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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高等数学公式导数公式：tgx 2 secxxarcsinx11x21x2ctgx csc 21sec x sec xtgxarccosx 1cscx cscxctgxarctgx1axaxlnax2logax x1aarcctgx1ln1x2基本积分表：tgxdxlncosxCxdxdxxsec 2xdxtgxCCC2 cosctgxdxlnsinxCctgxdxx2 cscxdxsec xdxlnsec xtgxCsin2cscxdxlncscxctgxCsec xtgx dxsec xCdx1arctgxCcscxctgx
2、dxcscxCa22 xaaaxdxaxCx22 aadx1lnxaClnx2a22axashxdxchxCdx1lnaxCchxdxshxCa22 x2aaxxdxa2lnxdxarcsinxCa22 xa2In2sinnxdx2n cosnn1In2C00a2a2lnx2 xa22 xa2dxxx2222 xa2dxxx2a2a2lnxx2a2C222 ax2dxxa2x2a2arcsinxC22a三角函数的有理式积分：名师归纳总结 sinx12u2,cosx1u2,utgx,dx2du第 1 页,共 15 页u1u221u2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
3、- - - 一些初等函数：学习必备欢迎下载两个重要极限：双曲正弦:shxexexexlim x 0sinxx1e2. 718281828459045.2x双曲余弦:chxx eexlim x11x2shxx e双曲正切:thxchxx eexarshxlnxx21）archxlnxx21arthx1ln1x21x三角函数公式： 诱导公式：名师归纳总结 和差角公式：sin函数sin cos tg ctg 2cos2第 2 页,共 15 页角 A -sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg -c
4、tg 180+-sin -cos tg ctg 270-cos -sin ctg tg 270+-cos sin -ctg -tg 360-sin cos -tg -ctg 360+sin cos tg ctg 和差化积公式：sincoscossinsinsin2sincoscoscossinsintgtgtgsinsin2cos2sin21tgtgcoscos2cos2cos2ctgctgctg1ctgctgcoscos2sinsin22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 倍角公式：sin212sincos12sin2cos2sin
5、2sin33 sin4sin3cos22cos21ctg2ctg21cos 343 cos33cos2 ctgtg33 tgtgtg22tg13 tg2tg2 半角公式：sin21cossincos21coscossin22tg21cos1cosctg21cos11cossin1cos1cossin1cos 正弦定理：aAbBcC2R 余弦定理：c2a2b22 abcosCsinsinsin 反三角函数性质：arcsinx2arccosxarctgx2arcctgxuvn高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：1 nkuv nnCkunkvk1 unkvkn2vnnnk0unvnun1
6、vn n1 u2 .k .中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f b f afba 柯西中值定理：f bfa f 拉格朗日中值定理；F bFa F当F x x 时,柯西中值定理就是曲率：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 弧微分公式：ds1y2dx ,其中学习必备欢迎下载ytg平均曲率：Ks.0:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长；M点的曲率：Klim ssd1yy23.ds直线：K;01.半径为a的圆：Ka定积分的近似运算：bx x bnay 0y 1y ny n1yyn1yn24 y 1y 3yn
7、1矩形法：fbabx na1y 0y 1梯形法：f2abfbay0yn2 y24抛物线法：3 na定积分应用相关公式：功：W F s水压力：F p A引力：F k m 1 m2 2 , k 为引力系数rb函数的平均值：y 1 f x dxb a ab均方根：1 f 2 t dtb a a空间解析几何和向量代数：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 空间2 点的距离：dM1M2学习必备2欢迎下载y 12z 2z 12x 2x 1y2向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB 与u 轴的夹角；为锐角时,Prjua 1
8、a2Prja 1Prja2ababcosa xb xayb yaz b z, 是一个数量,两向量之间的夹角：cosax2a xb xaayb yb xa zb zy2b z2ay222bzijkcaba xayaz,cabsin. 例：线速度：vwr.b xb ybzaxayaz向量的混合积：a bc abcb xbyb zabccos,cxcycz代表平行六面体的体积；平面的方程：1、点法式：A xx0Byy0Cz0z00,其中nA ,B,C,M0x 0,y0,z0mt2、一般方程：AxByCzD0Ax0By0Cz0D参数方程：xx 03、截距世方程：xyz c1ab平面外任意一点到该平面的
