《2022年高数公式重点大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高数公式重点大全.docx（54页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料高等数学公式导数公式： tgx2 secxarcsinx1121x2 ctgx csc 2xarccosx1sec x sec xtgx1xcscx csc xctgxarctgx1axaxlnax2logax x1aarcctgx1ln1x2基本积分表：tgxdxlncosxCCdxx2 secxdxtgxCCcos2ctgxdxlnsinxC2 cscxdxctgxdxsec xdxlnsec xtgxsin2xCcscxdxlncscxctgxCsecxtgxdxsecxxC2 adx1 aarctgxaCCcscxct
2、gxdxCcscaxx2aaxdxdx1lnxlna2 xa22 axashxdxCx2a2Cchxdx221lnaxCchxdxashxC2 ax2 aaxdxdxxClnxarcsin2 axax22In2sinnxdx2n cosxdxnn1In200Cx2a2dxxx22 aa2lnxx2a222x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22a2x2dxxa22 xa2arcsinxC22a三角函数的有理式积分：sinx12u2,cosx1u2,utgx,dx2 duu1u221u2一些初等函数：两个重要极限：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 30 页精选学习资料
3、 - - - - - - - - - 双曲正弦:shxexex名师精编lim x 0优秀资料1e2 . 718281828459045.sinxx2双曲余弦:chxexxlim x11xe2x双曲正切:thxshxexexchxexexarshxlnxx21）archxlnxx21 arthx1ln1x21x三角函数公式： 诱导公式：名师归纳总结 和差角公式：sin函数sin cos tg ctg 2cos2第 2 页,共 30 页角 A -sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg-ctg
4、180+-sin -cos tg ctg 270-cos -sin ctg tg 270+-cos sin -ctg -tg 360-sin cos -tg -ctg 360+sin cos tg ctg 和差化积公式：sincoscossinsinsin2sincoscoscossinsintgtgtgsinsin2cos2sin21tgtgcoscos2coscos22ctg ctgctg1ctgctgcoscos2sinsin22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料 倍角公式：sin22sincos112sin22 cossin2
5、sin33sin4 sin3cos22cos2ctg2ctg21cos 343 cos3 cos2ctgtg33 tgtg3tg22 tg13 tg21tg2 半角公式：sin21cossincos21cos22tg21cos1cosctg21cos1cossin1cossin1cos1cossin1cos 正弦定理：aAbBcC2R 余弦定理：c2a2b22abcosCsinsinsin 反三角函数性质：arcsinx2arccosxarctgx2arcctgx高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：1 nk1 unkvkuvnuvnnCkunkvkn2vnnnk0unvnun1 vn
6、n1u2 .k.中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：fb fa f ba柯西中值定理：fFbfa f 拉格朗日中值定理；bFa F当F xx 时,柯西中值定理就是曲率：弧微分公式：dss1:y2dx,其中ytg化量；s：MM弧长；平均曲率：K.从M点到M点,切线斜率的倾角变M点的曲率：Klim s0sd 1yy23.ds直线：K0 ;1 a.半径为a 的圆：K定积分的近似运算：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - bxx bnay0y 1yn名师精编优秀资料24 y 1y 3y n1yn1矩形法：fabxbna1y
7、0y 1y n1梯形法：f2abfbay0yn2 y 2y 4y n抛物线法：3 na定积分应用相关公式：功：W F s水压力：F p A引力：F k m 1 m2 2 , k 为引力系数rb函数的平均值：y 1f x dxb a ab均方根：1 f 2 t dtb a a空间解析几何和向量代数：名师归纳总结 空间2 点的距离：dM1M2x 2x 12y 2y 12z 2z 12第 4 页,共 30 页向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB 与u 轴的夹角；Prjua 1a 2Prja 1Prja2ababcosaxb xaybyaz b z,是一个数量,两向量之间的夹角：cosax
8、2axb xayb yazb zy2b z2a y2a z2b x2b为锐角时,ijkcabaxayaz,cabsin. 例：线速度：vwr.bxbyb zaxayaz向量的混合积：abcabcb xbyb zabccos,cxcycz代表平行六面体的体积；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料平面的方程：1、点法式：A xx 0B yy 0Cz0z 00,其中n2A,B,C,M0x0,y 0,z0m t2、一般方程：AxByCzD03、截距世方程：xyz c1Ax0By0Cz0Dab平面外任意一点到该平面的距离：dA2B2C空间直线的方
