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1、起点起点终点终点第1页/共22页 类似于平面向量类似于平面向量,为了研究的为了研究的 方便起见方便起见,我们规定我们规定:零向量零向量、单位向量单位向量、相等向量相等向量、相反向量相反向量等概念等概念.你认为应你认为应该该怎怎样样规规定定?）的相反向量，记为：（第2页/共22页abOAB2.空间向量加法、减法与数乘向量运算：a+baaaOPa-baC第3页/共22页3.空间向量加法与数乘向量运算律加法交换律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；数乘分配律：数乘分配律：(a+b)=a+b.abca+b+c abca+b+c a+b b+c(a)()
2、a 数乘结合律：数乘结合律：第4页/共22页对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明：空间向量的运算就是平面向量运算的推广两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加第5页/共22页1.共线向量定理共线向量（平行向量）：表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。共线向量定理：共线向量定理的应用：1、证明三点共线、证明三点共线2、证明两直线平行、证明两直线平行二、共线向量与共面向量第6页/共22页2.共面向量定理共面向量定理：共面向量：平行于同一平面的向量。共面向量定理的应用：1、证明四点共面、证明四点共面2、证明线面平行、证明线面平行第7页/共22页1)
3、1)两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义:OAB新课引入新课引入第8页/共22页2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注注:两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定规定:零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.A1 1B1 1BA第9页/共22页(3)(3)空间两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质性质性质 是证明两向量垂直的依据；是证明两向量垂直的依据；性质性质是求向量的长度（模）的依据；是求向量的长度（模）的依据；性质性质是求向量夹角的依据是求向量夹角的依据.注：注：第10页/共22页分析：分析：要证明一条直线与一个平面
4、要证明一条直线与一个平面垂直垂直,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直.例例3:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.mng第11页/共22页mng解解:在在 内作不与内作不与m,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m,n不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存
5、在唯一实数 ,使使 例例3:已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.第12页/共22页(4)(4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律注意：注意：数量积不满足结合律即数量积不满足结合律即第13页/共22页(5)(5)空间向量基本定理空间向量基本定理特别地，若 x+y+z=1，则 P、A、B、C 四点共面.第14页/共22页(6)(6)空间直角坐标系空间直角坐标系单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示 单位向量三个基向量的长度都为1 1；正交
6、向量三个基向量互相垂直 ijkO第15页/共22页有序实数组 叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，简记为a 空间中相等的向量其坐标是相同的 a i j k2.2.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使第16页/共22页(7)(7)向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算 向量的直角坐标运算：设a ，b ，则ab ；ab ；a ；ab .证明方法：与平面向量一样，将a i j k 和 b i j k 代入即可 证明(4):第17页/共22页2.2.类似于平面向量坐标运算可得：设a ，b=则a/b ab ab ab=0 第18页/共22页利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A ，B ，则即其中 表示A与B 两点间的距离 这就是空间两点间的距离公式.第19页/共22页第20页/共22页例2.如图在正方体ABCD-A1 1B1 1C1 1D1 1中，点E1 1，F1 1分别是解：不妨设正方体的棱长为，建立空间直角坐标系Dxyz如图，A1 1B1 1，C1 1D1 1的一个四等分点，求BE1与DF1与所成的角的余弦值.则 第21页/共22页感谢您的观看！第22页/共22页