热工控制系统的时域分析.pptx

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1、第一节 系统的时域性能指标第1页/共104页什么是时域分析?指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，所以时域分析具有直观和准确的优点。系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函数得到。在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标。具体是根据闭环系统传递函数的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复频域分析。第2页/共104页一、动态性能指标具有衰减振荡的动态过程如图所示：1.上升时间 ：输出响应第一次达到稳态值y()所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的

2、90%所需的时间（单调时）。通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义动态（瞬态）过程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃响应函数有衰减振荡和单调变化两种。第3页/共104页3.最大超调量(简称超调量)：式中：输出响应的最大值；稳态值；输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。2.峰值时间 ：瞬态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。4.调节时间或过渡过程时间 ：第4页/共104页 5.振荡次数N：在调节时间内，y(t)偏离 的振荡次数。快速性指标：上升时间；峰值时间；调节时间。平稳性指标：超调量；振荡次数。第5页/共104页二、稳态性能指标稳态误差稳态误差e

3、s或或e():系统达到稳定状态后输出端的实际值与输入端的给定值之间的偏差，反应系统准确性。第6页/共104页第二节第二节 一阶系统的动态性能一阶系统的动态性能一、一阶系统的数学模型 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其传递函数中 s的最高次项为一次。一阶系统的微分方程为：其闭环传递函数为：式中，称为时间常数。-典型的一阶系统的结构图如图所示第7页/共104页一阶系统的单位阶跃响应 响应曲线y(t)由两部分构成，一部分是与时间t无关的定值“1”，称为稳态分量；另一部分是与时间t有关的指数项 ，称为暂态分量。当第8页/共104页由表可知，当t3T或t4T时，响应曲线将保持在稳态值的5%或2%允

4、许误差范围内，即一阶系统的调节时间为：可见，调节时间只与时间常数T有关。因此T越小，ts越小，响应过程越快。但从斜率表达式 ，可见斜率是单调下降的。tT2T3T4T5Ty(t)0.632 0.865 0.950 0.982 0.993第9页/共104页r(t)c(t)d(t)1(t)t系统对输入信号导数的响应等于对输入信号响应的导数。这个结论对任何阶的线性定常系统都是适用的。下表列出了一阶系统在各种典型输入下的响应。第10页/共104页一、典型二阶系统的数学模型 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。开环传递函

5、数为:闭环传递函数为:-称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。典型结构的二阶系统如图所示。第三节第三节 二阶系统的动态性能二阶系统的动态性能第11页/共104页特征根为：注意：当 不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃响应主要有振荡和非振荡两种情况。特征方程为：当 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。当 时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非

6、振荡过程。当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。第12页/共104页当输入为单位阶跃函数时，有：当 时，极点为：此时输出将以频率 做等幅振荡，所以,称为无阻尼振荡频率。第13页/共104页 当 时，系统极点为：第14页/共104页第15页/共104页系统极点为：极点的负实部极点的负实部 决定了指数决定了指数衰减的快慢，虚部衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称是振荡频率。称 为阻尼振为阻尼振荡频率。注意：荡频率。注意：。第16页/共104页阶跃响应函数为：当 时，极点为：二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应第17页/共104页二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响

7、应当 时，极点为：即特征方程为第18页/共104页二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应特征方程还可为式中于是闭环传函为：这里 ，第19页/共104页二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为联，其单位阶跃响应为第20页/共104页二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应第21页/共104页 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负

8、实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面）等幅周期振荡一对共轭虚根 典型二阶系统的瞬态响应典型二阶系统的瞬态响应第22页/共104页典型二阶系统的瞬态响应典型二阶系统的瞬态响应可以看出：随着 的增加，y(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时y(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。第23页/共104页衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标二、典型二阶系统的动态性能指标（一）衰减振荡瞬态过程 ：输输入入为为单单位位阶阶跃跃第24页/共104页衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标二、典型二阶系统的动态性能指标衰减振

