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1、第2页/共55页第1页/共55页受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。第3页/共55页第2页/共55页3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图直接计算直接计算1 1外力偶矩第4页/共55页第3页/共55页按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：已知已知轴转速轴转速n n 转转/分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me e第5页/共55页第4页/共55页例例3-2-1 传动轴如图所示，主动轮传动轴如图所示，主动轮A输入功率输入功率PA=50kW，从动，从动轮轮B、C、D
2、输出功率分别为输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转，轴的转速速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。，计算各轮上所受的外力偶矩。MAMBMCBCADMD解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩第6页/共55页第5页/共55页2 2扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图扭矩的正负号规定：扭矩的正负号规定：按右手螺旋按右手螺旋法则，法则，T矢量背离截面为正，指矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）线方向一致为正，反之为负）T称为截面n-n上的扭矩。用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T
3、为正，为正，如果由平衡方程得到如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭矩正的扭矩画在画在x x轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在x x轴下方。轴下方。注意MeMeMeTx第7页/共55页第6页/共55页第8页/共55页第7页/共55页扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT第9页/共55页第8页/共55页例例3-2-2 3-2-2 计算
4、例计算例3-2-13-2-1中所示轴的扭矩，并作扭矩图。中所示轴的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBCADMD解：已知解：已知477.5Nm955Nm637NmT+-作扭矩图如左图示。作扭矩图如左图示。第10页/共55页第9页/共55页例例3-2-3 3-2-3 已知：一传动轴，已知：一传动轴，n=300r/minn=300r/min，主动轮输入，主动轮输入 P P1 1=500kW=500kW，从动轮输出，从动轮输出 P P2 2=150kW=150kW，P P3 3=150kW=150kW，P P4 4=200kW=200kW，试绘，试绘制扭矩图。制扭矩图。解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩n
5、A B C Dm2 m3 m1 m4112233第11页/共55页第10页/共55页求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）第12页/共55页第11页/共55页绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37第13页/共55页第12页/共55页3-3 纯剪切薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚（r：为平均半径）1实验：实验：实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。一、薄壁圆筒扭转时的切应力 第14页/共55页第13页/共55页2 实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线
6、变成斜直线。3 结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。第15页/共55页第14页/共55页 acddxbdy 无正应力横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4 与与 的关系：的关系：微小矩形单元体如图所示：第16页/共55页第15页/共55页5 薄壁圆筒剪应力薄壁圆筒剪应力 大小：
7、大小：A：平均半径所作圆的面积。第17页/共55页第16页/共55页二、切应力互等定理：二、切应力互等定理：上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz第18页/共55页第17页/共55页三、切应变三、切应变 剪切胡克定律剪切胡克定律 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力
8、作用，这种应力状态称为力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。第19页/共55页第18页/共55页 T=m 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（时（p)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。第20页/共55页第19页/共55页式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确值可通过实验确定，钢材的定，钢材的G值约为值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性
9、质的剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。就可以推算出来。第21页/共55页第20页/共55页 1.横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。3-4 圆轴
10、扭转时的应力一、等直圆杆扭转实验观察：第22页/共55页第21页/共55页二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：变形几何关系：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与与到圆心的距离到圆心的距离 成正比。成正比。扭转角沿长度方向变扭转角沿长度方向变化率。化率。第23页/共55页第22页/共55页2.物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得：第24页/共55页第23页/共55页3.静力学关系：静力学关系：OdA令代入物理关系式 得：第25页/共55页第24页/共55页横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅
11、适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。直杆。式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。第26页/共55页第25页/共55页单位：mm4，m4。尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：DdO第27页/共55页第26页/共55页对于空心圆截面：dDOd第28页/共55页第27页/共55页 应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。第29页/共55页
