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1、1 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广,但是只定义了线性运算,而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维空间丰富的内容.5.1 向量的内积、长度及正交性引言引言我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中.在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积)建立标准的直角坐标系后,可用向量的坐标来计算内积设则第1页/共114页2内积一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质定义定义第2页/共114页3性质性质著名的Cauchy-Schwarz不等式即第3页/共114页4长度范数二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质定义定义性质性质(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证,见P
2、114)第4页/共114页5单位向量夹角.三、单位向量和三、单位向量和 n n 维向量间的夹角维向量间的夹角正交第5页/共114页6四、正交向量组四、正交向量组定义定义 若一个不含零向量的向量组 中的向量两两正交 ，则称该向量组为正交向量组又如果这些向量都是单位向量 ,则称该向量组为规范正交向量组.若该向量组是一个向量空间 V 的基,又分别称为向量空间 V 的正交基和规范正交基.第6页/共114页7性质性质证证设 是正交向量组正交向量组必线性无关.第7页/共114页8例1解这相当于要求方程组的非零解求得基础解系(即为所求)为已知 中两个正交向量试求 使 构成的一个正交基.第8页/共114页9例
3、2(例1的一般化,也称正交基的扩张定理)设 是 中的一个正交向量组,证明必可找到 个向量 使 构成 的正交基.都正交.证证 只需证必可找到 使 与 记必有非零解.其任一非零解即为所求的第9页/共114页10五、施密特正交化过程五、施密特正交化过程 设 是一组线性无关的向量,它就是它生成的向量空间的一个基(坐标系),如何在向量空间 L 中建立正交的基(坐标系)?这个问题就是找与 等价的正交向量组第10页/共114页11以三个向量 为例,从几何直观上去求.上式两边与 做内积,注意 得从而第11页/共114页12我们已求得 已正交,再求构造(1)式两边与 内积,注意得(1)式两边再与 内积,类似可得
4、从而第12页/共114页13施密特正交化方法设 线性无关令则 两两正交,且与 等价.是与等价的规范正交组第13页/共114页14 两两正交,可用数学归纳法严格证明.与 等价,这是因为(只需看三个)第14页/共114页15例3求 的一个规范正交基,并求向量解 易知 线性无关,用施密特正交化方法 再单位化在该规范正交基下的坐标.第15页/共114页16 当建立规范正交基(相当于标准直角坐标系)后,求一个向量的坐标就特别方便两边分别与 内积(这里就不具体计算了)第16页/共114页17六、正交矩阵六、正交矩阵定理A 是正交矩阵A 的列组是规范正交组A 的行组是规范正交组定义定义正交矩阵.第17页/共
5、114页18记证 (只证第三条)第18页/共114页19性质性质(1)A是正交矩阵，则 和 都是正交矩阵；(2)A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；(3)A是正交矩阵，则 ；(4)P是正交矩阵，则 ，即正交变换保持向量的长度不变。第19页/共114页20第五章相似矩阵及二次型 5.4 5.4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形5
6、.7 5.7 正定二次型正定二次型第20页/共114页215.2 方阵的特征值与特征向量引言引言 如果存在可逆矩阵 P 使(1)式成立,此时称方阵 A 是可(相似)对角化的.记,则 本章主要讨论:对于方阵 A 能否找到(如何找)可逆矩阵 P(1)使得 满足上式的 称为 A 的特征值,称为 A 的对应于特征值 的特征向量.第21页/共114页22定义定义满足设 A 是 n 阶方阵，如果数 和 n 维非零列向量 x则称 为 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于(或属于)特征值 的特征向量。把(1)改写为是 A 的特征值 使得(2)有非零解(2)的所有非零解向量都是对应于 的特征向量.第2
7、2页/共114页23(注：第一章已求得 ，)称为 A 的特征多项式，而 称为 A 的特征方程。由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根(重根按重数计算)。因此，n 阶方阵在复数范围恰有 n 个特征值。本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内进行。第23页/共114页24性质性质设 n 阶方阵 特征值为,则又第24页/共114页25例1求矩阵 的特征值.两个特征值为问:特征向量是实的还是复的?第25页/共114页26例2求 A 的特征值.因此,n 个特征值为问：对角矩阵，下三角矩阵的特征值为？第26页/共114页27例3求矩阵 A，B 的特征值和特征向量。解 （对矩阵A）第27
