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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载专题十：数列的极限与函数的导数【考点注视】极限与导数作为初等数学与高等数学的连接点,新课程卷每年必考,主要考查极限与导 数的求法及简洁应用；纵观近年来的全国卷与各省市的试卷,试题呈“ 一小一大” 的布局,“ 小题” 在挑选、填空题中显现时,都属简洁题；“ 大题” 在解答题中显现时,极限通常与其 它数学内容联系而构成组合题,主要考查极限思想与方法的敏捷应用才能；导数的考查常给 出一个含参的函数或应用建模,通过求导、 分析函数的单调性与最值,考查“ 数形结合”、“ 分 类争论”等数学思想方法的综合运用才能；从 20XX年各地的高考
2、试卷看,考生在备考时, 应 从以下考点夯实基础,做到以不变应万变：（1）从数列或函数的变化趋势明白极限概念,懂得三个基本极限：1lim nccc是常数） ,2lim n10,3nlimqn0|q|1 . n2 明确极限四就运算法就的适用条件与范畴,会求某些数列和函数的极限；（3）明白函数连续的意义,懂得闭区间上连续函数有最大值和最小值；（4）明白导数的概念,把握函数在一点处的导数定义,懂得导函数的概念；（5）熟记八个基本导数公式,把握求导的四就运算法就,懂得复合函数的求导法就,会求简洁函数的导数；（6）把握导数的几何意义与物理意义,懂得可导函数的单调性、极值与导数的关系,强化用导数解决实际问题
3、的才能；【疑难点拨】：1,极限的四就运算法就,只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用；对 0 、 0 型的函数或数列的极限,一般要先变形或化简再运用法就求极限；0例如（ 20XX 年辽宁, 14）lim x xx cos x= 【分析】这是 0 型,需因式分解将分母中的零因子消去,故0 lim x xx cos x= lim x x cos x = 2；2,极限的运算法就仅可以推广到有限个数列或函数,对于无穷项的和或积必需先求和或积再求极限；商的极限法就,必需分母的极限不为零时才适用；例如：名师归纳总结 （20XX年广东 ,4 ）lim nn11n21n31 +2 n1s2 n 的值为 （
4、）第 1 页,共 7 页n1n1（ A ）-1 （ B ）0 （ C ）1（ D ）1 22 n12 n=n11,原【分析】这是求无穷项的和,应先求前2 项的和再求极限n1n1式=lim nnn 1=-1 ,应选A ；1a 1q及重要应用； 例如（ 20XX 3 ,无穷等比数列的公比q ,当| q |1 时,各项的和- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 年上海,4）设等比数列an（nN学习必备q欢迎下载lim na 1a3a 5a2n1=8 ,3）的公比1 2,且就 a 1【 分 析 】数 列 a 2n 1 是 首 项 为 a 1, 公 比 是 q 2 1
5、的 等 比 数 列 ,4limn a 1 a 3 a 5 a 2 n 1 =1 a 1q 2 = 8 ,解得3 a =2； 4 ,当且仅当x limx 0 f xx limx o f x a 时,xlim ox f x a,x x 0 时 f x 可有定义也可无定义；例如以下命题正确选项 2 A 如 f x x 1 ,就 lim x 1 f x 0, B 如 f x xx 22 x,就x lim 2 f x 2,C 如f x 1x ,就 lim x f x 0, D 如 f x x x1 xx 00 ,就 lim x 0 f x 0；【分析】 A 中 x 1 无定义,（ C ）中 x 无定义,
6、而 D lim f x 0,x 0lim f x 1,故 B 是正确的；x 05,函数 f x 在 x 0x 处连续是指 lim x x 0 f x f x 0,留意：有极限是连续的必要条件,连续是有极限的充分条件；6,导数的概念要能紧扣定义,用模型说明,记住典型反例；例如y| x|在（ 0 , 0 ）处的导数存在吗？为什么？【分析】lim x 0|0| xx|0|lim x 0|x|1,lim x 0|0x|0|yxxxlim x 0|x|1|在（ 0 , 0 ）处的导数不存在；x7,导数的求法要娴熟、精确,须明确（3）有时要回到定义中求导；1）先化简,再求导, （2）复合函数敏捷处理,8,
7、导数的几何意义是曲线切线的斜率,物理意义是因变量对自变量的变化率；导数的应用应尽可能全面、深化,留意把握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、 函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似运算问题、实际应用题；【经典题例】【例】求以下数列的极限：名师归纳总结 （）lim nlgn1lga10n3；（）lim ncosnsinnn（0；2）；第 2 页,共 7 页n cossinn（）lim n1 n1 12 a13 a 1n1a nnn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）已知a0,数列 a 满意a 1学习必备n1欢迎下载1
8、,如 a 的极限存在且大于零,求a,aaanlim nan的值；【例】求以下函数的极限：（1）lim x 4 12x2132（2）lim x 2cosxxx21cosx 2x2sin2（3）lim x 11x13（4）lim xxx21x【例】求以下函数的导函数：名师归纳总结 （）fxexcosxsinx；（）fxcos2ln2x ；0；第 3 页,共 7 页（）fxlgxxx2；（）已知fx 3x3x2|x|,求f1【例】设an1qq2qn1（nN,q21）,A n（C n 1a 1+ C2a2C3a3Cnan）；（）用 q 和 n 表示A ；（）当3q1时,nnnma,b 求lim nA