12、第28页/共55页 确定最大剪应力：由知：当Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：第30页/共55页第29页/共55页 三、强度条件强度条件强度条件：，t t许用切应力；轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切纯剪切状态状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力t t与许用正应力 之间存在下述关系：对于塑性材料 t t(0.5一0.577)对于脆性材料，t t(0.81.0)l 式中，l代表许
13、用拉应力。第31页/共55页第30页/共55页强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：第32页/共55页第31页/共55页例3-4-1：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管，承受扭矩T=180 kNm。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。解：解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得(2)利用精确的扭转理论可求得利用精确的扭转理论可求得第33页/共55页第32页/共55页例3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍
14、保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一，面积增大一倍后内外径分别变为倍后内外径分别变为d1、D1，最大许可扭矩为最大许可扭矩为1第34页/共55页第33页/共55页例3-4-3：某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kNm，t t=100MPa，试校核轴的强度。解：计算截面参数：由强度条件：故轴的强度满足要求。第35页/共55页第34页/共55页同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：由上式
15、解出：d=46.9mm。若将空心轴改成实心轴，仍使，则第36页/共55页第35页/共55页例3-4-4：功率为150150kW，转速为15.415.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30=30M Pa,Pa,试校核其强度。Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。x第37页/共55页第36页/共55页3-5 圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式由公式知：长为知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为对于阶梯轴，两端面间相对扭转角对于阶梯轴，两端面间相对扭转角 为为第38页/共55页第37页/共55页二、单位扭转角二、单位扭转角
16、：或三、刚度条件三、刚度条件或GIp 抗扭刚度抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。第39页/共55页第38页/共55页刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：设计截面尺寸：计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。第40页/共55页第39页/共55页例3-5-1：图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC 作用，试计算该轴的总扭转角AC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。已知MA180Nm，MB320 N m，MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：1扭转变形分析
17、利用截面法，得利用截面法，得AB段、段、BC段的扭矩分别为：段的扭矩分别为：T1180 Nm，T2-140 Nm第41页/共55页第40页/共55页设其扭转角分别为设其扭转角分别为AB和和BC，则：，则：第42页/共55页第41页/共55页 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。由此得轴AC的总扭转角为 2 刚度校核 轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度符合要求。第43页/共55页第42页/共55页 例3-5-2：长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8=0.
18、8，G=80=80GPa ，许用剪应力 =30=30MPa，试设计杆的外径；若 =2=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。第44页/共55页第43页/共55页 由扭转刚度条件校核刚度解：设计杆的外径代入数值得：代入数值得：D 0.0226m。第45页/共55页第44页/共55页40NmxT右端面转角为：第46页/共55页第45页/共55页 例3-5-3：某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率N1=500 马力，输出功率分别 N2=200马力及 N3=300马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，=1/m ，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？若全轴选同一
19、直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？500400N1N3N2ACB第47页/共55页第46页/共55页解：解：图示状态下图示状态下,扭矩如图扭矩如图，由强度条件得：，由强度条件得：Tx7.024 4.21(kNm)第48页/共55页第47页/共55页 综上：综上：全轴选同一直径时全轴选同一直径时由刚度条件得：第49页/共55页第48页/共55页 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为7575mm。Tx 4.21(kNm)2.814第50页/共55页第49页/共55页一、有关概念：横截面发生翘曲，不再是平面横截面发生翘
20、曲，不再是平面自由扭转 两相邻横截面翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力，没有正应力TT横截面变形特点：约束扭转 非圆截面杆扭转时，由于端部有约束，使得各横截面翘曲程度不同的扭转。这时横截面上有切应力及正应力。第51页/共55页第50页/共55页1、横截面分布2、应力、应变计算公式发生于长边中点。（3.29）MeMe（3.26）（3.27）二、矩形截面杆扭转公式第52页/共55页第51页/共55页受扭：轴：受扭：轴：aad=1.13abh第53页/共55页第52页/共55页Any question?Any question?第54页/共55页第53页/共55页祝大家学习愉快!第55页/共55页第54页/共55页感谢您的观看！第55页/共55页