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1、o第1页/共179页 第 七 章 静静 电电 场场 郑光平郑光平第2页/共179页 知识要点1、描述静电场的两个基本物理量（电场强度和电势）、描述静电场的两个基本物理量（电场强度和电势）以及两者之间的相互关系；以及两者之间的相互关系；2、场强叠加原理、高斯定理和环路定理及其应用；、场强叠加原理、高斯定理和环路定理及其应用；3、静电平衡和静电平衡时导体的基本性质；、静电平衡和静电平衡时导体的基本性质；4、电势能、电容器、电容和电容的计算；、电势能、电容器、电容和电容的计算；5、电位移矢量、介质中的高斯定理；、电位移矢量、介质中的高斯定理；6、介质的极化、极化电荷和极化强度、介质的极化、极化电荷和
2、极化强度第3页/共179页 一一 掌握掌握描述静电场的两个物理量描述静电场的两个物理量电场强度电场强度和电势的概念，理解电场强度和电势的概念，理解电场强度 是矢量点函数，而电是矢量点函数，而电势势V 则是标量点函数则是标量点函数.二二 理解理解高斯定理及静电场的环路定理是静电场高斯定理及静电场的环路定理是静电场的两个重要定理，它们表明静电场是的两个重要定理，它们表明静电场是有源有源场和场和保守保守场场.三三 掌握掌握用点电荷电场强度和叠加原理以及高斯用点电荷电场强度和叠加原理以及高斯定理求解带电系统电场强度的方法；并能用电场强度定理求解带电系统电场强度的方法；并能用电场强度与电势梯度的关系求解
3、较简单带电系统的电场强度与电势梯度的关系求解较简单带电系统的电场强度.四四 掌握掌握用点电荷和叠加原理以及电势的定义式用点电荷和叠加原理以及电势的定义式求解带电系统电势的方法求解带电系统电势的方法.五五 了解了解电偶极子概念，能计算电偶极子在均匀电偶极子概念，能计算电偶极子在均匀电场中的受力和运动电场中的受力和运动.教学基本要求教学基本要求第4页/共179页 六六 理解理解静电场中导体处于静电平衡时的条件，静电场中导体处于静电平衡时的条件，并能从静电平衡条件来分析带电导体在静电场中的电并能从静电平衡条件来分析带电导体在静电场中的电荷分布荷分布.八八 理解理解电容的定义，并能计算几何形状简电容的
4、定义，并能计算几何形状简单的电容器的电容单的电容器的电容.九九 了解了解静电场是电场能量的携带者，了解静电场是电场能量的携带者，了解电场能量密度的概念，能用能量密度计算电场能量电场能量密度的概念，能用能量密度计算电场能量.七七 了解了解电介质的极化及其微观机理，了解电电介质的极化及其微观机理，了解电位移矢量位移矢量 的概念，以及在各向同性介质中，的概念，以及在各向同性介质中，和和电场强度电场强度 的关系的关系 .了解电介质中的高斯定理，并了解电介质中的高斯定理，并会用它来计算对称电场的电场强度会用它来计算对称电场的电场强度.第5页/共179页一一 电荷电荷7.1预备知识 古代人类很早就观察到古
5、代人类很早就观察到“摩擦起电摩擦起电”现象，并认识现象，并认识到电有正负二种，同种相斥，异种相吸到电有正负二种，同种相斥，异种相吸,但是，无论是但是，无论是正电荷还是负电荷，都有着吸引轻小物体的能力。正电荷还是负电荷，都有着吸引轻小物体的能力。当时因不明白电的本质，认为电是附着在物体上的，当时因不明白电的本质，认为电是附着在物体上的，因而称其为因而称其为“电荷电荷”，并把显示出这种斥力或引力的物，并把显示出这种斥力或引力的物体称带电体。有时也称带电体为体称带电体。有时也称带电体为“电荷电荷”，如，如“自由电自由电荷荷”。第6页/共179页二二 电荷的量子化电荷的量子化三三 电荷守恒定律电荷守恒
6、定律 在在孤立孤立系统中系统中,电荷的代数和保持不变电荷的代数和保持不变.强子的强子的夸克模型夸克模型具有具有分数电荷分数电荷（或或 电子电荷）但实验上尚未直接证明电子电荷）但实验上尚未直接证明.（自然界的基本守恒定律之一）（自然界的基本守恒定律之一）基本性质基本性质1 电荷有正负之分；电荷有正负之分；2 电荷量子化；电荷量子化；电子电荷电子电荷 3 同性相斥，异性相吸同性相斥，异性相吸.第7页/共179页四、电荷相对论不变性四、电荷相对论不变性一个电荷，其电量与它的运动速度或加速度均无关一个电荷，其电量与它的运动速度或加速度均无关。这是电荷与质量的不同之处。电荷的这一性质这是电荷与质量的不同
