空间的平面与直线平面平面(法向量是法向量是 )一般式一般式:对称式对称式:参数式参数式:空间直线的方程空间直线的方程为直线的方向向量为直线的方向向量.为直线上一点为直线上一点;面与面的关系面与面的关系平面平面平面平面2.线面之间的相互关系线面之间的相互关系(3)夹角公式夹角公式:两平面的位置关系两平面的位置关系相交相交平行平行斜交斜交直交
10、直交重合重合平行但不重合平行但不重合直线直线线与线的关系线与线的关系直线直线(3)夹角公式夹角公式:平面平面:面与线间的关系面与线间的关系直线直线:(1)L (2)L/(3)夹角公式：夹角公式：线面的位置关系线面的位置关系相交相交平行平行斜交斜交直交直交线在面内线在面内平行但不重合平行但不重合且有公共点且有公共点3.相关的几个问题相关的几个问题(1)平面束平面束定义定义定义定义定理定理定理定理设平面设平面设平面设平面由平面由平面由平面由平面所确定的平面束的方程为：所确定的平面束的方程为：所确定的平面束的方程为：所确定的平面束的方程为：以上方程不包括平面以上方程不包括平面以上方程不包括平面以上方
11、程不包括平面平面平面平面平面确定的确定的确定的确定的平面束平面束平面束平面束.通过两通过两通过两通过两相交平面交线相交平面交线相交平面交线相交平面交线的的的的所有平面所有平面所有平面所有平面称为称为称为称为由这两个由这两个由这两个由这两个(2)点点的的距离距离为为到平面到平面 ：A x+B y+C z+D=0d练习：练习：练习：练习：求点求点求点求点(2,1,0)(2,1,0)到平面到平面到平面到平面3 3x+4y+5z=0的距的距的距的距离离离离.（0606研数一）研数一）研数一）研数一）到到直线直线的的距离距离为为(3)点点d（4）平面）平面 与各坐标平面的夹角与各坐标平面的夹角，实际上实
12、际上是与各是与各坐标轴的夹角坐标轴的夹角.实际上实际上是是 的法向量的法向量 的三的三个方向角个方向角.例例1.求直线求直线与平面与平面的交点的交点.解解:化直线方程为参数方程化直线方程为参数方程代入平面方程得代入平面方程得 从而确定交点为从而确定交点为（1，2，2）.经验：计算线与面，线经验：计算线与面，线与线的交点时，一般用与线的交点时，一般用直线的参数式较简单直线的参数式较简单.例例2.研究以下两平面的位置关系：研究以下两平面的位置关系：两平面平行两平面平行所以所以 两平面平行但不重合两平面平行但不重合解解:又如又如直线直线线在面上吗？线在面上吗？例例3.设一平面平行于已知直线设一平面平
13、行于已知直线且垂直于已知平面且垂直于已知平面求该平面法线的求该平面法线的的方向余弦的方向余弦.解解:已知平面的法向量已知平面的法向量求出已知直线的方向向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量取所求平面的法向量所以所以例例4.求直线求直线在平面在平面上的投影直线方程上的投影直线方程.解：解：已知直线与已知平面的交点为：已知直线与已知平面的交点为：则过点则过点P与已知平面与已知平面垂直的直线方程为垂直的直线方程为例例4.求直线求直线在平面在平面上的投影直线方程上的投影直线方程.另解：另解：过已知直线的平面束方程过已知直线的平面束方程从中从中选择选择得投影平面：得投影平面：即即使其与已知平面垂直：使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程从而得投影直线方程这是已知平面这是已知平面这是投影平面这是投影平面(过过L与与 垂直垂直)例例5.求过直线求过直线L:且与平面且与平面夹成夹成角的平面方程角的平面方程.解解:过直线过直线 L 的平面束方程的平面束方程其法向量为其法向量为已知平面的法向量为已知平面的法向量为选择选择使使从而得所求平面方程从而得所求平面方程例例6.直线直线绕绕 z 轴旋转一周轴旋转一周,求此旋转求此旋转曲面的方程曲面的方程.解解:旋转轨迹上任一点旋转轨迹上任一点,是是 L 上一点上一点 绕绕 轴轴 转过来的，转过来的，则则M 设设 ，则，则 得旋转曲面方程得旋转曲面方程