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1、精品_精品资料_高中数学竞赛数列问题一、高考数列学问及方法应用见考纲二、二阶高次递推关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 因式分解降次.例：正项数列a n ,满意 21nn+1n后高次Snan1 ,求 an化异为同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2. 两边取对数降次.例：正项数列 a ,a =1,且 a a2 = 3 6,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、线性递推数列的特点方程法2定理 1：假设数列 a n 的递推关系为 an+2=1 an+1+2an,就设特点方程 x =1x+2,且此方程有相异两根 x1,x2x1 x2 ,就必有
2、annn=c1 x1 +c2x2 , 其 中 c1 , c2 由 此 数 列 已 知 前 2项 解 得 , 即a1c1 x1c 2 x 2xx22a2c11c22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0c1c2或由a1c1x 1c2 x 2得到.见训练及考试题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n定理 2： 假设方程 x =1x+2 有相等重根 x0,就有an=c1 +c2nx0 ,其中 c1,c2 仍由定理 1 方程组解得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如. ：1,已知. 数列 an通项公式满意 a1a 21, an 2an 1an nN ,求数
3、列 an的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2,. 数列an中,设 a1a 21, a32, 且 an 13anan1 n3 ,求数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 2an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3,. 数列 an满意： a01, an 17an45a 2n236, nN.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：1对任意 nN, an 为正整数. 2 求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
4、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4,已知 . 数列 an满意 a11,a22, nN 都有 an 24an 14an ,求数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 的通项公式四、特别递推的不动点法 f x= x 的解称为 f x的不动点 定理 1：假设数列 a n 满意递推： an+1=aan+b a,bR,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就设 x=ax+b,得不动点 xb且数列递推化为： a-x =aa -x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0n+10n0a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_进而用构造法
5、解得. 定理 2： 假设数列 a n 满意递推：a n 1a ancanb（ adbcd0）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就设axbx,得不动点 x1,x2,cxd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_造法解得.假设 x1x2,就原递推化为：an 1x1an 1x2ax1 can（ax 2canx 1）,再由构x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 x1=x2=x0,即有唯独不动点 x0 时,原递推可化为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1an 1x01anx 02c,再由构造法解得.ad可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
6、品资料_例如： 1,在数列 an中,假设 a1=1, an+1=2an+3 n 1, 求该数列的通项 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2,已知. 数列3,已知. 数列an满意： a1an满意： a11,an 11,an 13an 2anan 2 an8 ,求该数列的通项 an3n2 ,求该数列的通项 a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、递推构造法1. 假设数列递推满意a=k a +k2 ,留意构造变形为 a+A 2n+1= k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn+11 n2nn+11可编辑资
7、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2an +A2 ,绽开后与原递推相同,求出 A得值,再化为等比数列解决.2. 假设数列递推满意 an+1=k1 an+k2n +k3 n,留意构造变形为22an+1+An+1 +Bn+1+c = k 1an +An+Bn+c,绽开后与原递推相同而求出 A, B, C的值,再化为等比数列解决.3. 假设数列为 a=-3a +2n - n 了？n+1nn例如： 1,求全部 a0 R,使得由 an+1=2 -3a nn N所确定得数列 a0,a1,a2,是递增的.2,某运动会开了 n 天 n1 ,共发出 m枚奖牌：第一天发出 1 枚加上余下的 1 ,其次天发出
8、 2 枚加上余下的 1 .如此连续了 n1 天,第 n 天发出77n 枚.该运动会开了天,共发了枚奖牌.后注：以上方法相辅相成,不行孤立懂得,当条件不符合时不行随便应用. 例：假设不知 a1, a2 的确定值, an+2=2an+1+3an 都不行以用特点方程法.望大家结合数列其他讲义及考题仔细领悟.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列训练题12022 年广东卷在德国不莱梅举办的第48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干准“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就 一个乒乓球.第 2、3、4、堆最底层第一层分别按图 4 所示方式固定摆放 . 从第一层开头,每层
9、的小球自然垒放在下一层 之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f n表 示 第 n堆 的 乒 乓球 总 数 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 3. f n答案用 n 表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_示 .2. 2022年重庆卷 在数列 an 中,假设a1=1, an+1=2an+3n1, 就该数列的通项an=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 2022 年全国卷 II 函数 f x 19| xn| 的最小值为 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A190B171
10、C90D45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 2022 年全国卷 I 设an是公差为正数的等差数列,假设a1a2a315 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2a380 ,就 a11a12a13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A120B105C 90D 755. 2022 年江西卷已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,假设 OB a1 OAa200OC ,且 A、B、C 三点共线该直线不过原点 O,就 S200A100B. 101 C.200 D.201可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 2022 年辽宁卷在等比数列
11、是等比数列 , 就 Sn 等于an中,a12 , 前 n 项和为Sn , 假设数列 an1 也可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2n 12B3n C2nD3n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_72022 年山东卷已知 a =2,点 a ,a 在函数 f x= x2+2x 的图象上, 其中=1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2,3,1nn+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 证明数列 lg1+ an 是等比数列.（ 2） 设 Tn=1+ a1 1+ a2 1+ an ,求 Tn及数列 an的通项.可编辑资料 - - - 欢