7、之处。电荷的这一性质表明系统所带电荷的电量与参考系无关，即具有相表明系统所带电荷的电量与参考系无关，即具有相对论不变性。对论不变性。+电荷为电荷为Q电荷为电荷为Q第8页/共179页五、五、点电荷的物理模型点电荷的物理模型点电荷：点电荷：当带电体的形状和大小与带电体的距离当带电体的形状和大小与带电体的距离相比可以忽略时相比可以忽略时,带电体可以看成点电荷带电体可以看成点电荷.点电荷不是指带电体的电量很小;当研究的场中某点P到带电体几何中心的距离远大于带电体自身时,带电体可以看成点电荷.若已知一个点电荷,而研究场中某点P到点电荷距离充分小时,此带电体不能视为点电荷.第9页/共179页六、库仑定律六
8、、库仑定律 真空中两个静止点电荷相互作用力的大小正比于两个点电荷电量的积，反真空中两个静止点电荷相互作用力的大小正比于两个点电荷电量的积，反比于两个点电荷距离的平，方向沿着它们的连线，同种电荷相斥，异种电荷相比于两个点电荷距离的平，方向沿着它们的连线，同种电荷相斥，异种电荷相吸。吸。注意:库仑定律仅适用于点电荷。第10页/共179页电荷电荷1受电荷受电荷2的力的力讨论:对吗?静止电荷之间的作用力亦称库仑力。库仑力遵守牛顿第三定律库仑力遵守牛顿第三定律（为真空电容率）为真空电容率）令令第11页/共179页解解 例例 在氢原子内在氢原子内,电子和质子的间距为电子和质子的间距为 .求它们之间电相互作
9、用和万有引力求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小并比较它们的大小.（微观领域中（微观领域中,万有引力比库仑力小得多万有引力比库仑力小得多,可可忽略忽略不计不计.）第12页/共179页七、库仑力的叠加原理七、库仑力的叠加原理 空间上有多个点电荷时空间上有多个点电荷时,作用在某个点电荷的总静作用在某个点电荷的总静电力等于其他各点电荷单独存在时对该点电荷所施静电力等于其他各点电荷单独存在时对该点电荷所施静电力的矢量和电力的矢量和.设设 所受作用力如图所受作用力如图:叠加原理叠加原理第13页/共179页八、带电体之间静电力的计算八、带电体之间静电力的计算1.点电荷之间静电力的计算点电荷q0
10、 受到其他N个点电荷的静电力:例题:如图，在等腰直角三角形的顶点各有一个点电荷 q,求：顶点C处点电荷所受的库仑力 aaC第14页/共179页2.点电荷q0与带电体Q之间静电力的计算 思路利用定积分的思想,结合库仑定律和静电力的叠加原理分析.步骤将带电体Q无限细分,取点电荷计算 q 给予点电荷 dq 的静电力利用静电力的叠加原理,计算q给予所有点电荷dq的静电力第15页/共179页 例 题如图:计算一个长度给定的均匀带电直线同其延长线上一个点电荷之间的静电力Q,Lq0b解解第16页/共179页总结n点电荷的物理模型n点电荷之间的库仑定律n带电体之间电场力的计算第17页/共179页7.2 电场
11、电场强度一、电场历史上的三种观点历史上的三种观点 (a)超距作用（无介质）超距作用（无介质）问题的提出：库仑定律给出了真空中点电荷之间的相互作用的定量关系，然而这作库仑定律给出了真空中点电荷之间的相互作用的定量关系，然而这作用是通过什么途径来传递的呢？用是通过什么途径来传递的呢？电荷电荷 电荷电荷(b)近距作用（介质近距作用（介质以太）以太）电荷电荷 以太以太 电荷电荷(c)场：（1832年年 法拉第）弥漫在电荷周围并对处于法拉第）弥漫在电荷周围并对处于 其中的另一电荷有作用力其中的另一电荷有作用力 第18页/共179页电电 荷荷电电 场场电电 荷荷1.电场：电荷周围存在的一种特殊物质2.电场
12、的基本特性：对处在电场中的电荷施加作用。电荷1对电荷2的作用过程:在电荷1的周围空间存在一种特殊的物质,电荷1给予电荷2的作用力是靠这个特殊的物质传递的;因为电荷2处于电荷1产生的场中,所以电荷2受到了静电力的作用.产生电场的电荷1称为场源电荷,电荷2所处的位置为场中的点-场点第19页/共179页在电荷2的周围空间存在一种特殊的物质,电荷2给予电荷1的作用力是靠这个特殊的物质传递的;电荷2对电荷1的作用过程:因为电荷1处于电荷2产生的场中,所以电荷1受到了静电力的作用.产生电场的电荷2称为场源电荷,电荷1所处的位置为场中的点-称为 场点第20页/共179页3.电场与实物的异同点异点：实物是由原
13、子、分子组成，看得见，摸得着，场 物则不同；场物有空间可入性，且互不发生影响。实物则没有；实物的密度很大，而场物的密度很小。实物的运动速度不能达到光速，而场物一般以 光速运动。第21页/共179页同点:场跟实物一样，也有质量能量、动量和角动量场物也遵从质量守恒，动量守恒，角动量守恒场物跟实物一样，在存在形式上也具有多样性第22页/共179页4.静电场当一个电荷处于另一个电荷的静电场中时，就受到这个静电场的作用力,叫做静电场力分布在静止电荷周围的场叫做静电场这个静止电荷就叫做静电场的场源电荷第23页/共179页二 、电场强度电电场场的的基基本本属属性性是是对对处处在在电电场场中中的的电电荷荷施施