9、荡瞬态过程 ：上升时间上升时间 ：根据定义，当，当 时，时，。在输入为单位阶跃时：在输入为单位阶跃时：第25页/共104页衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标解得：称为阻尼角或相位角，这是由于 。第26页/共104页衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标 峰值时间峰值时间 ：当：当 时，时，其中第27页/共104页衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标整理得：由于 出现在第一次峰值时间，取n=1，有：第28页/共104页衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标第29页/共104页 最大超调量最大超调量 ：将峰值时间 代入第30页/共104

10、页故：最大超调量仅与阻尼系数有关。第31页/共104页衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标第32页/共104页衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标 调节时间调节时间 ：可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为 根据调节时间的定义，当tts时|y(t)-y()|y()%。第33页/共104页当t=ts时，有：由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络

11、线进入误差带时，调整过程结束。的包络线进入误差带时，调整过程结束。衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标当 较小时，近似取：第34页/共104页衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标所以第35页/共104页衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标由分析知，在 之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。第36页/共104页 振荡次数振荡次数N：衰减振荡瞬态过程的衰减振荡瞬态过程的性能指标性能指标第37页/共104页q阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的动态品质。在 的情况下动态特性为单调变化曲

12、线，无超调和振荡，但 长。当 时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。总结q在欠阻尼 情况下工作时，若 过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，动态控制品质差。注意到 只与 有关，所以 一般根据 来选择 。q 越大，（当 一定时）q为了限制超调量，并使 较小，一般取0.40.8，则超调量在25%1.5%之间。第38页/共104页 阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系z=cos-1 zz=cos-1 z0.184.2672.90.6946.3750.278.4652.70.745.574.60.372.5437.230.707454.30.466.42

13、25.380.7838.7420.56016.30.836.871.50.653.139.840.925.840.15极点位置与特征参数极点位置与特征参数z、wn及性能指标的关系及性能指标的关系 wn是极点到原点的直线距离，距离越大振荡频率越高。第39页/共104页 极点距虚轴的距离与系统的调节时间成反比极点距虚轴的距离与系统的调节时间成反比(0zz0.8)对于临界阻尼和过阻尼时，此规律也存在。第40页/共104页瞬态过程的性能指标例子瞬态过程的性能指标例子例：求如下系统的特征参数 ,分析与性能指标的关系。闭环传递函数为：第41页/共104页瞬态过程的性能指标例子瞬态过程的性能指标例子T不变，

14、不变，K下面分析动态性能指标和系统参数之间的关系(假设 ):N。z%wn wd zwn=1/2T，不变，ts几乎不变总之，K增大振荡加剧增大振荡加剧；K不变，不变，T N。z%wn wd zwn=1/2T，ts实际系统中实际系统中T往往不能变，往往不能变，要使系统性能好，则要使系统性能好，则K，这对控制精度不利。，这对控制精度不利。第42页/共104页改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施三、改善二阶系统响应特性的措施三、改善二阶系统响应特性的措施二阶系统超调产生过程1.0,t1误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。2

15、.t1,t2误差信号为负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。3.t2,t3误差信号为负，此时反向修正作用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。4.t3,t4误差信号为正，产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出达到反向最大值。第43页/共104页改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施二阶系统超调产生原因1.0,t1 正向修正作用太大，特别在靠近t1 点时。2.t1,t2 反向修正作用不足。减小二阶系统超调的思路1.0,t1 减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。

16、2.t1,t2 加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。3.t2,t3减小反向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。4.t3,t4 加大正向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。即在0,t2 内附加一个负信号，在t2,t4内附加一个正信号。减去输出的微分或加上误差的微分都具有这种效果。第44页/共104页改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施a.输出量的速度反馈控制-+-b.误差的比例+微分控制将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内反馈回路。简称速度反馈。以误差信号e(t)与误差信号的微分信号e(t)的和产生控制作用。简称P

17、D控制。又称微分顺馈为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环节称为校正环节。速度反馈和微分顺馈是较常用的校正方法。第45页/共104页改善二阶系统响应特性改善二阶系统响应特性的措施的措施a.输出量的速度反馈控制-与典型二阶系统的标准形式 比较 不改变无阻尼振荡频率 等效阻尼系数为由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。第46页/共104页改善二阶系统响应特性改善二阶系统响应特性的措施的措施+-b.误差的比例+微分控制-与典型二阶系统的标准形式比较 不改变无阻尼振荡频率 等效阻尼系数为 由于由于 ，即等效阻尼系数加大，将使

