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1、内积的运算性质内积的运算性质第1页/共113页定义定义2 2 令长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质第2页/共113页解解单位向量单位向量夹角夹角第3页/共113页 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法第4页/共113页证明证明 正交向量组的性质正交向量组的性质第5页/共113页例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基.向
2、量空间的正交基向量空间的正交基第6页/共113页即即解之得解之得由上可知 构成三维空间的一个正交基.则有则有解解第7页/共113页 规范正交基规范正交基例如例如第8页/共113页第9页/共113页 同理可知同理可知第10页/共113页（1）正交化，取 ，求规范正交基的方法求规范正交基的方法第11页/共113页（2）单位化单位化，取，取第12页/共113页例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化，取施密特正交化过程施密特正交化过程第13页/共113页再再单位化单位化，得规范正交向量组如下第14页/共113页例解第15页/共113页
3、再把它们单位化，取再把它们单位化，取第16页/共113页几何解释几何解释第17页/共113页例解第18页/共113页把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取第19页/共113页证明证明定义定义4 4定理定理四、正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交第20页/共113页第21页/共113页性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正
4、交变换交变换第22页/共113页解解所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于第23页/共113页所以它是正交矩阵由于由于第24页/共113页例例解解第25页/共113页1将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化五、小结2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：第26页/共113页求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与正交正交思考题第27页/共113页思考题解答第28页/共113页说明说明方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念第29页/共113页第30页/共113页第31页/共113页解解例例
5、1 1 第32页/共113页第33页/共113页例例 解解第34页/共113页第35页/共113页第36页/共113页例例 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解第37页/共113页第38页/共113页得基础解系为：得基础解系为：第39页/共113页例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得第40页/共113页第41页/共113页证明证明则则即即类推之，有类推之，有二、特征值和特征向量的性质第42页/共113页把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形
6、式，得第43页/共113页注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关属于不同特征值的特征向量是线性无关的的.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值第44页/共113页第45页/共113页例例5 5 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为解解三、特征值与特征向量的求法第46页/共113页求矩阵特征值与特征向量的步骤：四、小结第47页/共113页思考题第48页/共113页思考题解答第49页/共113页相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念第50
7、页/共113页1.等价关系等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质第51页/共113页证明证明第52页/共113页推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵第53页/共113页利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式k个个第54页/共113页利用上利用上述结论可以述结论可以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A 的的多项式多项式 .第55页/共113页定理定理证明证明第56页/共113页证明三、利用相似变换将方阵对角化第57页/共113页第58页/共113页命题得证命题得证.第59页/共113页说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角
8、阵相似与对角阵相似推论如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，还是能对角化第60页/共113页例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解第61页/共113页解之得基础解系第62页/共113页求得基础解系求得基础解系第63页/共113页解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.第64页/共113页A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例2 2解解第65页/共113页解之得基础解系第66页/共113页所以 可对角化.第67页/共113页注意注意即矩阵即
9、矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应第68页/共113页四、小结相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：第69页/共113页相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将
10、比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵第70页/共113页思考题第71页/共113页思考题解答第72页/共113页第73页/共113页定理定理1 1对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.证明证明对称矩阵的相似矩阵一、对称矩阵的性质说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵第74页/共11
11、3页于是有于是有两式相减，得两式相减，得第75页/共113页定理定理1 1的意义的意义第76页/共113页证明于是第77页/共113页证明证明它们的重数依次为它们的重数依次为根据定理根据定理1（对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和定）和定理理3(如上如上)可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为第78页/共113页由定理由定理2知知对应于不同特征值的特征向量正交对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得 个.故这 个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则第79页/共113页根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵
12、化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.第80页/共113页解解例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值第81页/共113页解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系第82页/共113页解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步 将特征向量单位化第83页/共113页第84页/共113页第85页/共113页第
13、86页/共113页于是得正交阵第87页/共113页1.对称矩阵的性质：三、小结 (1)(1)特征值为实数；特征值为实数；(2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交；(3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等；(4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将
14、特征向量单位化；量单位化；(4)最后正交化最后正交化第88页/共113页思考题第89页/共113页思考题解答第90页/共113页二次型一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型.第91页/共113页只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）例如例如都为二次型；为二次型的标准形.第92页/共113页1 1用和号表示用和号表示对二次型对二次型二、二次型的表示方法第93页/共113页2 2用矩阵表示用矩阵表示第94页/共113页第95页/共113页三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一
15、地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系第96页/共113页解解例例第97页/共113页设设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形第98页/共113页证明证明即即 为对称矩阵为对称矩阵.第99页/共113页说明说明第100页/共113页第101页/共113页用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第102页/共113页解解1 1
16、写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例2 2第103页/共113页从而得特征值从而得特征值2求特征向量3将特征向量正交化得正交向量组第104页/共113页4将正交向量组单位化，得正交矩阵第105页/共113页于是所求正交变换为于是所求正交变换为第106页/共113页解解例例3 3第107页/共113页第108页/共113页第109页/共113页第110页/共113页第111页/共113页五、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法第112页/共113页感谢您的观看！第113页/共113页