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1、1本章内容n 特征值基本性质特征值基本性质n 幂法与反幂法幂法与反幂法n 正交变换与矩阵分解正交变换与矩阵分解n QR 方法方法第1页/共22页2本讲内容n 特征值基本性质特征值基本性质n 幂法幂法n 幂法的加速幂法的加速n 反幂法反幂法第2页/共22页3特征值性质A x=x(C,x 0)l 性质性质(1)q 特征值与特征向量特征值与特征向量(2)(3)(4)若若 A 对称，则存在正交矩阵对称，则存在正交矩阵 Q，使得，使得第3页/共22页4圆盘定理定理定理：(Gerschgorin 圆盘定理圆盘定理)设设 是是 A 的特征值，则的特征值，则i=1,2,.,n设设 A=(aij)Rn n，记，
2、记Gerschgorin 圆盘圆盘若有若有 m 个圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这个圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这 m 个圆盘内恰好包含个圆盘内恰好包含 m 个特征值。个特征值。第4页/共22页5Rayleigh 商定理：定理：设设 A 是是 n 阶实对称矩阵，其特征值为阶实对称矩阵，其特征值为则对任意非零向量则对任意非零向量 x，有，有且且l 称为矩阵称为矩阵 A 关于关于 x 的的 Rayleigh 商商。第5页/共22页6(1)任取一个非零向量任取一个非零向量 v0，要求满足，要求满足(x1,v0)0(2)对对 k=1,2,.，直到收敛，计算直到收敛，计算 幂法l 计算
3、矩阵的计算矩阵的主特征值主特征值（按模最大）（按模最大）及其特征向量及其特征向量假设：假设：(1)|1|2|n|0(2)对应的对应的 n 个个线性无关线性无关特征向量为：特征向量为：x1,x2,.,xn计算过程：计算过程：q 幂法（乘幂法，幂迭代）幂法（乘幂法，幂迭代）第6页/共22页7幂法的收敛性l 收敛性分析收敛性分析设设越小，收敛越快越小，收敛越快第7页/共22页8幂法的收敛性当当 k 充分大时，有充分大时，有又又(j=1,2,.,n)vk 为为 1 的近似特征向量的近似特征向量第8页/共22页9幂法的收敛性定理：定理：设设 A 有有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足个线性无关的特
4、征向量，其特征值满足则由幂法生成的向量满足则由幂法生成的向量满足l 注：幂法的收敛速度取决于注：幂法的收敛速度取决于 的大小的大小第9页/共22页10幂法改进方法：改进方法：规范化规范化l 幂法中存在的问题幂法中存在的问题第10页/共22页11幂法l 1 的计算的计算第11页/共22页12改进的幂法定理：定理：设设 A 有有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足个线性无关的特征向量，其特征值满足则由改进的幂法生成的向量满足则由改进的幂法生成的向量满足(1)任取一个非零向量任取一个非零向量 v0，要求满足，要求满足(x1,v0)0(2)对对 k=1,2,.，直到收敛，计算直到收敛，计算 q 改
5、进的幂法改进的幂法第12页/共22页13举例例：例：用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量 第13页/共22页14幂法的加速幂法的收敛速度取决于幂法的收敛速度取决于 的大小的大小当当 r 接近于接近于 1 时，乘幂法收敛会很慢！时，乘幂法收敛会很慢！q 幂法的加速：幂法的加速：原点平移法原点平移法令令 B=A pI，则，则 B 的特征值为：的特征值为：i-p选择适当的选择适当的 p 满足：满足：(1)(j=2,.,n)(2)用幂法计算矩阵用幂法计算矩阵 B 的主特征值：的主特征值：1-p保持主特征值保持主特征值加快收敛速度加快收敛速
6、度带位移的幂法带位移的幂法第14页/共22页15举例例：例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量，取用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量，取 p=0.75 第15页/共22页16反幂法l 计算矩阵的计算矩阵的按模最小按模最小的特征值的特征值及其特征向量及其特征向量假设：假设：(1)|1|2|n-1|n|0q 反幂法反幂法(2)对应的对应的 n 个个线性无关线性无关特征向量为：特征向量为：x1,x2,.,xn A-1 的特征值为：的特征值为：对应的特征向量仍然为对应的特征向量仍然为 x1,x2,.,xnl 反幂法反幂法：对矩阵：对矩阵 A-1 使用幂法使用幂法第1
7、6页/共22页17反幂法定理：定理：设设 A 有有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足个线性无关的特征向量，其特征值满足则由反幂法生成的向量满足则由反幂法生成的向量满足(1)任取一个非零向量任取一个非零向量 v0，要求满足，要求满足(x1,v0)0(2)对对 k=1,2,.，直到收敛，计算直到收敛，计算 q 反幂法反幂法第17页/共22页18反幂法的加速反幂法的收敛速度取决于反幂法的收敛速度取决于 的大小的大小当当 r 接近于接近于 1 时，反乘幂法收敛会很慢！时，反乘幂法收敛会很慢！可以使用原点平移法对反幂法进行加速可以使用原点平移法对反幂法进行加速问题：问题：如何选择参数如何选择参数
8、p？离离 n 越近越好越近越好（但不能相等）（但不能相等）第18页/共22页19幂法的Rayleigh商加速定理设设 A 是是 n 阶实对称矩阵，其特征值为阶实对称矩阵，其特征值为对应的特征向量 x1,x2,.,xn 满足：，使用改进的乘幂法计算 A 的按模最大特征值 1 时，uk 的Rayleigh商给出了 1 的较好的近似，即证：第19页/共22页20Rayleigh 商加速q Rayleigh 商加速商加速(1)任取一个非零向量任取一个非零向量 v0，要求满足，要求满足(x1,v0)0(2)对对 k=1,2,.，直到收敛，计算直到收敛，计算 第20页/共22页21几点注记l 带位移的反幂法中需要计算带位移的反幂法中需要计算 l 带位移的反幂法可以用于计算任何一个特征值带位移的反幂法可以用于计算任何一个特征值 k将参数将参数 p 取为取为 k 附近附近l 若已知特征值，计算特征向量时，可使用带位移的反幂法若已知特征值，计算特征向量时，可使用带位移的反幂法令令 p 足够靠近足够靠近 k第21页/共22页22感谢您的观看。第22页/共22页