18、超调量，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节和调节时间时间t ts s变小。变小。闭环传递函数有零点 ，将会给系统带来影响。第47页/共104页改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施c.比例+微分控制与速度反馈控制的关系-比例+微分控制相当于分别对输入信号和反馈信号进行比例+微分。其中对反馈信号进行比例+微分相当于速度反馈。所以误差的比例+微分控制相当于输出的速度反馈构成的闭环系统再串联比例+微分环节。因此可以将其分别讨论。第48页/共104页具有零点的二阶系统具有零点的二阶系统四、具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，具有零点的二阶系统比典型的二

19、阶系统多一个零点，(和和 不变不变)。其闭环传递函数为：其闭环传递函数为：，零点为：，零点为：具有零点的二阶系统 的单位阶跃响应为：第49页/共104页由上图可看出：由上图可看出：使得使得 比比 响应迅速（缩短调节时间）响应迅速（缩短调节时间）且有较大超调量（微分时间且有较大超调量（微分时间较大时较大时）。）。具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析第50页/共104页比例比例+微分控制的性能微分控制的性能+-比例+微分控制的性能 显然，这是一个典型二阶环节加微分顺馈。不同的是其原二阶环节的阻尼系数增加了，变为 ，而无阻尼振荡频率不变。我们知道，当阻尼系数不变时，附加零点会使系统的超调量增

20、大。但是，增加了顺馈环节虽然增加了一个零点，却使系统的阻尼系数增加了。一般来讲，超调量会下降。这样，就能改善系统的瞬态性能。第51页/共104页比例微分控制与测速反馈控制的比较比例微分控制与测速反馈控制的比较 对于理想的线性控制系统，在比例微分控制和测速反馈控制方法对于理想的线性控制系统，在比例微分控制和测速反馈控制方法中，可以任取其中一种方法来改善系统性能。然而，实际控制系统有中，可以任取其中一种方法来改善系统性能。然而，实际控制系统有许多必须考虑的因素，例如系统的具体组成、作用在系统上噪声的大许多必须考虑的因素，例如系统的具体组成、作用在系统上噪声的大小及频率等。下面，仅讨论几种主要的差别

21、：小及频率等。下面，仅讨论几种主要的差别：附加阻尼来源：比例微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差附加阻尼来源：比例微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用产生于系统的输出端响应的信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用产生于系统的输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的的稳态误差。稳态误差。使用环境：比例微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端使用环境：比例微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例微分控制。同时微分器的输入信号为噪声严

22、重时，一般不宜选用比例微分控制。同时微分器的输入信号为系统的误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明系统的误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈控制对系统输显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因入端噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。第52页/共104页比例微分控制与测速反馈控制的比较比例微分控制与测速反馈控制

23、的比较对开环增益和自然频率的影响：比例微分控制对系统的开环对开环增益和自然频率的影响：比例微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响；测速反馈控制虽不影响自然频率，增益和自然频率均无影响；测速反馈控制虽不影响自然频率，但却会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速但却会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。振。对动态系统的影响：比例微分控制相当于在系统中加入实

24、零对动态系统的影响：比例微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例微分控点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。第53页/共104页瞬态过程的性能指标瞬态过程的性能指标解：例：如图所示系统，试求：和 ;和 若要求 时，当T不变时K=?第54页/共104页瞬态过程的性能指标瞬态过程的性能指标当T不变时，T=0.25，第55页/共104页小结小结q二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：第一，性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的；第二，初始条件为零。

25、q典型二阶系统的瞬态响应二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应。q典型二阶系统的性能指标主要是超调量和调节时间；与系统参数之间的关系；速度反馈校正与比例微分控制。第56页/共104页高阶系统分析高阶系统的传递函数为：写成零极点形式：第四节 高阶系统分析第57页/共104页高阶系统分析其单位阶跃响应函数为：第58页/共104页可见，c(t)不仅与 （闭环极点）有关，而且与系数 有关（这些系数都与闭环零、极点有关）。所以，高阶系统的单位阶跃响应取决于闭环系统的零、极点分布。q 对于闭环极点全部位于s左半平面的高阶系统（否则系统不稳定），极点为实数（指数衰