14、加加作作用用力力,所所以以可可以以从从力力的的角度描述电场角度描述电场.1.试探电荷引入目的:要求线度应小到可视为点电荷电量应足够小，使得由于它的引入不致引起原有电量的重新分布，因而将不会引起原来电场的变化 检验空间某点是否存在电场：场源电荷：场源电荷：试验电荷：试验电荷第24页/共179页2.试探电荷所受静电力的实验结果试探电荷所受静电力的实验结果理论和实践表明：将试探电荷放在电场中不同点，它受的力一般不同，是描述静电场固有性质的物理量,定义为电场强度说明:定义：单位：牛顿/库仑（N/C）q0只是使场显露出来，即使无 q0也存在第25页/共179页 讨论:场中某点的电场强度既与实验电荷电量无
15、关,也与试探电荷受力无关.完全取决于场源电荷和场点,即决定于电场本身.大小：大小：单位正电荷受力大小单位正电荷受力大小单位：单位：N/C 、V/m此式为电场强度的定义式此式为电场强度的定义式 方向：方向：正电荷受电场力的方向正电荷受电场力的方向第26页/共179页对某点而言，是矢量 对变化的电场 电场分：匀强电场，非匀强电场 电荷电荷 在电场中受力在电场中受力 第27页/共179页三、点电荷的电场强度三、点电荷的电场强度第28页/共179页四、电场强度的叠加原理四、电场强度的叠加原理场强叠加原理 根据场强的定义，则有根据场强的定义，则有第29页/共179页方向方向试验电荷受力试验电荷受力场强叠
16、加原理场强叠加原理由由定义定义1、点电荷系统电场强度的计算第30页/共179页2.电荷连续分布的带电体的场强电荷电荷体体密度密度点点 处电场强度处电场强度(1）体体分布分布第31页/共179页电荷电荷面面密度密度从场源指向场点的单位矢量（2）面面分布分布第32页/共179页电荷电荷线线密度密度利用以上各式，原则上可计算任意分布电荷的场强，但在电荷分布比较复杂的情况下，往往遇到许多难以解决的积分问题。（3）线线分布分布第33页/共179页矢量积分化成标量积分矢量积分化成标量积分第34页/共179页矢量积分步骤：矢量积分步骤：1、建立坐标系、建立坐标系2、取微元、取微元3、写出电场的微分形式、写出
17、电场的微分形式xyzO场点场点r第35页/共179页4、写出分量式、写出分量式5、变换积分元、变换积分元6、对分量积分、对分量积分7、得出结果、得出结果第36页/共179页电偶极矩（电矩）电偶极矩（电矩）3、电偶极子的电场强度电偶极子的电场强度电偶极子的轴电偶极子的轴 讨讨 论论（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度电偶极子轴线延长线上一点的电场强度第37页/共179页第38页/共179页（2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度第39页/共179页第40页/共179页例例1 求一均匀带电直线在求一均匀带电直线在O点的电场。点的电场。已知：已知：q、a、1
18、、2、。解题步骤解题步骤1.选电荷元选电荷元5.选择积分变量选择积分变量4.建立坐标，将建立坐标，将 投影到坐标轴上投影到坐标轴上2.确定确定 的方向的方向3.确定确定 的大小的大小第41页/共179页选选作为积分变量作为积分变量第42页/共179页 第43页/共179页当直线长度当直线长度无限长均匀带电直线的无限长均匀带电直线的场强场强当方向垂直带电导体向外，方向垂直带电导体向外，当方向垂直带电导体向里。方向垂直带电导体向里。讨论讨论第44页/共179页由对称性有由对称性有解解 例例2 正电荷正电荷 均匀分布在半径为均匀分布在半径为 的圆环上的圆环上.计算在环的轴线上任一点计算在环的轴线上任
19、一点 的电场强的电场强度度.第45页/共179页第46页/共179页讨讨 论论（1）（点电荷电场强度）（点电荷电场强度）（2）（3）第47页/共179页例例3 均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度.有一半径为有一半径为 ,电荷均匀分布的薄圆盘电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面密度为其电荷面密度为 .求通过盘心且垂直盘面的求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度轴线上任意一点处的电场强度.解解 由例由例第48页/共179页第49页/共179页讨讨 论论无限大均匀带电平面的电无限大均匀带电平面的电场强度场强度第50页/共179页课堂练习课堂练习求均匀带电细杆延长线上一点