8、页/共114页28A 的特征值为对于 ，解方程组同解方程组为 ，令 ，得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为第28页/共114页29对于 ，解方程组同解方程组为 ，令得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为第29页/共114页30（对矩阵B）B 的特征值为第30页/共114页31对于 ，解方程组同解方程组为 ，令 ，得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为第31页/共114页32对于 ，解方程组同解方程组为 ，令 ，得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为第32页/共114页33回答问题：回答问题：(1)向量 满足 ,是 A 的特征向量吗？(2)实矩阵的特征值(特征向
9、量)一定是实的吗?(3)矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值_。，A 有一个特征值为_。(4)，A 有一个特征值为_。可逆,A 的特征值一定不等于_。第33页/共114页34(6)一个特征值对应于几个特征向量?一个特征向量对应几个特征值?(后面证明)(7)A 的各行元素之和均等于2,则 A 有一个特征值是_,它对应的特征向量是_。(5)A 的特征值与 的特征值有什么关系？特征向量的个数=_。是 的一个特征值，它对应的最大无关的第34页/共114页35例4证明：一个特征向量只能对应一个特征值。证 假设 A 的特征值 和 对应的特征向量都是则第35页/共114页36例5设 是方阵 A 的特征值，对
10、应的一个特征向量证明(1)是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为 x。(2)是 的特征值，对应的特征向量仍为 x。(3)当 A 可逆时，是 的特征值，对应的特征向量仍为 x。证第36页/共114页37推广推广：设 是方阵 A 的特征值，则 是 的特征值。的特征值。如果 A 可逆，则的特征值。是是第37页/共114页38例6设3阶矩阵A的三个特征值为求解 A的特征值全不为零，故A可逆。的三个特征值为计算得因此，第38页/共114页39例7证明A的特征值只能取1或2.设 是A的特征值，则的特征值为由于 是零矩阵，其特征值全是零，故证证第39页/共114页40第五章相似矩阵及二次型 5.4 5.4
11、对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形5.7 5.7 正定二次型正定二次型第40页/共114页415.3 相似矩阵设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算 称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。定义 特别地，如果A与对角矩阵相似，则称A是可对角化的。第41页/
12、共114页42性质(1)相似关系是一种等价关系;(2)A与B相似,则r(A)=r(B);(3)A与B相似,则 ;从而A与B有相同的特征值;(4)A与B相似,则 ;(5)A与B相似,则 ;(6)A与B相似,则 与 相似;其中(7)A与B相似,且A可逆,则 与 相似。第42页/共114页43例1(1)与相似，求x与y和A的特征值。(2)与相似，求a与b。解 (1)A的特征值等于B的特征值为：第43页/共114页44(2)第44页/共114页45下面讨论对角化的问题 这说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把
13、上面过程逆过来即知A可对角化。定理定理n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。第45页/共114页46 不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的。定理定理即设 是矩阵A的不同的特征值，又设 对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为则仍是线性无关的。第46页/共114页47证 (只证两个不同特征值的情况)设上式两边左乘 A 得再由 线性无关得类似可得由假设 得 第47页/共114页48 n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。推论推论第48页/共114页49例1(续第2节例3,首先看
14、矩阵A)线性无关，由上面定理，第第1 1步步 求特征值 第第2 2步步 求线性无关的特征向量，即求 的基础解系第49页/共114页50第第3 3步步 如有n个线性无关的特征向量,把它们拼成矩阵P(P可逆)令第第4 4步步 写出对角化形式则问：如果令，则对吗？第50页/共114页51(这是二重根，但只有一个线性无关的特征向量)对于矩阵B 不存在三个线性无关的特征向量。因为对B的任何一个特征向量 ,要么是属于 的,此时与 相关；要么是属于 的,此时与 相关。因此，B是不可对角化的。(再看矩阵B)第51页/共114页52定理定理设 的所有不同的特征值为则 注：就是 的重根数，称之为 的(代数)重数，
15、就是 对应的最大无关特征向量的个数，称之为 的几何重数。该定理说明：任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个，至多不会超任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个，至多不会超过它的重数过它的重数。如果是单重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。第52页/共114页53证(参考)设 对应的最大无关特征向量为把上面特征向量扩充为 n 个线性无关的向量。则 可逆。因C与A特征值相同，而上式说明 C 有特征值 ，其重数 至少是 。即。证毕。第53页/共114页54定理定理 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。即：设互不同，此时则 A可对角化的充要条件是亦即