9、距离：dA2B2C2空间直线的方程：xx 0yy0zzt,n ,p ;其中sm ,yy 0ntmnpzz 0pt二次曲面：1、椭球面：x2y2z21q 同号）a2b2c22、抛物面：x22 py2z（,p,2 q3、双曲面：y2z21单叶双曲面：x2a2b2c2双叶双曲面：x2y2z2（马鞍面）1a2b2c2多元函数微分法及应用名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 全微分：dzzdxzdy学习必备u欢迎下载udyudzdudxxyxyz全微分的近似运算：zdzfxx,yxfyx ,yy多元复合函数的求导法：uzvzfu
10、t,vtdzzdtutvtvzfux ,y,v x,yzzuzxuxvx当uux ,y,vvx,y时,v xdxv ydyduudxudydvxy隐函数的求导公式：隐函数Fx ,y0,dydxvFx2,ddxyxFxyFxdy dxF vFy2FyFy隐函数Fx ,y,z0,zxFx,zFyFzFzGFFF uy隐函数方程组：Fx ,y, u,0 0JF,u Gv GGx ,y, u,v G uG vu ,v uvu1F,Gv1F, GxJx ,v xJ u ,x u1F,Gv1F,G yJy ,v yJ u ,y微分法在几何上的应用：空间曲线xt在点Mx 0,y 0,z 0 处的切线方程：x
11、x 0yy0zz 0yy 0,z 0zz 00yt t0t0 t0zt在点M处的法平面方程： t0xx 0 t0yy0t0zz 00如空间曲线方程为：Fx ,y ,z 0, 就切向量TFyF z,F zF x,F xFGx ,y ,z 0GyGzGzGxG xGy曲面Fx ,y ,z 0 上一点Mx 0,y0,z 0,就：F zx 0,1、过此点的法向量：nFxx 0,y 0,z 0,Fyx0,y 0,z 0,F zx 0,y0,z 02、过此点的切平面方程：F xx 0,y0,z 0xx 0Fyx 0,y 0,z 0yy 03、过此点的法线方程：Fxx,x0z 0Fyy,y 0z 0Fzz,
12、z 0,z 0x0y 0,x 0y 0,x 0y 0方向导数与梯度：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数zfx ,y在一点p x ,y 学习必备l欢迎下载ffcosfsin沿任一方向的方向导数为：lxy其中为x 轴到方向l的转角；grad fx ,y ficosfjsinj,为l方向上的函数zfx ,y在一点p x ,y 的梯度：xy它与方向导数的关系是：fgradfx ,ye,其中eil单位向量；f是grad fx,y 在l上的投影；l多元函数的极值及其求法：设fxx 0,y0fyx 0,y00,令：fxxx
13、0,y 0A ,fxyx 0,y 0B ,fyyx 0,y 0CACB20 时,A,0x 0,y0为极大值A,0x 0,y 0 为微小值就：ACB20 时,无极值ACB20 时,不确定重积分及其应用：fx,ydxdyfrcos,rsinrdrdz2dxdyMyDyx ,ydx2Fx,ydDD曲面zfx,y 的面积AD1z2xy平面薄片的重心：xMxDxx,y d,yMx,ydMx,ydDx,y dD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2,对于y轴IyD0,0 ,a,a0 的引力：FD,y,Fz ,其中：平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点MFxF xfDx2x,yxd23,FyfDx2x,
14、yydx,yxd23,Fzfay2a23y2a2y2a2Dx22柱面坐标和球面坐标：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - xrcos学习必备欢迎下载柱面坐标：yrsin,fx ,y ,z dxdydzzdFr,z rdrddz ,dr2dvdvzzdrr2sindrdd其中：Fr,z frcos,rsin,z xrsincos球面坐标：yrsinsin,dvrdrsinzrcos2dr,fx ,y ,z dxdydzFr,r2sindrdddFr, r2sin重心：x1xdv ,y1ydv ,000x1zdv,其中MM
15、MM转动惯量：Ixy2z2dv,Iyx22 zdv,Izx2y曲线积分：名师归纳总结 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）： t , t t, 就：yxt第 8 页,共 15 页设fx ,y 在L 上连续,L的参数方程为：xyfx ,y dsft,t2t2 t dt特别情形： tL- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次类曲线积分（对坐学习必备欢迎下载标的曲线积分）：设L 的参数方程为x t t,就： t tQ t, t tdtyP x ,y dxQ x ,y dyP t,L两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy P cos Q cos ds,其中 和
16、分别为L LL 上积分起止点处切向量 的方向角；格林公式： Q P dxdy Pdx Qdy 格林公式： Q P dxdy Pdx QdyD x y L D x y L当 P y , Q x,即：Q P 2 时,得到 D 的面积：A dxdy 1 xdy ydxx y D 2 L平面上曲线积分与路径 无关的条件：1、G 是一个单连通区域；2、P x , y ,Q x , y 在 G 内具有一阶连续偏导数,且 QP；留意奇点,如 0 0, ,应x y减去对此奇点的积分,留意方向相反！二元函数的全微分求积：在 QP 时,Pdx Qdy 才是二元函数 u x , y 的全微分,其中：x y x ,
