材料力学扭曲.pptx

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1、一、工程实例9-1 引 言汽车传动轴、转向盘轴；机床传动轴；攻螺纹丝锥；行车传动轴；船舶推进轴等。第1页/共34页O轴：工程中以扭转变形为主的构件。AOB BAf f二、特点受力：两端受一对大小相等、方向相反的外力偶作用，力偶作 用平面与杆轴线垂直；变形：各横截面绕杆轴线发生相对转动。扭转角f f：任意两横截面转过的角度。如：f fABMM第2页/共34页一、轴传递的功率、转速与外力偶矩之间的关系式中：P 功率，千瓦(kW)n 转速，转/分(r/min)M 外力偶矩，牛顿米(Nm)9-2 动力传递与扭矩可知：P 一定时，n ，M 工程实际中常已知轴传递的功率、转速，需换算成作用在轴上的外力偶矩

2、：如：一万吨轮，P=7060 kW，n=119 r/min，则：第3页/共34页mmx二、扭矩及扭矩图 T1.扭矩Mmm规定：按右手螺旋法则确定扭矩的符号：截面法：MM设横截面上的内力偶矩为T：S S Mx=0 T M=0 T=M 称 T 为扭矩，为横截面上内力的合力偶矩。2.扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线。第4页/共34页 B C A D例1 已知一传动轴，n=300 r/min，主动轮输入 PA=500 kW，从动轮输出 PB=150 kW，PC=150 kW，PD=200 kW，试绘 制轴的扭矩图。nMB MC MA MD解：(1)计算外力偶矩第5页/共34页 B C

3、 A DMB MC MA MD(2)各段扭矩n112233BC段：截面1-1 B11MBT1S S Mx=0 T1+MB=0 T1=MB=4.775 kNm CA段：截面2-2S S Mx=0 T2+MB+MC=0 T2=MB MC=9.55 kNm AD段：截面3-3S S Mx=0 T3 MD=0 T3=MD=6.336 kNm B C22T2MBMCD33T3MD第6页/共34页(3)绘制扭矩图 CA 段为危险截面：xT4.7759.556.336 B C A DMB MC MA MDBACD|T|max=9.55 kNm+-T1=4.775 kNm T2=9.55 kNm T3=6.3

4、36 kNm 第7页/共34页薄壁圆筒：R0：为圆筒平均半径。一、薄壁圆筒的扭转应力薄壁圆筒表面作圆周线，纵向线，形成小矩形。9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律薄壁圆筒的扭转实验：壁厚 d d R0/10第8页/共34页两端加外力偶矩 M，使薄壁圆筒产生扭转变形。(1)圆周线形状、大小、间距不变，仅绕轴线 相对转动；推知：实验现象：(2)纵向线倾斜了 角；(3)矩形abcd变成了平行 四边形abcd。(1)过半径的纵向截面上无正应力；(2)横截面上无正应力，只有切应力。abcdabcd第9页/共34页截面法：取横截面 m-m 分析 A0：为平均半径处圆的面积。圆周各点对称于圆心，沿圆周各点

5、切应力 相等，方向与半径垂直。d d R0，切应力 沿壁厚均布。横截面上各点切应力 相等，方 向与半径垂直。取微面积：dA=d d R0d d 微内力：dA=d d R0d 对圆心微力矩：dT=dAR0=d d R02d 合力偶矩即为横截面上的扭矩：dA第10页/共34页acdbdxdy 二、纯剪切与切应力互等定理取微小单元体 abcd：左、右侧面(横截面)：合力：d d dy其力偶矩：(d d dy)dx上、下底面(纵向截面)：合力：d d dx其力偶矩：(d d dx)dyS S Mz=0(d d dx)dy (d d dy)dx=0 =切应力互等定理：物体内通过任意一点的两相互垂直截面上

6、切 应力必成对存在，且数值相等，方向相反，两者都垂直于两截面的交线，方向同时指向 或背离这一交线。纯剪切应力状态：单元体无正应力，只受切应力作用。第11页/共34页acdbdxdy三、剪切胡克定律切应变 ：单元体直角的改变量。单位：rad(弧度)由试验可得 -曲线。可知：当 p 时，有 =G 称为剪切胡克定律。p：材料的剪切比例极限；G：材料的切变模量，单位：GPa钢 ：G=80 80 GPa对各向同性材料，有 O p在材料的三个弹性常数中，只要知道任意两个，就可以确定第三个。第12页/共34页一、扭转切应力的一般公式9-4 圆轴扭转横截面上的应力1.扭转试验研究变形几何关系目的：确定横截面上

