《2022年高中数学必修二直线与圆的综合问题 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学必修二直线与圆的综合问题 .docx（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_直线与圆一解答题共 10 小题1. 已知直线 x y+3=0 与圆心为 3,4的圆 C 相交,截得的弦长为 21求圆 C的方程.2设 Q 点的坐标为 2,3,且动点 M 到圆 C 的切线长与 | MQ| 的比值为常数kk 0假设动点 M 的轨迹是一条直线,试确定相应的k 值,并求出该直线的方程2. 已知直线 l： y=x+2 被圆 C：x 32+y22=r2r 0截得的弦 AB 的长等于该圆的半径1求圆 C的方程.2已知直线 m：y=x+n 被圆 C：x32 +y22=r2r 0截得的弦与圆心构成三角形CDE假设 CDE的面积有最大值,求出直线m： y=x+n 的方程.假设 C
2、DE的面积没有最大值,说明理由3. 已知 M 4, 0, N1,0,曲线 C上的任意一点P 满意：.=6| 求点 P 的轨迹方程. 过点 N1,0的直线与曲线C交于 A,B 两点,交 y 轴于 H 点,设=1,=2,试问 1+2是否为定值？假如是定值,恳求出这个定值.假如不是定值,请说明理由4. 已知动圆 P 与圆 F1 ：x+22+y2=49 相切,且与圆 F2 ：x 22+y2=1 相内切,记圆心P的轨迹为曲线 C 求曲线 C 的方程. 设 Q 为曲线 C上的一个不在 x 轴上的动点, O 为坐标原点,过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M, N 两个不同的点,求QMN 面积的最
3、大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知动圆 P 过定点且与圆 N：相切,记动圆圆心 P 的轨迹为曲线C 求曲线 C 的方程. 过点 D3,0且斜率不为零的直线交曲线C 于 A,B 两点,在 x 轴上是否存在定点Q,使得直线AQ, BQ的斜率之积为非零常数？假设存在,求出定点的坐标.假设不存在,请说明理由6. 如下图,在 ABC中, AB 的中点为 O,且 OA=1,点 D 在 AB 的延长线上,且固定边 AB,在平面内移动顶点 C,使得圆 M 与边 BC,边 AC 的延长线相切,并始终与AB 的延长线相切于点 D,记顶点C的轨迹为曲线以 AB 所在直线为 x 轴, O
4、为坐标原点如下图建立平面直角坐标系 求曲线 的方程. 设动直线 l 交曲线 于 E、F 两点,且以 EF为直径的圆经过点O,求 OEF面积的取值范畴7. 已知 ABC的顶点 A1, 0,点 B 在 x 轴上移动, | AB| =| AC| ,且 BC 的中点在 y 轴上 求 C 点的轨迹 的方程. 已知过 P0, 2的直线 l 交轨迹 于不同两点 M, N,求证： Q1,2与 M, N 两点连线 QM, QN 的斜率之积为定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知圆 M： x2+y2 +2y 7=0 和点 N0, 1,动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切,圆心 P 的轨迹
5、为曲线 E1求曲线 E 的方程.2点 A 是曲线 E与 x 轴正半轴的交点, 点 B、C 在曲线 E 上,假设直线 AB、AC的斜率 k1,k2,满意 k1k2=4, 求 ABC面积的最大值9. 已知过点 A0, 1且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：x 22+y32=1 交于点 M,N 两点1求 k 的取值范畴.2请问是否存在实数k 使得其中 O 为坐标原点,假如存在恳求出 k 的值,并求 | MN | . 假如不存在,请说明理由10. 已知 O 为坐标原点,抛物线C：y 2=nxn 0在第一象限内的点P2, t到焦点的距离为,C 在点 P 处的切线交 x 轴于点 Q,直线 l1 经过点 Q
