9四章解析函数的级数表示.pdf

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1、1/12 第四章解读函数的级数表示 1.复数项级数一.复数序列的极限定义：设为一个复数序列，其中，又设为一个复定值.若使得有不等式恒成立，则称复数序列收敛于，或称以为极限，记作或.如果对于任意复数，上式均不成立，则称复数序列不收敛 或发散.定理 1 设，则定理 1 说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.2/12 二.复数项级数定义：设为一个复数序列，表达式称为 复数项无穷级数.如果它们的部分和序列有极限有限复数），则称级数是收敛的，S称为级数的和；如果没有极限，则称级数是发 散的.例1.当时，判断级数是否收敛？定理2级数收敛的充分必要条件是实数项级数与都收敛.定理 2 说明:可

2、将复级数的敛散性转化为判别两个实级数的敛散性.文档编码:CK10A6V10D2I8 HS3L7S8S3H5 ZM7Y3Z3N10J7文档编码:CK10A6V10D2I8 HS3L7S8S3H5 ZM7Y3Z3N10J7文档编码:CK10A6V10D2I8 HS3L7S8S3H5 ZM7Y3Z3N10J7文档编码:CK10A6V10D2I8 HS3L7S8S3H5 ZM7Y3Z3N10J7文档编码:CK10A6V10D2I8 HS3L7S8S3H5 ZM7Y3Z3N10J7文档编码:CK10A6V10D2I8 HS3L7S8S3H5 ZM7Y3Z3N10J7文档编码:CK10A6V10D2I8

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9、敛的必要条件）若级数收敛，则.显然，收敛级数的各项一定有界.定理 4 若级数收敛，则级数一定收敛.定义：若级数收敛，则称级数绝对收敛，若级数发散，而级数收敛，则称文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码

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16、U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U24/12 级数条件收敛.例2.判断下列级数的敛散性：1）；2）；文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5

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23、编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U28/12 幂级数的和函数在收敛圆内一定解读；(2 在收敛圆内，幂级数可以逐项积分 或 求 任 意 阶 导 数，所 得 到 的幂级数在该圆内也收敛，且相应的和函数即为对幂级数的和函数进行积分或求相应阶导数所得的结果.例6 求幂级数的和函数，并计算级数之值.3.泰勒级数定理6(泰勒定理 设函数在区域 D内解读，为D内的一点，设 R为到D的边界的距离，则当时，可展为幂级数文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 Z

24、Q8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3

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31、级数.根据 结论，解读函数在点可展成泰勒级数，其展开法分别是直接展开法 和间接展开法.直接展开法 是指由泰勒展开定理计算系数文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K1

32、0E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K

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36、O4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1

37、HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1

38、 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U210/12 间接展开法是指借助于一些已知函数的展开式,结合解读函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等 和其它数学技巧(代换等 ,求函数的泰勒展开式.例7将处展开为泰勒级数.例8.将处展开为泰勒级数.例9将在z=0的邻域展开.例10.求函数的邻域内的泰勒展开式.例11.例12.求函数在的邻域内的泰文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z

39、4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8

40、Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J

41、8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8

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43、8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 Z

44、Q8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3

45、ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U211/12 勒展开式.例13.将函数展开为的幂级数.例14.求对数函数 ln(1+z在 z=0处的泰勒展开式.例15.将函数展开为 z的幂级数.4.洛朗级数引例双边幂级数求函数的级数表示式.定理7。(2。(3内展开为洛朗级数.例 17.将函数在内展开为洛朗级数.例18.试求以z=i为中心的洛朗级数.文档编码:CE5V

46、5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5V5I10G7G1 HO4K10E4O9G3 ZQ8J8Z4T10U2文档编码:CE5

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