7、各点应变 分布规律。圆轴扭转试验：薄壁圆筒表面作圆周线，纵向线，形成小矩形。实验现象：(1)圆周线绕轴线相对转动，但 形状、大小、间距不变；(2)纵向线仍为直线，但倾斜了 角；(3)矩形abcd变成了平行四边形abcd。第13页/共34页(1)横截面上无正应力；假设：轴的圆形横截面扭转变形后仍为同样的圆形平面，其半 径仍为直线。可知：(2)横截面上切应力方向与半径垂直。取截面1、截面2之间的微段dx 分析：横截面 2 相对截面 1 转过 df f；半径O2c 转到 O2c；纵向线 ac 倾斜了 角至 ac；表层单元体 abcd 发生剪切变形；abcdabcd变形几何关系：cc=R df f=d

8、x表层切应变：第14页/共34页在横截面上半径 处 e 点：同样有：ee=df f=dx e 点切应变：(a)扭转角 f f 沿轴线 x 的变化率，对给定的截面为一常量。横截面上切应变分布规律：横截面上任意点的切应变与该点半径成正比，方向与半径垂直。轴线上：=0，=0轴表层：=R，第15页/共34页2.物理关系剪切胡克定律小变形下为弹性变形，满足胡克定律：目的：由横截面上切应变分布规律确定切应力分布规律。(b)横截面上切应力分布规律：横截面上任意点的切应力与该点半径成正比，方向与半径垂直并与扭矩方向一致。即切应力沿半径呈线性分布。轴线上：=0，=0轴表层：=R，min第16页/共34页OdA3

9、.静力学关系令将(b)式代入(c)式得：目的：找横截面上扭矩与切应力之间关系，建立切应力计算公式。取微面积dA，距圆心为 ，切应力 微内力：dA对圆心微力矩：dT=dA 整个横截面上的内力矩即为扭矩 T：(c)称为横截面对形心O点的极惯性矩，仅与横截面的形状尺寸有关。为计算圆轴扭转变形的基本公式。第17页/共34页为计算圆轴横截面扭转切应力的基本公式。将代入(b)式，得：二、最大扭转切应力在圆轴表层：max=R，有最大切应力：令称为横截面的抗扭截面系数，单位：m3，mm3。可知：Wp，max Wp 代表截面的扭转强度。注意：公式适用于弹性变形范围内的圆截面直杆。第18页/共34页OD9-5 极

10、惯性矩与抗扭截面系数一、实心圆截面 d 取微面积：dA=2p p d，距圆心为 ，单位：m4，cm4，mm4。单位：m3，cm3，mm3。工程中近似可取：Wp=0.2D3第19页/共34页二、空心圆截面外径：D 内径：d可求得：DOd第20页/共34页一、扭转失效与扭转极限应力低碳钢试件：铸铁试件：9-6 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转试验：扭转试验机上进行。由试验可知：先发生屈服，产生较大的塑性变形，最后沿横截面断开。由试验可得扭转屈服极限：s变形很小，无屈服现象，最后沿与轴线约成45 的螺旋面断裂。由试验可得扭转强度极限：b第21页/共34页二、圆轴扭转时的强度条件材料的扭转许用切应力：强

11、度条件：对等截面圆轴：(1)强度校核(2)设计截面尺寸(3)确定许可载荷最大工作应力不超过材料的扭转许用切应力。对阶梯圆轴要分段考虑确定 max。圆轴扭转强度计算：由得：空心圆轴：由 Tmax MM P 第22页/共34页例2 功率为 150kW，转速为 924 r/min的电动机转子轴如图，材料许用切应力 =30 MPa。试校核其强度。1550 Nm解：(1)确定外力偶矩(3)校核强度 此轴满足强度要求。D3=135D2=75D1=70ABCMMTx(2)扭矩及扭矩图作扭矩图。第23页/共34页一、圆轴扭转时的变形由公式对同材料等截面圆轴，只在两端有外力偶作用时，T、Ip 不变：9-7 圆轴