20、的场强。已知求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q,L,a第51页/共179页1.求均匀带电半圆环圆心处的求均匀带电半圆环圆心处的 ，已知，已知 R、电荷元电荷元dq产生的场产生的场根据对称性根据对称性课堂练习：课堂练习：第52页/共179页取电荷元取电荷元dq则则由对称性由对称性方向：沿方向：沿Y轴负向轴负向2.求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知 ,R第53页/共179页例例4 计算电偶极子在均匀电场中所受的合力和合力矩计算电偶极子在均匀电场中所受的合力和合力矩已知已知解：合力解：合力合力矩合力矩将上式写为矢量式将上式写为矢量式 力矩总是使电矩力矩总
21、是使电矩 转向转向 的方向，以达到稳定状态的方向，以达到稳定状态可见：可见：力矩最大；力矩最大；力矩最小。力矩最小。第54页/共179页7.3 电通量 高斯定理 利用场强的叠加原理计算场强很复杂，高斯定理将为我们提供一种较简单的计算场强的方法，在解决具有某些对称性的问题时很方便。第55页/共179页一电场线一电场线标量场：标量场：在空间各点存在着一个标量，它的数值是空间位置的函数，如温度在空间各点存在着一个标量，它的数值是空间位置的函数，如温度场、气压场场、气压场矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的数值是空间位置的函数，如流速场、矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的数值是空间位置的函数，如
22、流速场、电场、磁场电场、磁场场线：就是一些有方向的曲线，其上每一场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切线方向都和该点的场矢量方向一致，点的切线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密反映矢量的大小。场线的疏密反映矢量的大小。第56页/共179页电场线电场线电场中假想的曲线电场中假想的曲线疏密疏密表征场强的大小表征场强的大小其切线方向代表场强的方向其切线方向代表场强的方向+任何两条电场线不会在无电荷处相交。任何两条电场线不会在无电荷处相交。第57页/共179页 在电场中画一组曲线，曲线上每一点在电场中画一组曲线，曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致，这的切线方向与该点的电场方向一致，这
23、一组曲线称为一组曲线称为电力线电力线。dS 通过无限小面元通过无限小面元dS的的电力线数目电力线数目d e与与dS 的比值称为电力线密度。我们规定的比值称为电力线密度。我们规定电电场中某点的场强的大小等于该点的电力线场中某点的场强的大小等于该点的电力线密度密度第58页/共179页大小：大小：方向方向：切线方向切线方向=电力线密度电力线密度总结：总结：第59页/共179页电场线的普遍性质起于正电荷（或者来自于无穷远），止于负电荷（或者伸向无穷远），但不会在起于正电荷（或者来自于无穷远），止于负电荷（或者伸向无穷远），但不会在没有电荷的地方中断。没有电荷的地方中断。若带电体系中正负电荷一样多，则由
24、正电荷出发的全部电场线都集中到负电荷上。若带电体系中正负电荷一样多，则由正电荷出发的全部电场线都集中到负电荷上。两条电场线不会相交。两条电场线不会相交。静电场中的电场线不会形成闭合线。静电场中的电场线不会形成闭合线。第60页/共179页+一对等量异号电荷的电场线一对等量异号电荷的电场线第61页/共179页一对等量正点电荷的电场线一对等量正点电荷的电场线+第62页/共179页一对异号不等量点电荷的电力线一对异号不等量点电荷的电力线2qq+第63页/共179页带电平行板电容器的电场带电平行板电容器的电场+第64页/共179页矢量场的环量矢量场的环量矢量场的通量：dS 流体力学：在流速场中，流线的疏