9、n的值；（）在（）的条件下,求lim x 031qx1的取值范畴；2nx【例】过点（2,0）,求与曲线y2xx3相切的直线方程；【例】（2004 全国卷二, 22）已知函数fxln1xx,gxxlnx；（）求函数fx 的最大值；（）设0ab,证明0ga g b 2ga2bba ln2；【例】（2004 广东卷, 21）设函数fx=xlnxm,其中常数 m 为整数；（）当 m 为何值时,fx0；（）定理：如函数gx在a,b 上连续,且ga与gb异号,就至少存在一点x 0使g0x0；试用上述定理证明：当整数m1时,方程fx=0,在 emm ,e2m- - - - - - -精选学习资料 - - -
10、 - - - - - - 学习必备 欢迎下载内有两个实根；【例】溶液自深18cm ,顶直径12cm 的圆锥形漏斗中漏入始终径为10cm 的圆柱形容器中,开头时漏斗中盛满水,已知当溶液在漏斗中之深为 1 cm min ,问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少？【热身冲刺】一、挑选题：12cm 时,其水平下落的速度为1 、 下 列 数 列 极 限 为1的 是 （） Alim mm1 n；Blim nm1 n；）mmDlim n11en；Clim n1n 0 . 9999 n；nn22、已知lim x 1x22x255 6,就常数 a 的值为 （ax26C26D26； A 5（ B ）655513、
11、lim x 131xlne1x 的值是 （）的图象最有可 A0B1 CeD 不存在；4、如fx 31x1x1 且x0 在点x0处连续,就 a（1x a1x0 A 3B2C0D 1235、如fx1 为偶函数,且f1 存在,就f1 （ A ）0 BxC 1 D -1 ；6、设f x 是函数fx的导函数,yfx的图象如下列图,就yf x 能的是 （）y 名师归纳总结 0 1 y y x y x y x 第 4 页,共 7 页2 0 1 2 x 0 1 2 1 2 0 1 2 A C B D A B C D - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7、函数fx ax
12、3x1学习必备欢迎下载）有极值的充要条件是 （ A ）.a 0 B a 0 C a 0（ D ）a 08、 2004 江苏卷,10 函数 f x x 3 3 x 1 在区间 -3 , 0 上的最大值、最小值分别是 （）（A）1,-1 （B）1,-17 （ C）3,-17 （ D）9,-19 9 、f x 、g x 分 别 是 定 义 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ； 当 x 0 时 ,f x g x f x g x 0,且 f 3 0,就不等式 f x g x 0 的解集是（）（ A ）（-3 , 0）（3,）B ,3 0 0 , 3 （ C ） , 3 3 , D , 3 0 3,
13、 310、三次函数 f x = x 3 bx 3 b 在1 ,2 内恒为正值的充要条件为 （）（ A ）1 b 2 B b 0 C 1 b 2 D b 9；4二、填空题：11、曲线 y 2 1 x 2与 y 1 x 32 在交点处的切线夹角是（以弧度数作答） ；2 412、f x a,就 lim f x 2 x f x ；x 0 x13、已知 f x 是 x 的一个三次多项式,如 lim x 2 x f x2 = lim x 4 x f x4 =1,就 lim f x = x 3 x 314、如图,P 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P 的左下端剪去一个半径为 1 的半圆后得2图形 P ,
14、然后剪去更小的半圆（其直径为前一被剪掉半圆的半径）得图形 P ,P , ,P , ,记纸板 P 的面积为 S ,就 lim n S n = P 1 P 2 3P P 4三、解答题：名师归纳总结 15、已知函数fx在定义域 R上可导, 设点 P 是函数 yfx 的图象上距离原点0 最近的第 5 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点；（）如点 P 的坐标为a,fa,求证：afafa =0；fx的图象上的图象不经过坐标原点0,证明直线 OP 与函数 y（）如函数yfx过 P 点的切线相互垂直；16、证明：（1）当x1时,2x3
15、1；1ex；x（2）当a2ax0,x0时,x217、已知函数fxax3bx2x3x在1处取得极值；（）争论f 1 和f1 是函数ffx的极大值仍是微小值；的全部正数 x 从小到大排成数列（）过点A0 , 16作曲线yx的切线,求此切线方程；18、已知函数fx excosxsinx ,将满意fx0名师归纳总结 nx fxn 为等比数列；lim ns 1s 2ns n第 6 页,共 7 页（）证明：数列（）记ns 是数列 xnfxn 的前 n 项和,求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 19、fx是定义在 0 ,1 上的增函数,学习必备2欢迎下载1,1i,1 ,2上,fxfx且在每个区间22ii 21y f x 的图象都是斜率为同一常数 k 的直线的一部分；（）求 f 0 及 f 12 f 14 的值,并归纳出 f 2 1i i ,1 2 的表达式；（）设直线 x 1i、x 1i 1、 x 轴及 y f x 的图象围成的梯形的面积为2 220、已知函数 f x ln e x a a 0 （）求函数yf x 的反函数fa1 x及fx的导数fx；fx0成立, 求实数 m（） 假设对任意xln3a,lnmfx|+ln4,不等式 |的取值范畴；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页