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1、德明教育辅导中心德明专线：E-mail：demingedu163 专题十：数列的极限与函数的导数【考点审视】极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、 分析函数的单调性与最值，考查“数形结合” 、 “分类讨论” 等数学思想方法的综合运用能力。从 2004 年各地的高考试卷看，考生在备考
2、时，应从以下考点夯实基础，做到以不变应万变：1从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限：1)cccn(lim是常数 ,2)01limnn,3)nlim)1|(|0qqn. (2) 明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。3了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。4了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。5熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。6掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。【疑难点拨】：1， 极限的
3、四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对00、?0型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如 2004 年辽宁， 14xxxxcos)(lim= 【分析】这是00型，需因式分解将分母中的零因子消去，故xxxxcos)(lim=xxxcos)(lim=2。2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：2004 年广东 ,4 131211(limnnnn+12112nnnn ) 的值为A-1 B0 C21D1 【分析】这是求无穷项的和，应先求前n2项的和再求极限12
4、112nnnn=11n，原式=)1(limnnn=-1，故选)(A。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页德明教育辅导中心德明专线：E-mail：demingedu163 3 ，无穷等比数列的公比q，当|q|1 时，各项的和qas11及重要应用。 例如 2004年上海，4 设等比数列naNn 的公比21q， 且)(lim12531nnaaaa=38，则1a【 分 析 】数 列12na是 首 项 为1a， 公 比 是412q的 等 比 数 列 ，)(lim12531nnaaaa=211qa=38，解得1a=2。 4 ，当且
5、仅当axfxfoxxxxlimlim0时，axfoxxlim，0 xx时xf可有定义也可无定义。例如以下命题正确的选项是( )(A)假设1xxf,则0lim1xfx，B假设222xxxxf,则2lim2xfx，)(C假设xxf1,则0limxfx， (D) 假设)0(1)0()(xxxxxf,则0)(lim0 xfx。【分析】(A)中1x无定义，C中x无定义，而(D) 0)(lim0 xfx，1)(lim0 xfx，故B是正确的。5，函数xf在0 xx处连续是指00limxfxfxx，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例
6、如| xy在0，0处的导数存在吗？为什么？【分析】1|lim|0|0|lim00 xxxxxx，xxx|0|0|lim01|lim0 xxx| xy在0，0处的导数不存在。7，导数的求法要熟练、准确，须明确1先化简，再求导， 2复合函数灵活处理，3有时要回到定义中求导。8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、 函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。【经典题例】【例】求以下数列的极限：精选学习资料 - - - - - - - - - 名
7、师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页德明教育辅导中心德明专线：E-mail：demingedu163 )310(limnlnlggn； nnnnnsincossincoslim20 ；)11()31 ()21()1 (1 1limannnananann；已知0a，数列 na 满足nnaaaaa1,11，假设 na的极限存在且大于零，求nnalim的值。【例】求以下函数的极限：122312lim4xxx22sin2coscoslim2xxxx3)1311(lim21xxx4)11(lim22xxxx【例】求以下函数的导函数：)(xf)sin(cosxxex；)(xf)2(
8、lncos2x；)(xf21lgxxx；已知)(xf|323xxx，求)0(f。【例】设121nnqqqa1,2qNn ，nA11aCn+ nnnnnaCaCaC3322 。 用q和n表示nA； 当13q时，求nnnA2lim的值；在的条件下，求xqxx11lim30的取值范围。【例】过点2，0 ，求与曲线32xxy相切的直线方程。【例】2004 全国卷二， 22已知函数xxxf)1ln()(，xxxgln)(。求函数)(xf的最大值；设ba0，证明2ln)()2(2)()(0abbagbgag。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3