25、密反映流速的大小，流线在各点的切线方向就是流速的方向。单位时间通过曲面的水量有多少，这是一个具有普遍意义的问题。二、电通量e第65页/共179页SS1、均匀电场、均匀电场2、均匀电场、均匀电场=S3、非均匀电场、任意曲面、非均匀电场、任意曲面dS单位：单位：Vm第66页/共179页第67页/共179页 =0 0 0 闭合曲面的法向：规定外法线（指向曲面外部空间的法线）为正向。闭合曲面的法向：规定外法线（指向曲面外部空间的法线）为正向。nn穿出为正穿出为正穿入为负穿入为负第68页/共179页德国物理学家、数学家、天文学家德国物理学家、数学家、天文学家 真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的真空中的
26、静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于曲面内所包围的电荷电量的代数和电通量等于曲面内所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数。与闭合面外的电荷无关。除以真空介电常数。与闭合面外的电荷无关。三、高斯定理1.定理第69页/共179页S：闭合曲面，称为高斯面闭合曲面，称为高斯面沿此高斯面的积分沿此高斯面的积分由空间所有电荷激发的电场强度由空间所有电荷激发的电场强度(在在S面上）面上）有向面元，大小有向面元，大小ds,方向为曲面的法向，概括了面元的面积和空间取向。方向为曲面的法向，概括了面元的面积和空间取向。S内所有电荷的代数和，与高斯面以外的电荷无关。与内所有电荷的代数和，与高斯面以外的电荷无关。与
27、S内电荷怎么分布内电荷怎么分布也没有关系。故可以不必知道高斯面上场的分布就可以知道穿过高斯面也没有关系。故可以不必知道高斯面上场的分布就可以知道穿过高斯面的电通量。的电通量。分析第70页/共179页2.高斯定理的定性高斯定理的定性证明 求通过球面的电通量：n若闭合曲面内不只包括一个点电荷n若q不在中心n若包围q的不是球面，而是任意闭合曲面n若q不在闭合曲面内，且闭合曲面 内没有其它带电体n以q为中心，半径为Rr+q+q第71页/共179页与球面半径无关，即以点电荷与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等的
28、电通量都相等。+q1、当点电荷在球心时、当点电荷在球心时高斯高斯第72页/共179页平面角：平面角：由一点发出的两条射线之间的夹角由一点发出的两条射线之间的夹角单位：弧度单位：弧度为半径的弧长为半径的弧长取取当然当然也也一般的定义：一般的定义：射线长为射线长为线段元线段元对某点所张的平面角对某点所张的平面角补充：立体角的概念补充：立体角的概念第73页/共179页平面角平面角立体角立体角面元面元dS 对某点所张的立体角：对某点所张的立体角：锥体的锥体的“顶角顶角”单位单位球面度球面度对比平面角，取半径为对比平面角，取半径为球面面元球面面元定义式定义式第74页/共179页弧度弧度计算闭合曲面对面内
29、一点所张的立体角计算闭合曲面对面内一点所张的立体角球面度球面度计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角平面平面第75页/共179页库仑定律库仑定律+叠加原理叠加原理思路：思路：先证明点电荷的场先证明点电荷的场 然后推广至一般电荷分布的场然后推广至一般电荷分布的场2、源电荷是点电荷但不在球心源电荷是点电荷但不在球心在该场中取一包围点电荷的任意闭合面在该场中取一包围点电荷的任意闭合面(如图示如图示)高斯定理的证明高斯定理的证明 在闭合面在闭合面S S上任取面元上任取面元该面元对点电荷所张的立体角该面元对点电荷所张的立体角点电荷在面元处的场强为点电荷在面元处的
30、场强为第76页/共179页S+r第77页/共179页高斯定理高斯定理r第78页/共179页点电荷在面元处的场强为点电荷在面元处的场强为在所设的情况下得证在所设的情况下得证第79页/共179页+高斯定理高斯定理第80页/共179页3、源电荷仍是点电荷但在高斯面外、源电荷仍是点电荷但在高斯面外 取一闭合面不包围点电荷取一闭合面不包围点电荷(如图示如图示)在闭合面上任取面元在闭合面上任取面元该面元对点电荷张的该面元对点电荷张的立体角立体角也对应面元也对应面元两面元处对应的点电荷的电场强度分别为两面元处对应的点电荷的电场强度分别为 第81页/共179页3)源和面均任意源和面均任意根据叠加原理可得根据叠
31、加原理可得此种情况下此种情况下仍得证仍得证第82页/共179页1.闭合面内、外电荷的贡献闭合面内、外电荷的贡献2.静电场性质的基本方程静电场性质的基本方程3.源于库仑定律源于库仑定律 高于库仑定律高于库仑定律4.微分形式微分形式讨论讨论都有贡献都有贡献对对对电通量对电通量的贡献有差别的贡献有差别只有闭合面内的电量对只有闭合面内的电量对电通量电通量有贡献有贡献有源场有源场第83页/共179页3.高斯定理的应用高斯定理的应用计算通量如图，问如图，问Q激发的电场通过此正方形的电通量？激发的电场通过此正方形的电通量？aQ第84页/共179页一、求场强的思路 高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场