6、 且垂直于 x 轴1求线段 OQ 的长.2设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2：x=my +b 交 C交点 A 和 B,交 l1 于点 E,假设直线 PA,PB 的斜率依次成等差数列,试问：l2 是否过定点？请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线与圆参考答案与试题解析一解答题共 10 小题1. 已知直线 x y+3=0 与圆心为 3,4的圆 C 相交,截得的弦长为 21求圆 C的方程.2设 Q 点的坐标为 2,3,且动点 M 到圆 C 的切线长与 | MQ| 的比值为常数kk 0假设动点 M 的轨迹是一条直线,试确定相应的k 值,并求出该直线的方程【分析】1求出圆心
7、C 到直线 l 的距离,利用截得的弦长为2求得半径的值,可得圆C 的方程.2设动点 Mx,y,就由题意可得=k,即=k,化简可得 k2 1.x2+k21.y2+6 4k2x+86k2y+13k2 9=0,假设动点 M 的轨迹方程是直线,就k 2 1=0, 即可得出结论【解答】 解：1圆心 C 到直线 l 的距离为=,截得的弦长为2,半径为 2,圆 C：x 32+y42=4.2设动点 M x, y,就由题意可得=k,即=k,化简可得k2 1.x2+k2 1.y2+64k2x+8 6k2y+13k2 21=0, 假设动点 M 的轨迹方程是直线,就k21=0, k=1,直线的方程为 x+y4=0【点
8、评】 本小题主要考查直线与圆的位置关系,弦长公式的应用,圆的一般式方程,属于中档题2. 已知直线 l： y=x+2 被圆 C：x 32+y22=r2r 0截得的弦 AB 的长等于该圆的半径1求圆 C的方程.2已知直线 m：y=x+n 被圆 C：x32 +y22=r2r 0截得的弦与圆心构成三角形CDE假设 CDE的面积有最大值,求出直线m： y=x+n 的方程.假设 CDE的面积没有最大值,说明理由【分析】1依据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆C的方程.2依据直线和圆相交的位置关系,结合CDE的面积公式即可得到结论【解答】 解：1设直线 l 与圆 C 交于 A, B两点直线 l
9、：y=x+2 被圆 C：x 32 +y 22=r2r0截得的弦长等于该圆的半径, CAB为正三角形,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角形的高等于边长的,圆心 C 到直线 l 的距离等于边长的直线方程为 xy+2=0,圆心的坐标为 3, 2,圆心到直线的距离 d=,r=,圆 C 的方程为：x32+y 22=62设圆心 C 到直线 m 的距离为 h, H 为 DE的中点,连结 CD,CH,CE 在 CDE中,DE=,=,当且仅当 h2=6h 2,即 h2=3,解得 h=时, CDE的面积最大CH=,| n+1| =,n=,存在 n 的值,使得 CDE的面积最大值为 3, 此时直线
10、 m 的方程为 y=x【点评】 此题主要考查直线和圆的位置关系的应用,依据弦长公式是解决此题的关键3. 已知 M 4, 0, N1,0,曲线 C上的任意一点P 满意：.=6| 求点 P 的轨迹方程. 过点 N1,0的直线与曲线C交于 A,B 两点,交 y 轴于 H 点,设=1,=2,试问 1+2是否为定值？假如是定值,恳求出这个定值.假如不是定值,请说明理由【分析】 求出向量的坐标,利用条件化简,即可求点P 的轨迹方程. 分类争论,利用=1,=2,结合韦达定理,即可得出结论【解答】 解： 设 Px,y,就= 3,0,=x4, y,=1x, y.=6| , 3 x 4+0y=6,化简得=1 为所
11、求点 P 的轨迹方程 .4 分 设 Ax1,y1, Bx2, y2当直线 l 与 x 轴不重合时,设直线 l 的方程为 x=my+1m 0,就 H0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而=x1, y1+,=1x1, y1,由=1得 x1,y1+=11x1, y1, 1=1+同理由得 2=1+, 1+2=2+由直线与椭圆方程联立,可得4+3m2y2+6my 9=0,y1+y2=, y1y 2=代入得 1+2=2+=,1+2=当直线 l 与 x 轴重合时, A 2,0,B2,0,H0, 0, 1=2=2,1+2=11 分综上, 1+2 为定值.12 分【点评】 此题考查轨迹方程,考
