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1、数值分析数值积分第1页，本讲稿共46页数值积分引言数值积分引言计算定积分计算定积分q 微积分基本公式：微积分基本公式：(2)f(x)表达式未知表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表。，只有通过测量或实验得来的数据表。q 但是在许多实际计算问题中但是在许多实际计算问题中(1)f(x)表达式较复杂，表达式较复杂，原函数难求原函数难求！甚至有时不能用初！甚至有时不能用初等函数表示。如等函数表示。如此时需要利用此时需要利用数值方法数值方法来近似计算定积分。来近似计算定积分。第2页，本讲稿共46页数值积分的几何意义数值积分的几何意义第3页，本讲稿共46页数值求积的基本思想数值求积的基本思想依据积分中
2、值定理，对于连续函数依据积分中值定理，对于连续函数 f（x），在），在a，b内存在内存在一点一点，成立，成立 就就是是说说，底底为为 b-a 而而高高为为 f（）的的矩矩形形面面积积恰恰等等于于所所求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积 I.问问题题在在于于点点 的的具具体体位位置置一一般般是是不不知知道道的的，因因而而难难以以准准确确地地算算出出 f（）的的值值.我我们们称称 f（）为为区区间间 a，b上上的的平平均均高高度度.这这样样，只只要要对对平平均均高高度度 f（）提提供供一一种种算算法法，相应地便获得一种数值求积方法相应地便获得一种数值求积方法.第4页，本讲稿共46页数值求积的基本思想数
3、值求积的基本思想 分别用分别用 f(a)，f(b)和和 近似近似 f()可得可得左矩形公式左矩形公式右矩形公式右矩形公式中中矩形公式矩形公式第5页，本讲稿共46页求积公式的基本思想求积公式的基本思想 若用若用 f(a)和和 f(b)的算术平均值近似的算术平均值近似 f()，则可得则可得梯形公式梯形公式 若用若用 f(a),f(a+b/2)和和 f(b)的加权平均值近似的加权平均值近似 f()，则可则可得得辛甫生辛甫生公式公式第6页，本讲稿共46页一般求积公式一般求积公式q 更一般地，可以用更一般地，可以用 f(x)在在 a,b 上的一些离散点上的一些离散点上的值上的值加权平均加权平均作为作为
4、f()的近似值，从而构造出的近似值，从而构造出求积节点求积节点求积系数求积系数机械求积法机械求积法：求积系数仅仅与结点求积系数仅仅与结点xk的选取有关，而不依赖的选取有关，而不依赖于被积函数于被积函数f(x)的具体形式的具体形式第7页，本讲稿共46页机械求积的问题描述机械求积的问题描述n已知已知n+1个个x以及在这些以及在这些x上的函数值上的函数值n求解此函数在某个区间的积分值求解此函数在某个区间的积分值n如何衡量这个公式的好坏？如何衡量这个公式的好坏？第8页，本讲稿共46页代数精度代数精度定义定义如果对于所有次数不超过如果对于所有次数不超过 m 的多项式的多项式 f(x)，公式，公式精确成立
5、，但对于某一次数为精确成立，但对于某一次数为 m+1 的多项式不精确成立，的多项式不精确成立，则称该求积公式的代数精度为则称该求积公式的代数精度为 m 次。次。q 要要验证一个求积公式具有验证一个求积公式具有 m 次代数精度，只需验证对次代数精度，只需验证对 f(x)1,x,x2,xm 精确成立，但对精确成立，但对 f(x)xm+1 不精确成立即可，不精确成立即可，即：即：(k=0,1,m)第9页，本讲稿共46页已知：求积公式对于已知：求积公式对于xk（k=0，1，m）均能准确成立）均能准确成立求证：求积公式对于对于次数不超过求证：求积公式对于对于次数不超过m的多项式均能准确成立的多项式均能准
6、确成立证明：证明：由已知条件知由已知条件知（k=0，1，m）证明两种说法的等价性证明两种说法的等价性第10页，本讲稿共46页则即：求积公式对于对于次数不超过即：求积公式对于对于次数不超过m的多项式均能准确成立的多项式均能准确成立第11页，本讲稿共46页举例（一）举例（一）q 例：例：试确定系数试确定系数 i，使得下面的求积公式具有尽可能高，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。解：解：将将 f(x)1,x,x2 代入求积公式，使其精确成立得代入求积公式，使其精确成立得 解得解得 0=1/3,1=4/3,2=1/3，所以求积