9、程：xx0yy0zzt,其中sm ,n,p ;参数方程：xx0yy0ntmnpzz0pt二次曲面：1、椭球面：x22y2z21q 同号）a2b2c22、抛物面：x2y2z（,p ,2p2q3、双曲面：y2z21单叶双曲面：x a2b2c2双叶双曲面：x a2y2z2（马鞍面）12b2c2多元函数微分法及应用全微分：dzzdxzdyduu xdxyxu ydyyudzxyz全微分的近似运算：zdzfxx ,yxf,y多元复合函数的求导法：uzvzfu t,vtdzzdtutvtvzfux,y,vx,yzzuzxuxvx当uux,y,vvx ,y 时,v xdxv ydyduudxudydvxy隐
10、函数的求导公式：名师归纳总结 隐函数Fx,yz 0,dydxFx2,ddxyFxFxyFxdy第 5 页,共 30 页F2FFdx隐函数Fx,y,yyy0,zxFx,zyFzFzy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 隐函数方程组：Fx ,y, u,v 01名师精编优秀资料FFF uF vJF,G u Gv GG x ,y ,u,v 0G uG v u ,vu1F,GvuvF,GxJx,v xJu ,x u1F,Gv1F,GyJy ,vyJu ,y微分法在几何上的应用：空间曲线x tMx 0,y0,z 0 处的切线方程：xx 0yy0zz 0y,y 0,z
11、 0zz 00y t 在点t0 t0t 0z t在点M处的法平面方程：t0xx 0 t 0yy0 t0zz 00如空间曲线方程为：Fx ,y,z 0,就切向量TFyFz,FzF x,F xFGyGzG xGGx ,y,z 0GzGxyF zx 0曲面Fx ,y ,z 0 上一点Mx 0,y 0,z 0,就：1、过此点的法向量：nF xx 0,y0,z 0,Fyx 0,y 0,z 0,F zx0,y 0,z 02、过此点的切平面方程：F xx 0,y0,z 0xx 0Fyx 0,y0,z 0yy 03、过此点的法线方程：Fxx,x 0,z 0Fyy,y 0z 0F zz,z 0z 0x 0y 0
12、x 0y 0,x 0y0,方向导数与梯度：函数zfx ,y 在一点p x,y 沿任一方向l的方向导数为：fjf xcosjf ysinl其中为x 轴到方向l的转角；函数zfx ,y 在一点p x,y 的梯度：grad fx ,yfifxysin,为l方向上的它与方向导数的关系是：fgradfx ,ye,其中ecosil单位向量；f是grad fx ,y 在l上的投影；l多元函数的极值及其求法：设fxx 0,y0fyx0,y 00,令：fxxx 0,y0A ,fxyx 0,y0B ,fyyx 0,y 0CACB20 时,A,0x 0,y 0 为极大值A,0x 0,y 0 为微小值就：AC2 B0
13、 时,无极值ACB20 时 ,不确定重积分及其应用：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀资料x2Fx,y dfx ,ydxdyfrcos,rsinrdrdDD曲面zfx ,y 的面积AD1z2z2dxdyxy平面薄片的重心：xMxDxx,yd,yMyDyx,ydMx ,ydMx ,ydDD平面薄片的转动惯量：对于x 轴Ixy2x ,yd,对于y 轴IyDD,y,Fz,其中：平面薄片（位于xoy平面）对z 轴上质点M0 ,0 ,a,a0 的引力：FFxFxfx,yxd3,Fyfx ,yyd3,FzfaDx2
14、x ,yxd3y2Dx2y2a22Dx2y2a22a22柱面坐标和球面坐标：xrcoszdF r,z rdrddz ,drdvdv柱面坐标：yrsin,fx,y ,z dxdydzzzdrr2sindrdd其中：Fr,z frcos,rsin,z xrsincos球面坐标：yrsinsin,dvrdrsinzrcos2dr,fx ,y ,z dxdydzFr,r2sindrdddFr,r2sin重心：x1xdv ,y1ydv ,000x1zdv,其中MMMM转动惯量：Ixy22 zdv,Iyx2z2dv,Izx22 y曲线积分：名师归纳总结 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）： t t ,t,
15、就：yxt第 7 页,共 30 页设fx ,y 在L上连续,L的参数方程为：xyfx ,y dsf t,t2 t2tdt特殊情形： tL- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次类曲线积分（对坐名师精编优秀资料ttdt标的曲线积分）：设L的参数方程为x t ,就： t Q t,yP x,y dxQ x,y dyP t,t tL两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy P cos Q cos ds,其中 和 分别为L LL 上积分起止点处切向量 的方向角；格林公式： Q P dxdy Pdx Qdy 格林公式： Q P dxdy Pdx QdyD x y L
16、 D x y L当 P y , Q x,即：Q P2 时,得到 D 的面积：A dxdy 1xdy ydxx y D 2 L平面上曲线积分与路径 无关的条件：1、G 是一个单连通区域；2、P x , y ,Q x , y 在 G 内具有一阶连续偏导数,且 QP；留意奇点,如 ,0 0 ,应x y减去对此奇点的积分,留意方向相反！二元函数的全微分求积：在 QP 时,Pdx Qdy 才是二元函数 u x , y 的全微分,其中：x y x , y u x , y P x , y dx Q x , y dy,通常设 x 0 y 0 0； x 0 , y 0 曲面积分：对面积的曲面积分：fx ,y ,