12、查向量学问的运用,考查直线与椭圆位置关系的运用,考查分类争论的数学思想,属于中档题4. 已知动圆 P 与圆 F1 ：x+22+y2=49 相切,且与圆 F2 ：x 22+y2=1 相内切,记圆心P的轨迹为曲线 C 求曲线 C 的方程. 设 Q 为曲线 C上的一个不在 x 轴上的动点, O 为坐标原点,过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M, N 两个不同的点,求QMN 面积的最大值【分析】I 由已知条件推导出 | PF1|+| PF2| =8 | F1F2| =6,从而得到圆心 P 的轨迹为以 F1,F2 为焦点的椭圆, 由此能求出圆心P 的轨迹 C的方程II由 MN OQ,知 QM
13、N 的面积 = OMN 的面积,由此能求出 QMN 的面积的最大值【解答】 解： 设圆 P 的半径为 R,圆心 P的坐标为 x,y,由于动圆 P 与圆 F1：x+22+y2 =49 相切,且与圆 F2：x22+y2=1 相内切,所以动圆 P 与圆 F1 只能内切 1 分所以| PF1|+| PF2| =7 R+R 1=6 | F1F2| =4 3 分所以圆心圆心 P 的轨迹为以 F1,F2 为焦点的椭圆,其中 2a=6,2c=4, a=3, c=2, b2=a2c2=5 所以曲线 C 的方程为=14 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 设 M x1, y1, Nx2, y2,
14、Qx3,y3,直线 MN 的方程为 x=my+2,由可得：5m 2+9y2+20my 25=0,就 y 1+y2 =, y1y2 = 5 分所以| MN | =7 分由于 MN OQ, QMN 的面积 =OMN 的面积,O 到直线 MN ：x=my+2 的距离 d= 9 分所以 QMN 的面积10 分令=t,就 m 2=t2 1t0,S=设,就由于 t 1,所以所以,在 1, +上单调递增所以当 t=1 时, ft取得最小值,其值为9 11 分所以 QMN 的面积的最大值为12 分【点评】 此题考查椭圆的标准方程、直线、圆、与椭圆等椭圆学问,考查推理论证才能、运算求解才能, 考查函数与方程思想
15、、化归与转化思想、数形结合思想等5. 已知动圆 P 过定点且与圆 N：相切,记动圆圆心 P 的轨迹为曲线C 求曲线 C 的方程. 过点 D3,0且斜率不为零的直线交曲线C 于 A,B 两点,在 x 轴上是否存在定点Q,使得直线AQ, BQ的斜率之积为非零常数？假设存在,求出定点的坐标.假设不存在,请说明理由【分析】 由题意可知丨PM 丨+丨 PN 丨=4丨 MN 丨=2,就 P 的轨迹 C 是以 M ,N 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,就 a=4, c=,b2=a2 c2=1,即可求得椭圆方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 将直线方程代入椭圆方程,考查韦达定理,直线的斜率公
16、式,当且仅当,解得 t= 2,代入即可求得,定点的坐标【解答】 解： 设动圆 P 的半径为 r,由 N：及,知点 M 在圆 N内,就有,从而丨 PM 丨+丨 PN 丨=4丨 MN 丨=2,P 的轨迹 C 是以 M ,N 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,设曲线 C 的方程为：ab 0,就 2a=4, a=4,c=,b2=a2c2=1故曲线 C 的轨迹方程为. 依题意可设直线 AB 的方程为 x=my+3,Ax1,y1,Bx2, y2,由,整理得：4+m2y2+6my+5=0,就 =36m2 45 4+m2 0,即 m 2 4,解得： m2 或 m 2,由 y 1+y2 =,y1y2=, x1+x2
17、=my1+y2+6=,x1x2=my1 +3my2+3=m2y1y2+m y 1+y2+9=,假设存在定点 Qt,0,使得直线 AQ,BQ 的斜率之积为非零常数,就x1 tx2t=x1x2 tx1+x2+t2= t+t 2=,kAQ.kBQ=.=,要使 kAQ.kBQ 为非零常数,当且仅当,解得 t=2,当 t=2 时,常数为=, 当 t= 2 时,常数为=,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在两个定点Q12, 0和 Q2 2, 0,使直线 AQ,BQ 的斜率之积为常数, 当定点为 Q12,0时,常数为.当定点为 Q2 2, 0时,常数为【点评】 此题考查椭圆标准方程及简洁几何