26、减项）和共轭复数（衰减正弦项）的衰减快慢取决于极点离虚轴的距离。远，衰减的快；近，衰减的慢。所以，近极点对瞬态响应影响大。定性分析：q 系数 取决于零、极点分布。有以下几种情况：若极点远离原点，则系数小；极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小；极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。第59页/共104页高阶系统分析，主导极点衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。存在一对离虚轴最近的共轭极点；存在一对离虚轴最近的共轭极点；附近无零点；附近无零点；其他极点距虚轴的距离是它的其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。倍以上。主导极点主导极点：满足下列条件的极点称为主导极点。：满足下列条件的极

27、点称为主导极点。主导极点在主导极点在c(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬态性能指标主要由它决定。态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为具有主导极点的高阶系统可近似为二阶系统。二阶系统。第60页/共104页利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析。q 在近似前后，确保输出稳态值不变；q 在近似前后，瞬态过程基本相差不大。高阶系统近似简化原则：偶极子偶极子：存在一对非常接近的闭环极点和闭环零点。二者之间：存在一对非常接近的闭环极点和闭环零点。二者之间的距离比它们与其他极点或闭环零点之间的距离小的距离比它们与其他极点或闭环

28、零点之间的距离小5倍以上。倍以上。可将偶极子取消可将偶极子取消。第61页/共104页例如：如果：则：说明：假设输入为单位阶跃函数，则化简前后的稳态值如下第62页/共104页小结小结q零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数的大小q主导极点q高阶系统简化为二阶系统的原则第63页/共104页第五节第五节 系统的稳定性分析系统的稳定性分析第64页/共104页一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。稳定的充要条

29、件和属性q 稳定的基本概念：设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。第65页/共104页设系统或元件的微分方程为：稳定的充要条件和属性其传递函数为：微分方程的解为：其中：其中：通解通解y1(t)由系统微分方程所对应的齐次方程决定，描述由系统微分方程所对应的齐次方程决定，描述系统在系统在零初始条件下零初始条件下的自由运动状态，为调节过程中的的自由运动状态，为调节过程中的自由运自由运动分量动分量。特解特解y2(t)描述系统在输入信号描述系统在输入信号r(t)作

30、用下的强迫运动状作用下的强迫运动状态，即态，即调节过程的强迫运动分量调节过程的强迫运动分量。第66页/共104页 当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。系统齐次微分方程为：所对应的n阶线性系统特征方程为：设n阶线性系统特征方程的n个跟中有q个实数根和r对共轭复数根，则：自由运行分量y1(t)由特征方程中各实数根所对应的第一项运由特征方程中各实数根所对应的第一项运动分量动分量y11(t)和共轭复数根所对应的第二项运动分量和共轭复数根所对应的第二项运动分量y12(t)叠加构成。叠加构成。第67页/共104页充要条件说明 如果特征方程中有

31、一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。上述两种情况下系统是不稳定的。如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。稳定区不稳定区临界稳定S平面第68页/共104页q 线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根

32、应全部位于有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面平面的左半部。的左半部。注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。对于一阶系统，只要 都大于零，系统是稳定的。对于二阶系统，只有 都大于零，系统才稳定。(负实根或实部为负)三阶及以上呢？第69页/共104页二、劳思稳定判据劳思阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为1，3，5，项系数组成，第二行为2，4，6，项系数组成。劳斯判据则该系统稳定的充要条件为：则该系统稳定的充要条件为：q 特征方程的全部系数为正值；特征方程的全部系数为正值；q 由特征

33、方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。设线性系统的特征方程为第70页/共104页以下各项的计算式为：劳斯判据第71页/共104页劳斯判据依次类推。可求得第72页/共104页劳斯判据例子例：特征方程为：，试判断稳定性。解：劳斯阵为：稳定的充要条件为：v 均大于零v且第73页/共104页特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：q 用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；q劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不稳定。表示稳定。表示s右半