12、扭转变形与刚度条件得：扭转角为圆轴扭转角计算公式。f f 单位：弧度(rad)。由上式可知：T、l 一定时，GIp，f f 称GIp 为圆轴截面的抗扭刚度。表示圆轴抵抗扭转变形的能力。第24页/共34页二、圆轴扭转刚度条件 ：rad/m，：/m对一般传动轴：=(0.51.0)/m当圆轴的 T、Ip 分段变化时：单位长度扭转角 ：在工程实际中，对轴类构件的扭转变形有一定限制，即要求有一定的扭转刚度。在工程上限制 ，使其不超过许用扭转角 ：对精密机械的轴：=(0.250.50)/m第25页/共34页三种类型的刚度计算：(1)校核轴的刚度(2)设计轴的直径(3)确定许可载荷按刚度条件确定轴直径时：由

13、得：空心轴：在同时按强度条件和刚度条件设计轴直径时，应选择其中较大的直径。第26页/共34页例3 例1中传动轴为钢制实心轴，许用切应力 =30 MPa，=0.3/m，G=80 Gpa。试按强度条件和刚度条件设计轴的直径 D。解：应先作出轴的扭矩图，确定Tmax，在例中完成。B C A DMB MC MA MDCA 段：|T|max=9.55 kNm。(1)强度条件(2)刚度条件 D 12.34 cm，圆整，取 D=12.5 cm 第27页/共34页例4 某汽车的主传动轴用40钢钢管制成，钢管外径，D=76 mm，壁厚 d d=2.5 mm，轴传递转矩 M=1.98 kNm。材料的许用切 应力

14、=100 MPa，G=80 GPa，轴 =2/m。试校核该轴的强度和刚度。解：(1)轴的扭矩M MT=M=1.98 kNm。(2)强度校核 满足强度要求。(3)刚度校核 满足刚度要求。第28页/共34页例5 如将例4中的空心轴改为同一材料的实心轴，且仍使 max=96.4 MPa。试确定实心轴的直径 d，并比较两者的重量。解：(1)确定实心轴的直径 dM M(2)比较两者的重量 两者的重量比空心轴：实心轴：第29页/共34页可知：此时在承载能力相同的条件下，空心轴的重量只为实心 轴的 1/3，比实心轴节省材料。为什么空心轴能节省材料呢？由扭转切应力分布图可知：在实心轴中靠近轴心处的切应力很小，

15、这部分材料没有充分发挥作用。若将这部分材料向外移，制成空心轴，使其承担较大的应力。同时材料离轴心远了，内力的力臂增大了，轴的抗扭能力更加增大。min在横截面面积相同时，由实心轴改为空心轴后，Ip、Wp 都大幅度增大，轴的强度和刚度都有较大提高。且节约材料，重量轻。空心圆截面是轴的合理截面，可提高扭 转强度和刚度，且节约材料，重量轻。在工程中空心圆轴有着较多的应用。但应注意壁厚太薄会发生局部失稳现象(皱折)。第30页/共34页例6 某传动轴转速 n=500 r/min，输入功率 P1=370 kW，输出 功率分别 P2=148 kW及 P3=222 kW。已知：G=80 GPa，=70 MPa，

16、=1/m。试确定：解：(1)外力偶矩、扭矩图7.066 4.24Tx(kNm)作扭矩图：500400ACBP1P3P2(1)AB 段直径 d1 和 BC 段直径 d2？(2)若全轴选同一直径，应为多少？(3)主动轮与从动轮如何安排合理？第31页/共34页7.066 4.24Tx(kNm)由强度条件：(2)AB 段直径 d1 和 BC 段直径 d2由刚度条件：取 AB段直径：d1=85 mm，BC段直径：d2=75 mm500400ACBP1P3P2第32页/共34页(3)若全轴选同一直径时 取：d=85 mm7.066 4.24Tx(kNm)(4)主动轮与从动轮如何安排合理500400ACBP1P3P2ACB500400P1P3P2 4.24Tx(kNm)2.826将主动轮A设置在从动轮之间：此时轴的扭矩图为：|T|max=4.24 kNm 轴的直径：d=75 mm较为合理。第33页/共34页感谢您的观看。第34页/共34页