18、性质,椭圆的定义,考查直线与椭圆的位置关系,韦达定理, 直线的斜率公式,考查运算才能,属于中档题6. 如下图,在 ABC中, AB 的中点为 O,且 OA=1,点 D 在 AB 的延长线上,且固定边 AB,在平面内移动顶点 C,使得圆 M 与边 BC,边 AC 的延长线相切,并始终与AB 的延长线相切于点 D,记顶点C的轨迹为曲线以 AB 所在直线为 x 轴, O 为坐标原点如下图建立平面直角坐标系 求曲线 的方程. 设动直线 l 交曲线 于 E、F 两点,且以 EF为直径的圆经过点O,求 OEF面积的取值范畴【分析】 确定点 C 轨迹 是以 A,B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,且挖去长轴的
19、两个顶点,即可求曲线 的方程. 可设直线,进而表示面积, 即可求 OEF面积的取值范畴【解答】 解： 依题意得 AB=2,BD=1,设动圆 M 与边 AC 的延长线相切于 T1,与边 BC 相切于 T2,就AD=AT1, BD=BT2, CT1=CT2所以 AD+BD=AT1+BT2=AC+CT1+BT2=AC+CT1+CT2=AC+BC=AB+2BD=4 AB=22 分所以点 C 轨迹 是以 A,B 为焦点,长轴长为4 的椭圆,且挖去长轴的两个顶点就曲线的方程为 4 分 由于曲线 要挖去长轴两个顶点,所以直线OE, OF 斜率存在且不为0 ,所以可设直线5 分由得,同理可得：,.可编辑资料
20、- - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,又 OE OF,所以8 分令t=k 2+1,就t1且k 2=t1,所以=10 分又,所以,所以,所以,所以,所以 OEF面积的取值范畴为 12 分【点评】 此题考查轨迹方程,考查直线与椭圆位置关系的运用,考查三角形面积的运算,考查同学分析解决问题的才能,属于中档题7. 已知 ABC的顶点 A1, 0,点 B 在 x 轴上移动, | AB| =| AC| ,且 BC 的中点在 y 轴上 求 C 点的轨迹 的方程. 已知过 P0, 2的直线 l 交轨迹 于不同两点 M, N,求证： Q1,2与 M, N 两点连线 QM, QN 的斜率之积为定值【分析】 利
21、用直接法,求 C 点的轨迹 的方程. 设直线 l 的方程为 y=kx2,与抛物线方程联立,求出斜率,即可证明结论【解答】解： 设 Cx,yy 0,由于 B 在 x 轴上且 BC 中点在 y 轴上,所以 B x,0,由| AB| =| AC| , 得 x+12=x12+y2,化简得 y 2=4x,所以 C 点的轨迹 的方程为 y2=4xy 0 直线 l 的斜率明显存在且不为0,设直线 l 的方程为 y=kx 2, M x1, y1, Nx2, y2,由得 ky2 4y8=0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所 以, 同 理,所以 Q1, 2与 M ,N 两点连线的斜率之积为定值4
22、【点评】 此题考查轨迹方程,考查直线与抛物线位置关系的运用,考查同学的运算才能,属于中档题8. 已知圆 M： x2+y2 +2y 7=0 和点 N0, 1,动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切,圆心 P 的轨迹为曲线 E1求曲线 E 的方程.2点 A 是曲线 E与 x 轴正半轴的交点, 点 B、C 在曲线 E 上,假设直线 AB、AC的斜率 k1,k2,满意 k1k2=4, 求 ABC面积的最大值【分析】1利用圆与圆的位置关系,得出曲线E 是 M, N 为焦点,长轴长为的椭圆,即可求曲线E的方程.2联立方程组得 1+2t2 y2+4mty +2m2 2=0,利用韦达定理,结合k1k2 =4,
23、得出直线BC 过定点 3, 0,表示出面积,即可求ABC面积的最大值【解答】 解：1圆 M ： x2+y2+2y 7=0 的圆心为 M0, 1,半径为点 N0, 1在圆 M 内,由于动圆P 经过点 N 且与圆 M 相切,所以动圆 P 与圆 M 内切设动圆 P半径为 r,就r=| PM| 由于动圆 P 经过点 N,所以 r=| PN| ,| MN| , 所以曲线 E 是 M, N 为焦点,长轴长为的椭圆由,得 b2=21=1,所以曲线 E 的方程为4 分 直线 BC斜率为 0 时,不合题意设 Bx1 ,y1 , Cx2, y2,直线 BC：x=ty+m ,联立方程组得 1+2t 2y2+4mty