12、迎下载精品_精品资料_（ 3） 记 bn=11anan,求 bn数列的前项和 Sn,并证明 Sn+223Tn=1.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 2 0 0 6 年 上海卷已知有穷数列 an 共有 2 k 项整数 k 2,首项 a1 2设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_该数列的前 n 项和为中常数 a 1Sn ,且an1 a1Sn 2 n 1,2, 2 k 1,其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求证：数列 an 是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22假设 a 2 2k1 ,数列 bn 满意bn 1 log n2
13、 a1a 2an n 1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 k ,求数列 bn 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3假设2中的数列 b 满意不等式 |b 3 | |b 3 | | b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 | |2b2 k n12223 | 4,求 k 的值22k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 2022 年全国卷 II 设数列 a 的前 n 项和为 S,且方程 x2 a x a 0nnnn有一根为 Sn 1, n 1, 2, 3,求 a1 ,a2. an的通项公式只须写出即可可编辑资料 - -
14、 - 欢迎下载精品_精品资料_10. 2022 年上海春卷已知数列a1 , a2 , a30 ,其中a1 , a2 , a10 是首项为 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公差为 1 的等差数列.a10 , a11, a20 是公差为 d 的等差数列.a20 , a21, a30 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公差为d 2 的等差数列 d0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1假设a2040 ,求 d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2试写出a30 关于 d 的关系式,并求a30 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下
15、载精品_精品资料_3续写已知数列,使得a30, a31, a40是公差为d 3 的等差数列,依次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同 2类似的问题2应当作为特例,并进行讨论,你能得到什么样的结论？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 2022 年广东卷已知公比为q0q1的无穷等比数列 an 各项的和为 9,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_无穷等比数列 a 2 n 各项的和为81 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 求数列 an 的首项a1 和公比 q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
16、品资料_ 对给定的kk1,2,3, n , 设T k 是首项为ak ,公差为2ak1的等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求数列T k 的前 10 项之和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 设 bi 为数列T i 的第 i 项, Snb1b2bn ,求Sn ,并求正整数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mm1 ,使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limnSn存在且不等于零 .m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 2022 年福建卷已知数列an 满意 a11,an 12an*1nN .可编辑资料 - -
17、- 欢迎下载精品_精品资料_I 求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II 证明： n1a1a2an.n* nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23a2a3an 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 2022 年安徽卷数列an 的前 n 项和为Sn ,已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1a1 , Sn2 an n 21 , n1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_写出Sn 与Sn1 的递推关系式n2 ,并求Sn 关于 n 的表达式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
18、_设 fxSn xn1, bf /ppR,求数列b的前 n 项和 T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnnn14. 2022 年全国卷 I 设数列 an的前n 项的和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S4 a12n 12 , n1,2,3,nn333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求首项a1 与通项 an .2nn3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Tn, n1,2,3,Sn,证明：Tii 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15 2022年 江 西 卷 已 知 数 列 an 满 足 ： a1 32, 且 an
19、 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3nan1（ n2, nN ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2an1 n1求数列 an的通项公式.an 1数列竞赛训练题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 数列an 中,设 an0, a11 且an2 36 ,求数列an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知. 数列an 满意 a11 , an2an 11n 21 n2 ,求数列an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
20、精品资料_3. 已知. 数列 an式满意 a1a 21, an 2an 1an nN ,求数列an 的通项公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知. 数列an 满意 a10, an 15an24a 21 ,求数列an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 数列公式an 中,设 a1a 21, 且an 22an 1an2 n n1 ,求数列an的通项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 数列an
21、 中,设 a1a 21, a32, 且 an 13anan1 n3 ,求数列an的通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 2项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 数列 an满意： anan 1an 2 n3 ,假如前 1492 项的和是 1985,而前 1985可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n项的和为 1492,求该数列的前 2022 项之和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知. 数列an 满意 an1n1nnn,求数列1an的前n 项和.可编辑资料 - - - 欢迎
22、下载精品_精品资料_参考答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.f310,f nnn1 n26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.a n=2n 13 .3. C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. Ba1a2a3153a215a25 , a1a2a380a2d a2 a2d80 ,将可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a25 代入,得 d选 B.3 ,从而a11a12a133a123 a210d3530105 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15.解：依题意, a1a2001,应选 A可编辑资料 - - - 欢迎下载
