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1、一元二次方程一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的应用把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程一般形式：ax+bx+c=0（a 0）直接开平方法：适应于形如（x-k）=h（h0）型 配方法：适应于任何一个一元二次方程公式法：适应于任何一个一元二次方程因式分解法：适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程第1页/共19页2.关于y的一元二次方程2y(y-3)=-4的一般形式是_,它的二次项系数是_,一次项是_,常数项是_2y2-6y+4=02-6y43.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a=2一、一元二次方程的概念1.判断下列方程是不是一元二次方程（1）4x-x+3 =
2、0 （2）3x-y-1=0 （3）ax+x+c=0 （4）x+1/x=0 注意：一元二次方程的注意：一元二次方程的 三个要素三个要素是不是不是不一定一元二次方程（关一元二次方程（关于于x）一般形式一般形式二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数项常数项3x-1=03x（x-2）=2（x-2）第2页/共19页 5x2-3 x=0 3x2-2=0 x2-4x=6 2x2-x-3=0 2x2+7x-7=0 2.引例：给下列方程选择较简便的方法（运用因式分解法）（运用直接开平方法）（运用配方法）（运用因式分解法）（运用公式法）第3页/共19页1、填空：x x2 2-3x+1=0 3x-3x+1=0
3、 3x2 2-1=0 -3t-1=0 -3t2 2+t=0+t=0 x x2 2-4x=2 2x-4x=2 2x2 2-3x+1=0 5(m+2)-3x+1=0 5(m+2)2 2=8=8 3y 3y2 2-y-1=0 2x-y-1=0 2x2 2+4x-1=0 2x+4x-1=0 2x2 2-5x-3=0-5x-3=0 适合运用直接开平方法 适合运用因式分解法 适合运用公式法 适合运用配方法 3x 3x2 2-1=0-1=0 5(m+2)5(m+2)2 2=8=8-3t-3t2 2+t=0+t=0 2x 2x2 2-3x+1=0-3x+1=0 2x 2x2 2-5x-3=0-5x-3=0 x
4、 x2 2-3x+1=0-3x+1=0 3y 3y2 2-y-1=0-y-1=0 2x 2x2 2+4x-1=0+4x-1=0 x x2 2-4x=2-4x=2 规律：一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用
5、“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）第4页/共19页巩固提高：1、若（m+2）x 2+（m-2）x-2=0是关于x的一元二次方程则m 。2、已知关于x的方程（m-1）x+（m-1）x-2m+1=0，当m 时是一元二次方程，当m=时是一元一次方程，当m=时，x=0。1 2-1第5页/共19页例题：用最好的方法求解下列方程1、（3x-2）-49=0 2、（3x-4）=（4x-3）3、4y=1-y解：（3x-2）=49 3x-2=7 x=x1=3，x2=-解：法一3x-4=（4x-3）3x-4=4x-3或3x-4=-4x+3-x=1或 7x=7 x1
6、=-1，x2=1法二（3x-4）-（4x-3）=0（3x-4+4x-3）（3x-4x+3）=0（7x-7）（-x-1）=0 7x-7=0或-x-1=0 x1=-1，x2=1 解：3y+8y-2=0 b-4ac=64-4 3（-2）=88X=第6页/共19页1.1.用因式分解法的用因式分解法的条件条件是是:方程左边能够方程左边能够 分解分解,而右边等于零而右边等于零;2.2.理论理论依据依据是是:如果两个因式的积等于零如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零那么至少有一个因式等于零.因式分解法解一元二次方程的一般因式分解法解一元二次方程的一般步骤步骤:一移一移-方程的右边方程的右边=0;
7、=0;二分二分-方程的左边因式分解方程的左边因式分解;三化三化-方程化为两个一元一次方程方程化为两个一元一次方程;四解四解-写出方程两个解写出方程两个解;第7页/共19页方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a0)第8页/共19页用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步骤:1.1.变形变形:把二次项系数化为把二次项系数化为1 12.2.移移项项:把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边;3.3.配配方方:方程两边都加上方程两边都加上一次项系数一次项系数 一半的平方一半的平方;4.4.用开平方法求解。用开平方法求解。第9页/共19页用用公式法公式法解一元二次方程的解
8、一元二次方程的前提前提是是:1.1.必需是一般形式的一元二次方程必需是一般形式的一元二次方程:ax ax2 2+bx+c=0(a0).+bx+c=0(a0).2.b2.b2 2-4ac0.4ac0.第10页/共19页请用四种方法解下列方程请用四种方法解下列方程:4(x 4(x1)1)2 2=9(2x=9(2x5)5)2 2先考虑开平方法先考虑开平方法,再用因式分解法再用因式分解法;最后才用公式法和配方法最后才用公式法和配方法;第11页/共19页选择适当的方法解下列方程:第12页/共19页例求证：关于x的方程：有两个不相等的实根。证明：所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。无论m取任
9、何实数都有：若已知条件改为“这个方程有实数根”，则a的取值范围是_a1/3练习.已知一元二次方程3x2-2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_a1/3第13页/共19页一元二次方程根的情况：一元二次方程根的情况：第14页/共19页阅读材料，解答问题 为了解方程（y-1）-3（y-1）+2=0，我们将y-1视为一个整体，解：设 y-1=a，则（y-1）=a，a-3a+2=0，（1）a1=1，a2=2。当a=1时，y-1=1，y=，当a=2时，y-1=2，y=所以y1=，y2=-y 3=y4=-解答问题：1、在由原方程得到方程（1）的过程中，利用了 ，法达到了降次的目的，体现了 的数
10、学思想。2、用上述方法解下列方程：第15页/共19页选择适当的方法解下列方程:第16页/共19页小结：ax2+c=0 =ax2+bx=0 =ax2+bx+c=0 =因式分解法公式法（配方法）2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。1、直接开平方法因式分解法第17页/共19页结束寄语配方法和公式法是解一元二次方程重要方法,要作为一种基本技能来掌握.一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.第18页/共19页感谢您的观看。第19页/共19页