34、平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列第一右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变的次数。列系数符号改变的次数。例：系统的特征方程为：-1 3 0（2）1 0 0（）劳斯阵劳斯阵第一列第一列有有负数负数，系，系统是统是不稳定不稳定的。其的。其符号变符号变化两次化两次，表示有，表示有两个极点两个极点在在s的右半平面。的右半平面。劳斯判据特殊情况第74页/共104页劳斯判据特殊情况q 劳思阵某一行第一列系数为零，而其余系数不全为零。劳思阵某一行第一列系数为零，而其余系数不全为零。例令 则 故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。处理办法处理办法：用很小的正数：用很小的正

35、数e e代替零的那一项，然后据此计算出代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一列零劳斯阵列中的其他项。若第一列零(即即e e)的项与其上项或下项的的项与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。符号相反，计作一次符号变化。第75页/共104页q 劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。

36、轴的两对共轭复根。劳斯判据特殊情况例如:处理办法处理办法：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对此辅助方程式对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等，求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数的。偶次数的。第76页/共104页例：从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得：劳斯判据特殊情况辅助方程 ，求导得：，或 ，用1，3，0代替全零行即可。此时系统是临界

37、稳定的。控制工程上认为是不稳定的。1 3 0第77页/共104页q 分析系统参数变化对稳定性的影响 利用劳斯判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。若讨论的参数为开环放大系数K，则使系统稳定的最大K称为临界放大系数 。例已知系统的结构图，试确定系统的临界放大系数。解：闭环传递函数为：特征方程为：第78页/共104页劳斯阵：要使系统稳定，必须要使系统稳定，必须系数皆大于0，有劳斯阵第一列皆大于0，有所以，临界放大系数所以，临界放大系数特征方程为：第79页/共104页 利用实部最大的特征方程的根 p（若稳定的话，它离虚轴最近）和虚轴的距离 表示系统稳定裕量。若p处于虚轴上

38、，则 ，表示稳定裕量为0。作 的垂线，若系统的极点都在该线的左边，则称该系统具有 的稳定裕度。一般说，越大，稳定程度越高。可用 代入特征方程，得以z为变量的新的特征方程，用劳斯判据进行判稳。若稳定，则称系统具有 的稳定裕度。q 确定系统的相对稳定性（稳定裕度）利用劳斯稳定性判据确定的是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量问题。第80页/共104页例已知系统的结构图，为使系统特征方程的根的实数部分不大于-1，试确定k值的取值范围。解：闭环特征方程为：现以 s=x-1代入上式，得劳斯阵：要使系统稳定，必须系数皆大于0，劳斯阵

39、第一列皆大于0所以，此时k的取值范围为第81页/共104页 讨论相对稳定性除了考虑极点离虚轴远近外，还要考虑共轭极点的振荡情况。对于共轭极点，其实部反映响应的衰减快慢，虚部反映响应的振荡情况。对于极点 ，对应的时域响应为 。所以，越小，衰减越慢，越大，振荡越激烈。如下图示意：可用共轭极点对负实轴的张角 来表示系统的相对稳定性。当 时，表示极点在虚轴上，系统为临界稳定。越小，稳定性越高。相对稳定性越好。第82页/共104页小小 结结q线性系统稳定的充要条件q劳斯代数稳定性判据（劳斯阵，各种特殊情况下劳斯阵的排列和判稳方法）q劳斯稳定性判据的应用 判稳 系统参数变化对稳定性的影响 系统的相对稳定性

40、第83页/共104页第六节第六节 稳态误差分析稳态误差分析误差和稳态误差定义第84页/共104页系统误差：系统的输入 和主反馈信号 之差。即系统稳态误差：当t时的系统误差，用 表示。即误差和稳态误差定义一、系统的稳态误差-+第85页/共104页稳态误差的计算稳态误差的计算-+-给定作用下的偏差传递函数第86页/共104页稳态误差的计算 扰动作用下的偏差传递函数+给定和扰动同时作用下的偏差表达式第87页/共104页稳态误差的计算 对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差注意：只有稳定的系统，才可计算稳态误差。第88页/共104页稳态误差的计算例1 系统结构图如图所示，当输入信号为单位斜