16、：的重数 恰好等于它对应的最大无关特征向量的个数。简称简称:几重特征值有几个特征向量几重特征值有几个特征向量.第54页/共114页55证 (充分性)设个，它们仍是线性无关的，故可角化。把每个 对应的最大无关特征向量合并后，共有(必要性)设A可对角化第55页/共114页56第56页/共114页57例2问 x 为何值时，A 可对角化？是单重根，恰有一特征向量(不需讨论)。是二重根，A可对角化第57页/共114页58例3提示：A 可对角化第58页/共114页59第五章相似矩阵及二次型 5.4 5.4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向
17、量方阵的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形5.7 5.7 正定二次型正定二次型第59页/共114页605.4 (实)对称矩阵的对角化定理定理对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交。定理定理对称矩阵的特征值必为实数。从而特征向量可取到实的。证第60页/共114页61定理定理对称矩阵必可正交对角化。即设A是对称矩阵，则存在正交矩阵Q使得推论推论对称矩阵特征值的重数必等于其对应的最大无关特征向量的个数。第61页/共114页62例1把对称矩阵 正
18、交对角化。第第1 1步步:求特征值。(特征值必都是实数)第62页/共114页63第第2 2步步:求线性无关的特征向量。对 ，解方程组求得基础解系(即无关特征向量，几个向量？)第63页/共114页64对 ，解方程组求得基础解系(即无关特征向量，几个向量？)前面的第64页/共114页65第第3 3步步:检验重特征值对应的特征向量是否正交，如果不正交，用施密特过程正交化，再把 正交的特征向量单位化。第65页/共114页66第第4 4步步:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。单位化：则令第66页/共114页67例2设3阶对称矩阵A的特征值为与特征值 对应的特征向量为求A。提示：设对应于 的无关特征向
19、量为则说明是方程组的两个无关的解(基础解系)，因此，上面方程组的任意两个无关的解都是对应于 的特征向量。解(1)可求得 再正交化单位化构成正交矩阵Q第67页/共114页68第五章相似矩阵及二次型 5.4 5.4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形5.7 5.7 正定二次型正定二次型第68页/共114页695.5 二次型其次标准形引言
20、判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换代入(1)左边，化为：见下图第69页/共114页70第70页/共114页71称为n维(或n元)的二次型.定义定义含有n个变量 的二次齐次函数三维的二次型为再改写：关于二次型的讨论永远约定约定在实数范围内进行！第71页/共114页72对称第72页/共114页73一般地，对于n维的二次型上式称为二次型的矩阵表示。也常记为(对称)其中第73页/共114页74 任给一个对称矩阵A，令 可唯一地确定一个二次型 反之，任给一个二次型 f 可找到对称矩阵A使得.而且对称矩阵A是唯一.因为,设 xTAx=xTBx(A,B都是对称矩阵),即(以三维为例)令 类似令类似第7
21、4页/共114页75对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;f 叫做对称矩阵A的二次型;对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.记作r(f).二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系这说明：第75页/共114页76例1写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。解问问：在二次型 中,如不限制 A对称,A唯一吗?第76页/共114页77定义定义只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。平方项系数只在 中取值的标准形 (注注：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。)称为二次型的规范形。第77页/共114页78目的：目的：对给定的二次型找可逆的线性变换(坐标
22、变换)：代入(1)式，使之成为标准形称上面过程为化二次型为标准形。第78页/共114页79用矩阵书写用矩阵书写化二次型为标准形化二次型为标准形：(其中D为对角矩阵)注意到 与D都是对称矩阵，而二次型与对称矩阵是一一对应关系，故“化二次型为标准形”又等价于对给定的对称矩阵A，找可逆矩阵C，使问问：这件事情能够做到吗？以前学过吗？第79页/共114页80主轴定理主轴定理第80页/共114页81用正交变换化二次型为标准形的步骤第81页/共114页82例2解解化为标准形。求求A A的特征值的特征值求二次型的矩阵求二次型的矩阵第82页/共114页83求求A A的规范正交的特征向量的规范正交的特征向量单位
23、化第83页/共114页84得正交的基础解系单位化求正交变换矩阵求正交变换矩阵第84页/共114页85写出二次型的标准形写出二次型的标准形用正交变换 ，二次型 f 化为标准形为第85页/共114页86例3设二次型经正交变换 化为标准形求(1)a,b;(2)正交变换矩阵 Q.解解二次型的矩阵为由题意由相似矩阵的性质得 ，从而第86页/共114页87解得A与D有相同的特征值，分别为求得它们对应的特征向量(正交)为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵第87页/共114页88定义定义设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使则称A与B合同.性质性质(1)合同关系是一种等价关系；(2)A与B合同,则 r(