32、强与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。几类对称性：电场分布轴对称 电场分布球对称 电场分布面对称第85页/共179页定性分析带电体系激发的电场分布情况定性分析带电体系激发的电场分布情况选取合适的高斯面：选取合适的高斯面：场点必须在高斯面上。场点必须在高斯面上。高斯面上各个部份场强要么大小相等，要高斯面上各个部份场强要么大小相等，要么么 与面上场强平行或垂直。与面上场强平行或垂直。根据对称性，选择适当的坐标系，应用高斯定根据对称性，选择适当的坐标系，应用高斯定 理求解理求解对某些对称分布带电体的简单
33、组合，可以对各对某些对称分布带电体的简单组合，可以对各 带电体分别使用高斯定理，再用场强的叠加原带电体分别使用高斯定理，再用场强的叠加原 理求解合场强理求解合场强二、高斯定理的解题步骤第86页/共179页RPO例题例题1 求电量为求电量为Q、半径为、半径为R的均匀带电球面的场的均匀带电球面的场 强分布。强分布。1、电荷分布球对称、电荷分布球对称如：均匀带电球面或者球体如：均匀带电球面或者球体：对称性分析：对称性分析：对任意给定的场点对任意给定的场点P，整个球面可以，整个球面可以看成为以看成为以OP为轴的无数个同轴圆环做的，为轴的无数个同轴圆环做的，每个圆环在其轴线上的场强沿着轴线的每个圆环在其
34、轴线上的场强沿着轴线的方向。方向。三、高斯定理的应用举例 整个球面在整个球面在P点产生的场强是无数个圆点产生的场强是无数个圆环产生的场强在环产生的场强在P点的叠加，正电荷沿点的叠加，正电荷沿着径向向外，负电荷反之可以设想，凡着径向向外，负电荷反之可以设想，凡是距离是距离O点为的各点场强的大小都相等。点为的各点场强的大小都相等。第87页/共179页RPO球对称分布：球对称分布：在任何与均匀带电球壳在任何与均匀带电球壳同心的球面上各点的场强大小都相等，同心的球面上各点的场强大小都相等，方向沿着半径方向呈辐射状。方向沿着半径方向呈辐射状。第88页/共179页源球对称源球对称场球对称场球对称R0ER：
35、选取合适的高斯面选取合适的高斯面在处场强的值存在跃变。第89页/共179页两个同心带电球壳，半径为两个同心带电球壳，半径为R1和和R，电量分别为，电量分别为Q1和和Q2,填空：填空：R1，Q1R，Q2 扩展：第90页/共179页距离球心r处任意点的场强，只由半径小于r处的球壳所带电量决定其场强相当于将这些球壳上的电量、置于球心处所产生的场强，而与半径大于r处的球壳所带电量无关分析高斯面内的静电荷时，要注意有时要分区间讨论 结论第91页/共179页例题例题2 求：电量为求：电量为Q、半径为、半径为R 的均匀带电球体的场的均匀带电球体的场强分布。强分布。R解：解：选择高斯面选择高斯面过待求场点的同
36、心球面过待求场点的同心球面r0ER第92页/共179页 讨论虽然高斯积分为曲面积分，但是由于电场分布的特点我们并没有真正计算这个高斯积分，而是通过数学分析直接得到结果。高斯面若选取不当，我们就不能处理高斯积分，即不可能计算出场强，但是高斯定理仍然成立。均匀带电球面的面外、球体的球外一点的场强相当于把所有电荷集中在球心的一个点电荷所产生的电场；均匀带电球面的面内任意点场强处处为零；第93页/共179页二、二、轴对称分布：轴对称分布：例题例题1 1：求求：电荷线密度为：电荷线密度为 的无限长带电直线的场强分布。的无限长带电直线的场强分布。无线长的物理含义：无线长的物理含义：指与带电直线的线度指与带
37、电直线的线度L L相比非常小，看不到线段的边。相比非常小，看不到线段的边。无线长均匀带电细直线无线长圆柱体无线长柱面及其同轴组合第94页/共179页1.分析对称性：分析对称性：PO：镜像对称的电荷元产生的电场强度的方向必在对称轴上。：凡是和P点一样，距离为的各点和P点相比，没有任何特殊性，故场强相同的各点在空间构成一个圆柱面。第95页/共179页凡是与轴线距离相等的各点上场强凡是与轴线距离相等的各点上场强的大小都相等，方向沿着轴的矢径的大小都相等，方向沿着轴的矢径成辐射状。成辐射状。轴对称的含义：第96页/共179页？r2.选择高斯面选择高斯面同轴柱面同轴柱面上下底面上下底面侧面侧面 ，且同，