41、坡函数时，求系统在输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小于0.1吗？-解：解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义；所以先判稳。系统特征方程为由劳斯判据知稳定的条件为：第89页/共104页稳态误差的计算由稳定的条件知：不能满足 的要求单位斜坡时：则：第90页/共104页二、给定输入作用下系统的误差分析这时，不考虑扰动的影响。可以写出随动系统的误差：-显然，与输入和开环传递函数有关。给定输入时的稳态误差假设开环传递函数 的形式如下：第91页/共104页式中：开环放大系数；积分环节的个数；开环传递函数去掉积分和比例环节；可见给定作用下的稳态误差与输入信号形式有关；与开环放大系数（增益）有关

42、；与积分环节的个数有关。给定输入时的稳态误差第92页/共104页开环系统的型系统的无差度阶数（开环传递函数的型）通常称开环传递函数中积分的个数为系统的无差度阶数，并将系统按无差度阶数进行分类。当 ，无积分环节，称为0型系统当 ，有一个积分环节，称为型系统当 ，有二个积分环节，称为型系统第93页/共104页式中：称为位置误差系数；稳态误差为零的系统称为无差系统，为有限值的称为有差系统。在单位阶跃作用下，的系统为有差系统，的系统为无差系统。单位阶跃函数输入时的稳态误差q当输入为 时（单位阶跃函数）的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。越大，越小。所以说 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。第94页/共

43、104页q 当输入为 时（单位斜坡函数）式中：称为速度误差系数；单位斜坡函数输入时的稳态误差 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。越大，越小。所以说 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。根据 计算的稳态误差是系统在跟踪速度阶跃输入时位置上的误差。第95页/共104页q 当输入为 时（单位加速度函数）式中：称为加速度误差系数；单位加速度函数输入时的稳态误差 的大小反映了系统在抛物线输入下的稳态精度。越大，越小。所以说 反映了系统跟踪抛物线输入的能力。根据 计算的稳态误差是系统在跟踪加速度阶跃输入时位置上的误差。第96页/共104页当系统的输入信号由位置，速度和加速度分量组成时，即组合输入时的稳态误

44、差小结：给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。与时间常数形式的开环增益有关；对有差系统，K，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。与积分环节的个数有关。积分环节的个数，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。由此可见对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是矛盾的。第97页/共104页三、扰动输入作用下系统的误差分析 通常，给定输入作用产生的误差为系统的给定误差，扰动作用产生的误差为扰动误差。时产生的 称为扰动误差。-+扰动输入作用下的稳态误差第98页/共104页扰动输入作用下的稳态误差可见，可见，不仅与不仅与 有关，还与有关，还与 和和

45、 有有关（扰动点到偏差之间的那部分通道传递函数）。关（扰动点到偏差之间的那部分通道传递函数）。式中：第99页/共104页扰动输入作用下的稳态误差上式中 为开环传递函数所具有的积分环节个数。当 ，即开环传递函数中无积分环节，同时假设 无纯微分环节，因此 中也无积分环节。此时在阶跃扰动输入时是有差系统，设第100页/共104页扰动输入作用下的稳态误差当 ，即开环传递函数中有积分环节，但积分环节可在不同的地方。设 设 即 无积分环节 设 即 有积分环节 此时，尽管有开环传递函数有积分环节，在阶跃扰动作用下还是有差的。第101页/共104页扰动输入作用下的稳态误差 若 ，在阶跃扰动作用下是无差的。若 在斜坡扰动作用下也是无差的。因此 环节中的积分环节决定了扰动作用下的无差度。误差分析与反馈环节的关系+-由图可见，不管是给定还是扰动作用产生的稳态误差，都与图中反馈环节中的积分环节的个数有关。第102页/共104页小小 结结q系统误差、稳态误差的定义q给定输入值作用下系统的误差分析 系统的型 位置误差系数，速度误差系数，加速度误差系数q扰动输入作用下系统的误差分析第103页/共104页感谢您的观看！第104页/共104页