7、公式为，所以求积公式为易验证该公式对易验证该公式对 f(x)x3 也精确成立，但对也精确成立，但对f(x)x4 不精确成不精确成立，所以此求积公式具有立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。次代数精度。第12页，本讲稿共46页矩形和梯形公式的代数精度矩形和梯形公式的代数精度q 容易容易验证：验证：左矩形公式左矩形公式 和和 右矩形公式右矩形公式 具有具有 零次零次 代数精度代数精度中矩形公式中矩形公式 和和 梯形公式梯形公式 具有具有 一次一次 代数精度代数精度q 特别地，特别地，具有具有 m(0)次代数精度的次代数精度的求积公式满足求积公式满足：辛甫生公式辛甫生公式具有具有 三次三次 代数精
8、度代数精度第13页，本讲稿共46页如何求解求积公式如何求解求积公式我们可以用代数精度作为标准来构造求积公式我们可以用代数精度作为标准来构造求积公式.譬如两点公式譬如两点公式式中含有两个待定参数式中含有两个待定参数 A0，A1，令它对于令它对于 f（x）=1，f（x）=x 准确成立，有准确成立，有第14页，本讲稿共46页解解之之得得 A0=A1=（b-a）/2.这这说说明明，形形如如（5）且且具具有有一一次次代代数数精精度度的的求求积积公公式式必必为为梯梯形形公公式式（1）.这这一一论断从几何角度来看是十分明显的论断从几何角度来看是十分明显的.如何求解求积公式如何求解求积公式第15页，本讲稿共4
9、6页如何求解求积公式如何求解求积公式第16页，本讲稿共46页如果求积节点并没有确定，则待定参数有几个如果求积节点并没有确定，则待定参数有几个？有2n+2个能够达到的代数精度是多少能够达到的代数精度是多少？2n+1个此时的方程为非线性方程此时的方程为非线性方程思考题思考题第17页，本讲稿共46页插值型求积公式插值型求积公式基本思想基本思想由已知的n+1个点以及在这n+1个点上的函数值，作拉格朗日插值，得到pn(x)则第18页，本讲稿共46页插值型求积公式插值型求积公式q 设设 f(x)在节点在节点 上的函数值为上的函数值为 f(xi)，作，作 n 次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式于是有于
10、是有其中其中 。插值型求积公式插值型求积公式q 误差：误差：第19页，本讲稿共46页插值型求积公式插值型求积公式由于由于 n 次拉格朗日插值对次拉格朗日插值对 f(x)1,x,x2,xn 精确成立，所精确成立，所以以 n 次插值型求积公式的代数精度至少为次插值型求积公式的代数精度至少为 n 次。次。q 代数精度：代数精度：反之，如果求积公式反之，如果求积公式 的代数精度至少为的代数精度至少为 n 次，则次，则它必定是插值型的。它必定是插值型的。简证简证：求积公式对拉格朗日插值基函数：求积公式对拉格朗日插值基函数 lk(x)精确成立，精确成立，即有即有定理定理 求积公式求积公式 至少具有至少具有
11、 n 次代次代数精度的充要条件是：它是插值型的。数精度的充要条件是：它是插值型的。第20页，本讲稿共46页结论定理 1 形如（4）的求积公式至少具有 n 次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的.问题：问题：（1）如何判定一个求积公式是插值型的？）如何判定一个求积公式是插值型的？（2）如何求作一个插值型的求积公式？）如何求作一个插值型的求积公式？第21页，本讲稿共46页例题1试检查下列求积公式的代数精度：解 直接检查易知，原式对于 准确成立，但当 时其左端=1/5，而右端=左右两端不相等，故所给求积公式仅有三阶精度。第22页，本讲稿共46页例题2试构造下列求积公式，使其代数精度尽量高，并证明所
12、构造出的求积公式是插值型的：第23页，本讲稿共46页例题2第24页，本讲稿共46页第25页，本讲稿共46页例题3构造下列形式的插值型求积公式，并指明该求积公式所具有的代数精度：第26页，本讲稿共46页第27页，本讲稿共46页第28页，本讲稿共46页求积公式的设计求积公式的设计 试设计求积公式 第29页，本讲稿共46页第30页，本讲稿共46页第31页，本讲稿共46页第32页，本讲稿共46页例题2第33页，本讲稿共46页第34页，本讲稿共46页第35页，本讲稿共46页例题3 试设计求积公式第36页，本讲稿共46页第37页，本讲稿共46页第38页，本讲稿共46页例题4试设计求积公式第39页，本讲稿共46页第40页，本讲稿共46页第41页，本讲稿共46页第42页，本讲稿共46页例题5试设计求积公式 第43页，本讲稿共46页第44页，本讲稿共46页第45页，本讲稿共46页第46页，本讲稿共46页