38、且同一柱面上一柱面上E 大小相等。大小相等。0第97页/共179页无限长均匀带电直线的场强无限长均匀带电直线的场强当方向垂直带电导体向外方向垂直带电导体向外当方向垂直带电导体向里方向垂直带电导体向里第98页/共179页如果线粗细不可忽略，空间场强分布如何？如果线粗细不可忽略，空间场强分布如何？思考第99页/共179页解：场具有轴对称解：场具有轴对称 高斯面：同轴圆柱面高斯面：同轴圆柱面例例2.2.均匀带电无限长圆柱面的电场。均匀带电无限长圆柱面的电场。沿轴线方向单位长度带电量为沿轴线方向单位长度带电量为(1)r R高高斯斯面面lr若题目告诉的是面密度：第101页/共179页课堂练习：课堂练习：
39、求均匀带电无限长圆柱体的场强分布，求均匀带电无限长圆柱体的场强分布，已知已知R，第102页/共179页结论：无限长均匀带电圆柱面面外、无限长均匀带电圆柱体体外一点的电场强度相当于把所有电荷集中在轴线上的一个无限长带电直线所产生的电场第103页/共179页例如：均匀带电无限大平面或平板、若干个无限大均匀带电平行平面 3、平面对称分布 +第104页/共179页求：电荷面密度为求：电荷面密度为 的无限大均匀带电平面的场强分布。的无限大均匀带电平面的场强分布。解：a.对称性分析：回顾带电圆盘例题的结论 或者面由线组成分析。侧面侧面底面底面+且且 大小相等；大小相等；b.选择高斯面 与平面正交对称的柱面
40、第105页/共179页当场源是几个具有对称性的带电体时，可用高斯定理分别求各带电体单当场源是几个具有对称性的带电体时，可用高斯定理分别求各带电体单独存在时的场强，再作矢量叠加。独存在时的场强，再作矢量叠加。扩展第106页/共179页例题例题 求：电荷面密度分别为求：电荷面密度分别为 1 1 、2 2 两个平行两个平行放置的无限大均匀带电平面的场强分布。放置的无限大均匀带电平面的场强分布。A B C +解：解：第107页/共179页 当当 1 =-2 此即带电平板电容器间的场强 结论 此即以后的平行板电容器模型。一对等量异号电荷的无限大平面，他们的电场只集中在两个平板之间，在平板外侧无电场。第1
41、08页/共179页 判断正误判断正误 如果高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为如果高斯面上场强处处不为，则高斯面内必有电荷如果高斯面内有电荷，则高斯面上场强处处不为第109页/共179页7.4 静电场的环路定理 电势 一、静电场的保守性一、静电场的保守性讲解元功的概念、功的定义式。第110页/共179页P1Q0Q 原点原点O电场力作功电场力作功 A 1 2=？试验电荷试验电荷Q0从从 P1 P2 沿任意路径沿任意路径 P2 （一）、静电力的功（一）、静电力的功1.点电荷的电场点电荷的电场第111页/共179页Q第112页/共179页P1Q0Q结论：点电荷的静电场对试探电荷所做的功与路 径无关。
42、第113页/共179页 2.任意带电体的电场任意带电体的电场 根据电场强度叠加原理，任意带电体在某点产生的电场强度，等于各电荷元单独在该点产生的电场强度的矢量和。实验电荷q0 在电场中从 a 点沿某一路径 L 移动到 b 点时静电场力作的功为：第114页/共179页每个电荷元的静电场力作功与移动实验电荷的具体路径无关,所以，整个带电体的电场做功与路径无关，仅与运动电荷的始末位置有关。第115页/共179页abQ0L1L2任意带电体的静电场做功与路径无关第116页/共179页 讨论：物理意义：一个试探电荷在静电场中沿任意路径运动一周时，静电力对它所做的功为零1、静电力为保守力。2、物理意义：一个
43、单位试探电荷在静电场中沿任意路径运动一周时，静电力对它所做的功为零 所有的静电场都是保守场保守场：对任意闭合路径的环量为0的矢量场。第117页/共179页（二）静电场的环路定理：静电场的电场线不可能是闭合的，静电场是保守场，或者说静电场是无静电场的电场线不可能是闭合的，静电场是保守场，或者说静电场是无旋场。旋场。环量环量描述了场的某一方面的特性，这种特性可以比拟为描述了场的某一方面的特性，这种特性可以比拟为“旋旋”，来源来源于旋转体的速度场环量不为于旋转体的速度场环量不为0 0第118页/共179页证明证明1：用静电场的环路定理证明电场线不可能闭合。第119页/共179页三、电势能三、电势能