9、页，共 7 页德明教育辅导中心德明专线：E-mail：demingedu163 【例】2004 广东卷， 21设函数)(xf=)ln(mxx，其中常数m为整数。当m为何值时，)(xf0；定理：假设函数)(xg在 ba, 上连续，且)(ag与)(bg异号，则至少存在一点),(0bax使0)(0 xg。 试 用 上 述 定 理 证 明 ： 当 整 数1m时 ， 方 程)(xf=0， 在mememm2, 内有两个实根。【例】溶液自深18cm，顶直径12cm的圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满水，已知当溶液在漏斗中之深为12cm时，其水平下落的速度为1cmmin，问此时圆
10、柱形容器中水面上升的速度是多少？【热身冲刺】一、选择题：1 、 以 下 数 列 极 限 为1的 是 )(Anmmm)1(lim；)(Bnnmm)1(lim；nnnC)9999.0() 1(lim)(；)11(lim)(2nnennD。2、已知65252lim221axxxx，则常数a的值为65)(AB56526)(C526)(D；3、)1ln(3lim111xexx 的值是0)(A1 )(BeC)()(D不存在；4、假设)0()01(1111)(3xaxxxxxf且在点0 x处连续，则a23)(A32)(B0)(C1)(D5、假设)1(xf为偶函数，且)1(f存在，则)1(fA0 )(Bx)(
11、C 1 )(D-1 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页德明教育辅导中心德明专线：E-mail：demingedu163 6、设)(xf是函数)(xf的导函数，)(xfy的图象如下图，则)(xfy的图象最有可能的是 (A) (B) (C) (D) 7、函数1)(3xaxxf有极值的充要条件是A0. a0)(aB0)(aCD0a8、 (2004江苏卷，10) 函数13)(3xxxf在区间 -3 ， 0 上的最大值、最小值分别是A1,-1 B1,-17 C3,-17 D 9,-19 9 、)(xf、)(xg分 别 是 定
12、 义R上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 。 当0 x时 ，0)()()()(xgxfxgxf，且0)3(f，则不等式0)()(xgxf的解集是A -3， 03，)3,0()0, 3)(BC),3()3,()3 ,0()3,)(D10、三次函数)(xf=bbxx333在1 ，2 内恒为正值的充要条件为A21b)(B0b)(C21b)(D49b；二、填空题：11、曲线2212xy与2413xy在交点处的切线夹角是以弧度数作答 ；12、axf)(，则xxfxxfx)()2(lim0；13、已知)(xf是x的一个三次多项式，假设2)(lim2xxfx=4)(lim4xxfx=1，则3)(lim3xx
13、fx= 14、如图，1P是一块半径为1 的半圆形纸板，在1P的左下端剪去一个半径为21的半圆后得图形2P，然后剪去更小的半圆其直径为前一被剪掉半圆的半径得图形3P，4P，1 y 2 0 2 2 y x D C B A 1 0 0 0 1 1 1 2 2 x x x y y y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页德明教育辅导中心德明专线：E-mail：demingedu163 nP，记纸板nP的面积为nS，则nnSlim= 1P2P3P4P三、解答题：15、已知函数)(xf在定义域R上可导， 设点P是函数y)(xf的图
14、象上距离原点0 最近的点。假设点P的坐标为)(,(afa，求证：)()(afafa=0；假设函数y)(xf的图象不经过坐标原点0，证明直线OP与函数y)(xf的图象上过P点的切线互相垂直。16、证明：1当1x时，xx132；2当0a，0 x时，xeaxx122。17、已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值。讨论)1(f和)1(f是函数)(xf的极大值还是极小值；过点)16,0(A作曲线)(xfy的切线，求此切线方程。18、已知函数)sin(cos)(xxexfx，将满足0)(xf的所有正数x从小到大排成数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
15、 - - -第 6 页，共 7 页德明教育辅导中心德明专线：E-mail：demingedu163 nx证明：数列)(nxf 为等比数列；记ns是数列 )(nnxfx的前n项和，求nsssnn21lim19、)(xf是定义在 0 ， 1 上的增函数，)2(2)(xfxf且在每个区间),2, 1(21,21(1iii上，)(xfy的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。求)0(f及)41()21(ff的值，并归纳出)2, 1)(21(ifi的表达式。设直线ix21、121ix、x轴及)(xfy的图象围成的梯形的面积为20、已知函数)0)(ln()(aaexfx求函数)(xfy的反函数)(1xf及)(xf的导数)(xf； 假设对任意)4ln(),3ln(aax，不等式 |)(xfm|+0)(ln(xf成立， 求实数m的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页