17、z dsfx ,y ,z x ,y 12 z xx,y 2 z yx ,y dxdydsDxy对坐标的曲面积分：P x ,y ,z dydzQ x ,y ,z dzdxR x ,y ,z dxdy,其中：R x ,y ,z dxdyR x ,y,z x ,y dxdy,取曲面的上侧时取正号；D xyPx ,y ,z dydzP xy ,z ,y ,z dydz,取曲面的前侧时取正号；DyzQx ,y ,z dzdxQ x ,yz ,x ,z dzdx,取曲面的右侧时取正号；Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcos高斯公式：名师归纳总结 - - - -
18、 - - -第 8 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - PQRdvPdydz名师精编优秀资料PcosQcosRcosdsQdzdxRdxdyxyz高斯公式的物理意义通量与散度：的流体质量,如div0,就为消逝.散度：divPQR, 即：单位体积内所产生xyz通量：AndsA nds PcosQcosRcosds,因此,高斯公式又可写成：divAdvA nds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：RQdydzPRdzdxQ xPdxdyPdxQdyPRdzyzzxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：x Py Qz Rx Py Qz R空间曲
19、线积分与路径无关的条件：RQ z,PzR x,QxyyijkPdxQdyRdzAtds旋度：rot Ax Py Qz R向量场A 沿有向闭曲线的环流量：常数项级数：等比数列：1qq2qn11qn1q等差数列：123nn1 n2调和级数：1111 n是发散的23级数审敛法：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、正项级数的审敛法名师精编优秀资料根植审敛法（柯西判别法）：1 时,级数收敛设：lim nnun,就1 时,级数发散1 时,不确定1 时,级数收敛1 时,级数发散1 时,不确定2、比值审敛法：设：lim nUn1
20、,就Un3、定义法：s n存在,就收敛；否就发散；snu 1u 2un;lim n交叉级数u 1u 2u 3u4 或u 1u2u 3,u n0 的审敛法莱布尼兹定理：假如交叉级数满意unuun1,那么级数收敛且其和 0su 1, 其余项rn 的确定值rnun1；lim nn确定收敛与条件收敛：1 u 1 u 2 u n,其中 u n 为任意实数； 2 u 1 u 2 u 3 u n假如 2 收敛,就 1 确定收敛,且称为确定 收敛级数；假如 2 发散,而 1 收敛,就称 1 为条件收敛级数；n调和级数：1 发散,而 1 收敛；n n级数：12 收敛；np 级数：1p 时发散n p 1 时收敛幂
21、级数：名师归纳总结 1xx2x3xnax1 时,收敛于11x10第 10 页,共 30 页对于级数3 a0a1xx1 时,发散2x2anxn,假如它不是仅在原点收敛,也不是在全数轴上都收敛,就必存在R,使xR 时收敛xR 时发散,其中R 称为收敛半径；求收敛半径的方法：设lim nan1xR 时不定0 时,R,其中an,a n1是3 的系数,就0 时,Ran时,R- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料函数绽开成幂级数：函数绽开成泰勒级数：fxn1fx0xx0fx 0xx 02fnx 0xx0n.2n .余项：R nfn1 xx 0,fx
22、可以绽开成泰勒级数的2充要条件是：lim nR n0n1 .f0 f 0 xf0 xfn0 xnx 00 时即为麦克劳林公式：fx.2n .一些函数绽开成幂级数：1x m1mxm m1x212 xm m1 mn1 xn1x1.2n .sinxx3 xx51 nn1x.3.5 2 n1 .欧拉公式：ix ecosxisinx或cosxix eeix2sinxix eeix2三角级数：f tA 0A nsinntna 0a ncos nxb nsinnx 在 ,2n1n1其中,a0aA 0,anA nA ncosn,tx；sinn,b n正交性：,1sinx ,cosx ,sin2x ,cos 2
23、xsinnx ,cos nx任意两个不同项的乘积上的积分0；傅立叶级数：fxa0n1ancosnxb nsinnx ,周期2n2x b nsinnx 是奇函数2nfxcosnxdxn0 ,1,2an1其中fxsinnxdxn,123,b n1211111181（相加）6325222324211121112241（相减）122242622 232420,b n2正弦级数：afx sinn xdx,123,f0名师归纳总结 余弦级数：bn0,an20fxcosnxdxn0 ,1,2fxa0ancosnx 是偶函数第 11 页,共 30 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
24、 - - - - 名师归纳总结 周期为2 的周期函数的傅立叶级数：名师精编优秀资料第 12 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx a 01n1a ncosnxb nsinnl名师精编优秀资料x,周期2 l2l其中anlfx cosnlxdxn0 ,1, 2llb n1lfx sinnxdxn,1 ,2 3lll微分方程的相关概念：一阶微分方程：yfx ,y或P x,y dxQ x ,y dy0u,可分别变量的微分方程：一阶微分方程可以化为gy dyfx dx 的形式,解法：g y dyfx dx得：G y Fx C 称为隐式通解；齐次方程：一阶微分方程可以写成dyfx ,yx,y ,即写成y的函数,解法：dxx设uy,就dyuxdu,udu u ,dxduu分别变量,积分后将y代替xdxdxdxx ux即得齐次方程通解；一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：dyPx ynQxx ePx dxdxCePx dxdx当Q