24、 +2m2 2=0,又 k 1k2=4,知 y1y2 =4x1 1x2 1=4ty1+m 1ty2+m1=代入得又 m 1,化简得 m+114t 2 =2 4mt 2+2m 11+2t 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 m=3,故直线 BC 过定点 3, 08 分由0,解得t24,=当且仅当时取等号综上, ABC面积的最大值为12 分【点评】 此题考查圆与圆的位置关系,考查椭圆的定义与方程,考查直线与椭圆位置关系的运用,考查韦达定理,属于中档题9. 已知过点 A0, 1且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：x 22+y32=1 交于点 M,N 两点1求 k 的取值范畴.2
25、请问是否存在实数k 使得其中 O 为坐标原点,假如存在恳求出 k 的值,并求 | MN | . 假如不存在,请说明理由【分析】1设出直线方程,利用直线与圆的位置关系,列出不等式求解即可2设出 M,N 的坐标, 利用直线与圆的方程联立, 通过韦达定理, 结合向量的数量积, 求出直线的斜率, 然后判定直线与圆的位置关系求解| MN| 即可【解答】 解：1由题设,可知直线l 的方程为 y=kx+1,由于直线 l 与圆 C交于两点,由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标 2,3,半径 R=1 故由 1,解得： k所以 k 的取值范畴为得,2设 M x1,y1,Nx2,y2将 y=kx+1 代入方程：x
26、22+y 32=1, 整理得 1+k2x2 41+kx+7=0所以 x1+x2=,x1x2 =,.=x1x2+y1y2=1+k2x1x2+k x1+x2+1=12, 解得 k=1,所以直线 l 的方程为 y=x+1故圆心 C 在直线 l 上,所以 | MN | =2【点评】 此题主要考查直线和圆的位置关系的应用,以及直线和圆相交的弦长公式的运算,考查同学的运算才能,是中档题10. 已知 O 为坐标原点,抛物线C：y 2=nxn 0在第一象限内的点P2, t到焦点的距离为,C 在点 P 处的切线交 x 轴于点 Q,直线 l1 经过点 Q 且垂直于 x 轴1求线段 OQ 的长.可编辑资料 - -
27、- 欢迎下载精品_精品资料_2设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2：x=my +b 交 C交点 A 和 B,交 l1 于点 E,假设直线 PA,PB 的斜率依次成等差数列,试问：l2 是否过定点？请说明理由【分析】1先求出 p 的值,然后求出在第一象限的函数,结合函数的导数的几何意义求出N 的坐标即可求线段 OQ 的长.2联立直线和抛物线方程进行消元,转化为关于y 的一元二次方程,依据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可【解答】 解： 由抛物线y2=nxn 0在第一象限内的点P2, t到焦点的距离为,得 2+=, n=2,抛物线 C 的方程为y 2=2x, P2, 22
28、分C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=,就 y=,故 C 在点 P 处的切线斜率为,切线的方程为 y2=x2,令 y=0 得 x=2,所以点 Q 的坐标为 2,0故线段 OQ 的长为 2 l2 恒过定点 2, 0,理由如下：5 分由题意可知 l 1的方程为 x= 2,由于 l2 与 l1 相交,故 m 0由 l 2： x=my+b,令 x= 2,得 y=,故 E 2,设 Ax1,y1,Bx2,y2由消去 x 得： y2 2my 2b=0就 y 1+y2 =2m,y1y2= 2b7 分直线 PA的斜率为,同理直线 PB 的斜率为,直线 PE的斜率为由于直线 PA,PE,PB 的斜率依次成等差数列,所以+=210 分整理得：=,由于 l2 不经过点 Q,所以 b 2, 所以 2mb+2=2m,即 b=2故 l 2的方程为 x=my+2,即 l2 恒过定点 2, 0 12 分【点评】 此题主要考查直线和抛物线的位置关系,利用直线和抛物线方程,转化为一元二次方程,结合韦达定理,利用设而不求的思想是解决此题的关键可编辑资料 - - - 欢迎下载