23、精品_精品资料_6. 【解析】因数列就an为等比,就 an2 qn,因数列 an1 也是等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a12a1a1a22aa aaaaa2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 12an1qnn 2n 12q0q1n 1nn 2nn 2nn 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1即an2 ,所以 Sn2n ,故挑选答案 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 2Tn32n, an32n 11 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9.解： 当 n1 时, x2a xa 0 有一根为 S
24、 1a 1,1111a21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是1 1 a1 a11 a10,解得 a1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 2 时, x2a xa 0 有一根为 S1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22a1 2122 2,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22于是2 a2 a2 a20,解得 a1 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 由题设 S 1 2a S1 a 0,nnnn2即Sn 2Sn1anSn 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 2 时, anSn Sn 1
25、,代入上式得Sn 1Sn2Sn10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 知 Sa1Sa a112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1由可得 S31 2, 21342263可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n由此猜想 S n, n 1, 2, 3,n 1下面用数学归纳法证明这个结论 i n1 时已知结论成立k1 ii 假设 nk 时结论成立,即 Skk ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 n k 1 时,由得 S,即 Sk1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1故 n k 1 时结论也成立2 Skk 1k2可编辑资料
26、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n综上,由 i 、 ii 可知 Snn1对全部正整数 n 都成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是当 n2 时, a SSnn11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn 1n 1nn n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 n 1 时,1a1 1,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an的通项公式 an n, n 1, 2, 3,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10.解 1a1010.a 201010d40,d3
27、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 a30a2010d 2210 1dd 2d0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3010d13,24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当d, 0 0, 时, a307.5,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3所给数列可推广为无穷数列a n ,其中a1 , a2 , a10 是首项为 1,公差为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 的等差数列,当 n1 时,数列a10n , a10n 1, a10 n1 是公差为d n 的等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
28、讨论的问题可以是：试写出a10 n1 关于 d 的关系式,并求a10 n1 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_讨论的结论可以是：由a 40a3010d 310 1dd 2d 3,1d n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依次类推可得a10 n 110 1dd n1010n,d1,1d1,d1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当d11.0 时,a10 n1 的取值范畴为 10, 等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a191qa13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 依题意可知 ,a2181q2可编辑资
29、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 由 知, an1q23235n 1, 所以数列3T 2的的首项为t1a 22 , 公差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d S102a 213 ,110210932155 , 即数列T 2 的前 10 项之和为 155.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ bi =aii1 2ai n1 = 2i1 aii 1i1 =3 2i123i1 ,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nS4518n272n n1 , lim Sn=lim4518n272n n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32nnmnn
30、mnm32nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m=2时, lim Sn = 1 ,当 m2时, limSn=0,所以 m=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnm2nnm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. I 解：an 12an1nN * ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 112 an1,an1 是以 a112 为首项, 2 为公比的等比数列.na12n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即an2*21nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II 证法一：4 k1 1 k2 1kn 1a
31、kn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 k1 k2 . kn n4.42nkn .n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2b1b22b1b2.bn bnnnbn,bn 1n1 n1bn 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,得2bn 11n1bn 1nbn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即n1bn 1nbn20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nbn 2n1bn 120.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,得nbn 22 nbn 1nbn0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 bn 22bn 1bn0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbbbnN * ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 2n 1n 1nbn是等差数列.证法二：同证法一,得n1bn 1nbn20令n1,得b12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设b22d dR,下面用数学归纳法证明bn2 n1) d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 n1, 2 时,等式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载