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1、2023/3/1814.1 复数项级数1.1.复数序列的极限复数序列的极限第1页/共40页2023/3/182第2页/共40页2023/3/1832.2.复数项级数复数项级数第3页/共40页2023/3/184第4页/共40页2023/3/185定理2将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.第5页/共40页2023/3/186第6页/共40页2023/3/187解 1)因 发散;收敛,故原级数发散.第7页/共40页2023/3/188第8页/共40页2023/3/189第9页/共40页2023/3/1810(1)发散;(2)绝对收敛;(3)收敛,条件收敛;(4)绝对收敛;(5)绝对收
2、敛.第10页/共40页2023/3/18114.2 4.2 复变函数项级数复变函数项级数1.1.复变函数项级数复变函数项级数第11页/共40页2023/3/1812第12页/共40页2023/3/18132.2.幂级数幂级数(阿贝尔定理)第13页/共40页2023/3/1814第14页/共40页2023/3/1815第15页/共40页2023/3/1816第16页/共40页2023/3/1817第17页/共40页2023/3/1818第18页/共40页2023/3/1819第19页/共40页2023/3/1820 4.4.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样,复变幂级数也能进
3、行有理运算.设第20页/共40页2023/3/1821这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.第21页/共40页2023/3/1822第22页/共40页2023/3/18233)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即第23页/共40页2023/3/18244.3 4.3 泰勒级数泰勒级数第24页/共40页2023/3/1825 利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:把 f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法例如,求 ez 在 z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,.)，故有因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处
4、成立,收敛半径为+.第25页/共40页2023/3/1826同样,可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:第26页/共40页2023/3/1827解 由于函数有一奇点z=-1,而在|z|1内处处解析,所以 可在|z|1内展开成z的幂级数.因为 例1 把函数 展开成z的幂级数.第27页/共40页2023/3/1828例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.解 ln(1+
5、z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在|z|1展开为z的幂级数.-1OR=1xy第28页/共40页2023/3/1829推论1:推论2：推推论论3 3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)第29页/共40页2023/3/1830推论4：例如：它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.1-z2+z4-如复变函数第30页/共40页2023/3/1831第31页/共40页2023/3/1832第32页/共40页20
6、23/3/18334.4 洛朗级数第33页/共40页2023/3/1834 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是 f(z)的洛朗级数.根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.R1R2zrK1zRK2zz0第34页/共40页2023/3/1835解：函数 f(z)在圆环域 i)0|z|1;ii)1|z|2;iii)2|z|+内是处处解析的,应把 f(z)在 这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO2第35页/共40页2023/3/1836先把 f(z)用部分分式表示:ii)在1|z|2内：第36页/共40页2023/3/1837iii)在2|z|+内:第37页/共40页2023/3/1838例2 把函数解 因有第38页/共40页2023/3/1839第39页/共40页2023/3/1840感谢您的观看！第40页/共40页