24、A)=r(B);(3)A与B合同,A对称,则B对称.二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同变换为对角矩阵。在n阶对称矩阵集合中，矩阵的合同等价相当于二次型可以互化(也称二次型等价)。第88页/共114页89定理定理二次型必可化为规范形。证 设二次型 f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为:(思考为什么一定可化为上面形式？)再做一次可逆的线性变换则 f 化为思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？第89页/共114页90思考并回答思考并回答(1)二次型的标准形唯一吗？(2)二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特
25、征值的个数有何关系？(3)设CTAC=D(C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？(4)设4阶对称矩阵A的特征值为0,2,2,-3,A的二次型的规范形是什么？第90页/共114页91第五章相似矩阵及二次型 5.4 5.4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形5.7 5.7 正定二次型正定二次型第91页/
26、共114页925.6 用配方法化二次型成标准形配方法的步骤配方法的步骤1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形;2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.第92页/共114页93例1第93页/共114页94第94页/共114页95所用变换矩阵为第95页/共114页96例2由于所给二次型中无平方项第96页/共114页97再配方，得第97页/共114页98所用变换矩阵为第98页/共114页99思考题(下面做法对吗？)得标准形为第99页/共
27、114页100第五章相似矩阵及二次型 5.4 5.4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形5.7 5.7 正定二次型正定二次型第100页/共114页1015.7 正定二次型本节讨论二次型的分类问题.重点是正定二次型.在n维的二次型中,如果两个二次型 xTAx 和 yTBy可以互化，即则称这两个二次型等价。这相当于即在n阶对称矩阵中A与
28、B合同等价。我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩阵的合同等价类。第101页/共114页102什么条件决定两个二次型等价？我们知道,等价的二次型有相同的秩,也就是标准形中平方项个数相等.但秩相等的两个二次型不一定等价.例如 与 不可能等价.因为不存在可逆矩阵 C 满足因为第102页/共114页103惯性定理惯性定理 在二次型的标准形中，正项个数与负项个数在二次型的标准形中，正项个数与负项个数保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数,负项个数称为二次型的负惯性指数.设二次型 f 的秩为 r,正惯性指数为 p,则
29、负惯性指为 r p.f 的规范形为 惯性定理指出惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定。第103页/共114页104 如果 n 维的二次型 f(x)=xTAx 其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型的矩阵 A 称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵。定义定义化标准形化规范形正定二次型为 正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。阵合同的对称矩阵。显然，如果 f 负定，则 f 正定，以后只需讨论正定二次型(正定矩阵)。第104页/共114页105定
30、理定理 二次型二次型 f f(x x)=)=x xT TAxAx 正定的充要条件是对任意正定的充要条件是对任意x x00，都有，都有 f f(x x)=)=x xT TAxAx 0 0.(注：书上以后者为定义)证 设必要性：设 f 正定，即对任意x0，则 ，故充分性：反证。如果有某个 ，取,与 矛盾。第105页/共114页106定理定理 对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即负定矩阵的充要条件是？第106页/共114页107判别二次型是否正定.它的各阶顺序主子式故上述二次型是正定的.例1f 的矩阵为解第107页/共114页108例2解判别二次型是否正定.二次型的矩阵为即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值第108页/共114页109判别二次型的正定性.例3解二次型的矩阵它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别 为正定.第109页/共114页110例4与矩阵 合同的矩阵是()A特征值是两正一负。第110页/共114页111例5设 是正定矩阵,证明(以前的思考题)第111页/共114页112例6证明 ATA 为正定矩阵的充要条件是 A 为列满秩矩阵.第112页/共114页113例7为A的最大特征值。证明：二次型 f(x)=xTAx 在 时的最大值第113页/共114页-114-感谢您的观看！第114页/共114页