44、电势和电势差电势和电势差1、电势能电势能 EP由于电场力为保守力，若把电荷和静电场组成一个系统，则电场力为内力，称为保守内力。保守力作功与路径无关，只取决保守力作功与路径无关，只取决于系统的始末位置。于系统的始末位置。存在由位置决定的函数存在由位置决定的函数 EP 势能函数势能函数由于此势能函数存在于静电场中，故称为电势能EP。电势能既不是电荷所独有，也不是静电场所独有。而是电场和电荷所组成的系统共有。第120页/共179页势能的定义：势能的定义：对于电势能，一般取对于电势能，一般取 为零势能点为零势能点 其中：其中：所以所以第121页/共179页保守力作功以损失势能为代价。保守力作功以损失势
45、能为代价。保守力的功等于势能增量的负值。保守力的功等于势能增量的负值。电场力所做的功等于电势能增量的负值电场力所做的功等于电势能增量的负值。EPAEPB第122页/共179页若选若选B为静电势能的零点，用为静电势能的零点，用“0”表示，则表示，则AB第123页/共179页某一点的电势能：某一点的电势能：某一带电体在空间激发电场，要确定电荷在某一点电势能的值，必须选定电势某一带电体在空间激发电场，要确定电荷在某一点电势能的值，必须选定电势能的零参考点；能的零参考点；若选为势能零参考点：若选为势能零参考点：物理意义：物理意义：点电荷在场点的电势能等于将从点移到势能零点过程点电荷在场点的电势能等于将
46、从点移到势能零点过程中电场力所做的功。中电场力所做的功。注意：注意：电势能类似于重力势能，是属于系统的，即为相互作用的带电体系电势能类似于重力势能，是属于系统的，即为相互作用的带电体系共有。共有。第124页/共179页 系统系统 电场电场+试验电荷试验电荷 在在P处的电势能为处的电势能为点电荷的电场中试探电荷所具有的电势能点电荷的电场中试探电荷所具有的电势能+第125页/共179页电势能与静电场本身的性质有关，还与引入的试探电荷大小和电性有关。电势能与静电场本身的性质有关，还与引入的试探电荷大小和电性有关。即电势能属于电荷与电场组成的系统，即电势能属于电荷与电场组成的系统，讨论如果要描述电场本
47、身的性质，电势能显然是不合适的。如果要描述电场本身的性质，电势能显然是不合适的。与所有的势能一样，电势能的量度是相对的要决定电荷在电场中某点的电势能的值，就必须先选择一个电势能参考点第126页/共179页 单位正电荷放在单位正电荷放在P处，系统的电势能。处，系统的电势能。电场中某点的电势，等于把单位正电荷从该点移到电场中某点的电势，等于把单位正电荷从该点移到0电势处，电场力所做电势处，电场力所做功。功。单位：单位：V（伏特伏特）2 电势电势 第127页/共179页3、静、静 电场中任意两点的电势差电场中任意两点的电势差P2P1O 静电场中，静电场中，把单位正电荷从把单位正电荷从P1 处沿任意路
48、径移到处沿任意路径移到 P2 处电场力做的功。处电场力做的功。第128页/共179页讨论在静电场中，在静电场中，a，b两点之间的电势差等于把单位正电荷从两点之间的电势差等于把单位正电荷从a点沿着任意路点沿着任意路径移到径移到b点电场力所做的功。点电场力所做的功。计算电势差时，不论选择哪个点为电势零点，其电势差都是一样的，故计计算电势差时，不论选择哪个点为电势零点，其电势差都是一样的，故计算电势差时不需要选择电势零点。算电势差时不需要选择电势零点。第129页/共179页从电势差的角度理解，电势是一个相对的概念。静电场中任一点的电势都从电势差的角度理解，电势是一个相对的概念。静电场中任一点的电势都
49、是相对于电势零点的电势差。是相对于电势零点的电势差。场强反映的是电场中某点电场力的性质，电势反映的是电场中电场能量的场强反映的是电场中某点电场力的性质，电势反映的是电场中电场能量的性质性质第130页/共179页 四、电势的计算方法一：微元法四、电势的计算方法一：微元法1 1、点电荷中电场的电势、点电荷中电场的电势例题例题1求：点电荷电场的电势分布求：点电荷电场的电势分布 P解解：已知已知设无限远处为设无限远处为0 0电势，则电场中距离点电荷为电势，则电场中距离点电荷为r 的的P P点处电势为点处电势为点电荷电场点电荷电场的电势分布的电势分布0U+第131页/共179页0U点电荷周围空间点电荷周
50、围空间任一点的电势任一点的电势若场源电荷若场源电荷Q 0，则空间各点电势，则空间各点电势U0，离点电荷越远，离点电荷越远电势越低，在无穷远处电势为零，最小值电势越低，在无穷远处电势为零，最小值若场源电荷若场源电荷Q 0，则空间各点电势，则空间各点电势U 1 m处处,VP为为负负值值；在在 r RX=0 例题例题6Ux第156页/共179页例题例题7计算无限大带电平面在空间的电势分布计算无限大带电平面在空间的电势分布+取取解解:OXP第157页/共179页第158页/共179页计算电势的方法计算电势的方法1、点电荷场的电势及叠加原理、点电荷场的电势及叠加原理小小 结结计算场强的方法计算场强的方法