17、y u x , y P x , y dx Q x , y dy,通常设 x 0 y 0 0； x 0 , y 0 曲面积分：对面积的曲面积分：fx,y ,z dsfx ,y ,z x ,y12 z xx ,y 2 z yx ,ydxdyds对坐标的曲面积分：PDxyx ,y ,z dydzQx ,y ,z dzdxR x ,y ,z dxdy,其中：R x,y ,z dxdyR x ,y ,z x ,ydxdy,取曲面的上侧时取正号；Dxyx y ,z ,y ,z dydz,取曲面的前侧时取正号；P x,y ,z dydzP Dyzx ,y z ,x,z dzdx,取曲面的右侧时取正号；Qx
18、,y,z dzdxQ Dzx系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcos两类曲面积分之间的关高斯公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - PQRdv学习必备欢迎下载PcosQcosRcosdsPdydzQdzdxRdxdyxyz高斯公式的物理意义通量与散度：的流体质量,如div0,就为消逝.散度：divPQR, 即：单位体积内所产生xyz通量：AndsA ndsPcosQcosRcosds,因此,高斯公式又可写成：divAdvA nds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：RQ dydzPR dzdxQ
19、 xPdxdyPdxQdyPRdzyzzxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：RQ z,PzR x,QxyyijkPdxQdyRdzAtds旋度：rotAxyzPQR向量场A 沿有向闭曲线的环流量：常数项级数：等比数列：1qq2qn11qn1q等差数列：123nn1n2调和级数：1111是发散的23n级数审敛法：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、正项级数的审敛法学习必备欢迎下载别法）：根植审敛法（柯西判1 时,级数收敛设：lim
20、nnun,就1 时,级数发散莱布尼兹定理：1 时,不确定2、比值审敛法：设：lim nUnn1,就1 时,级数收敛1 时,级数发散U1 时,不确定3、定义法：snu1u2un;lim ns n存在,就收敛；否就发散；交叉级数u 1u2u 3u 4或u 1u2u 3,u n0 的审敛法假如交叉级数满意unuu n1,那么级数收敛且其和 0su 1, 其余项r n的确定值r nun1；lim nn确定收敛与条件收敛： 1 u 1 u 2 u n,其中 u n 为任意实数； 2 u 1 u 2 u 3 u n假如 2 收敛,就 1 确定收敛,且称为确定 收敛级数；假如 2 发散,而 1 收敛,就称
21、1 为条件收敛级数；n调和级数：1 发散,而 1 收敛；n n级数：12 收敛；np 级数：n 1p p 时发散1 时收敛幂级数：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1xx2x3xnx学习必备欢迎下载1x1 时,收敛于1对于级数3 a0a 1xax1 时,发散102x2anxn,假如它不是仅在原点收敛,也不是在全数轴上都收敛,就必存在R,使xR 时收敛xR 时发散,其中R 称为收敛半径；求收敛半径的方法：设lim na nn1xR 时不定0 时,R,其中an,an1 是3 的系数,就0 时,Ra时,R函数绽开成幂级
22、数：函数绽开成泰勒级数：fx n1fx 0xx 0fx 0xx 02fnx0xx 0n.2n .余项：R nfn1xx 0,fx 可以绽开成泰勒级数的2充要条件是：lim nR n0 n1 .x f0 f0 xf 0 xfn 0 xnx 00 时即为麦克劳林公式：f.2n .一些函数绽开成幂级数： 1x m1mxm m12 x1x2nm m1 mn1xn1x1 .2n .sinxxx35 x1n1x.3.52 n1 .欧拉公式：ix ecosxisinx或cosxix eeix2sinxix eeix2三角级数：ftA 0A nsinntna0 ancos nxb nsinnx 在 ,2n1n
23、1其中,a 0aA 0,anA nsinn,b nA ncosn,tx；正交性：,1sinx ,cosx ,sin2x ,cos 2xsinnx ,cos nx任意两个不同项的乘积上的积分0；傅立叶级数：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxa0n1ancosnxb nsinnx学习必备欢迎下载,周期22an1nfxcosnxdxn01, 2,n2xb nsinnx 是奇函数其中fx sinnxdxn,123,b n1111211181（相加）6322 522324211121112241（相减）12224262
24、223242正弦级数：a0,bn2fxsinnxdx,12 ,3f0名师归纳总结 余弦级数：b n0,an2fxcosnxdxn0 ,1,2fx a0ancosnx 是偶函数20第 13 页,共 15 页周期为l2 的周期函数的傅立叶级数：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fxa 0n1a ncosnlxb nsin学习必备欢迎下载nlx,周期2 l2其中a n1lfx cosnlxdxn,1,02llb n1lfx sinnlxdxn,1 2 3,ll微分方程的相关概念：一阶微分方程：yfx ,y或P x ,y dxQx ,y dy0u,可分别变量的微分方程：一阶微分方程可以化为gydyfx dx 的形式,解法：gy dyfx dx得：GyFxC 称为隐式通解；齐次方程：一阶微分方程可以写成dyfx ,y x ,y ,即写成y的函数,解法：dxx设uy,就dyuxdu,uduu,dxduu分别变量,积分后将y代替xdxdxdxxu x即得齐次方程通解；一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：