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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数zz211x2y2z2111、二次曲面1）x2y2椭圆锥面：a2b22）x2y22椭球面：a2b2c2旋转椭球面：a2a2c2z2单叶双曲面：x2y2双叶双曲面：x2y2z23）a2b2c2a2b2c22z椭圆抛物面：x2y2x2y4）z双曲抛物面（马鞍面）：a2b2a2b25）x2y21x2y21椭圆柱面：a2b2双曲柱面：a2b26）抛物柱面：x2ay（二） 平面及其方程1、1点法式方程：Axx0By,y0,Cz0z002、法向量：nA ,B,C,过点x 0,y0z0C2,A 1B
2、 1C 1一般式方程：AxByCzD0截距式方程：x ayz13、bcA 2,B2两平面的夹角：n 1A 1,B 1,C 1,n 22A 1A 2B 1B 2C 1C 20；1/2A 2B 2C24、点P 0x0,y0,z0到平面AxByCzD的距离：（三） 空间直线及其方程名师归纳总结 1、一般式方程：A 1xB 1yC1zD120第 1 页,共 10 页A 2xB2yC2zD0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、对称式（点向式）方程：xx0yny0zz0mp3、方向向量：sm ,n ,p ,过点x0,y0,z 0m 1n 1fp 1,y 0yfx
3、0,y0两直线的夹角：s 1m 1,n 1,p 1,s 2m 2,n 2,p 2,L 1L2m 1m 2n 1n2p 1p20；L 1/ L2m 2n 2p 24、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,Clim y0x 0AmBnCp0； LABL/mnp第九章多元函数微分法及其应用连续：x ,y lim x 0,y 0fx ,yfx 0,y 01、2、偏导数：,y 0lim x 0fx0x ,y 0fx 0,y 0；fyx 0,y 0fxx 0xy3、方向导数：ffcosfcos其中,为 l 的方向角；lxyfyx 0,y 0j；梯度：zfx,y,就gradfx 0,y 0fxx
4、0,y 0i4、5、全微分：设zfx ,y,就 d zzd xzd yxy（一） 性质1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：偏导数存在1 2 偏导数连续充分条件函数可微必要条件定义2 4 3 函数连续名师归纳总结 2、微分法第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1）复合函数求导：链式法就如zf u v uu x y , ,vv x y,就zzuzv,zzuzvxuxvxyuyvy（二） 应用名师归纳总结 1）求函数zfx ,y的极值解方程组fx0求出全部驻点,对于每一个驻点x 0y 0,令第 3 页,共 10
5、页fy0Afxxx0y0,Bfxyx0y0,Cfyyx 0 y 0,如ACB20,A0,函数有微小值,如ACB20,A0,函数有极大值；如ACB20,函数没有极值；如ACB20,不定；2、几何应用1）曲线的切线与法平面xxt曲线:yyt,就上一点Mx 0,y0,z0（对应参数为0t）处的zzt切线方程为：xtx 0yty0z tz 0x0y0z0法平面方程为：xt0xx0yt0yy0zt0zz 002）曲面的切平面与法线曲面:Fx,y,z0,就上一点Mx0,y0,z 0处的切平面方程为：法线方程为：Fxx,x0z 0Fyy,y 0z 0Fzz,z 0z 0x 0x 0x 0y 0,y 0,y
6、0,第十章重积分（一） 二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积n1、定义：Dfx,ydlim 0k1fk,kk2、运算：1）直角坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Dx ,y1xyb2x,Df x yd d x ybd x2 f , dyaxa1 Dx ,y1y x2y,Df x yd d x ydd y2 f , dxdc1ycyd2）极坐标12,f x yd d x yd2fcos , sinD,D1（二） 三重积分1、定义：fx ,y,zdvlim 0n1fk,k,kv k2、运算：z dvk1）直角坐标z dzDdx dyz 2x ,y fx ,
7、y , -“ 先一后二 ”fx ,y,z 1x ,y2）fx ,y,z dvbdzDZfx ,y ,z dxdy -“ 先二后一 ”a柱面坐标xcos,f x y z , , dvfcos ,sin , d d dzysinzz3）球面坐标（三） 应用曲面S:zfx ,y,x,yD的面积：第十一章曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分n1、f定义：Lf x y , dslim 0i1fi,is ixt,t,其中t,t在2、运算：x,y在曲线弧 L 上有定义且连续, L 的参数方程为设yt,上具有一阶连续导数,且2 t2 t0,就（二） 对坐标的曲线积分名师归纳总结 - - - - - -
8、-第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、定义：设 L 为 xoy 面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧,函数Px,y,Qx,y在 L 上有界,定义LPx,ydxlim 0kn1Pk,kxk,LQx,ydylim0kn1Qk,kyk. 续导数,且向量形式：LFdrLP x ,ydxQx ,y dy2、运算：设Px ,y ,Qx ,y在有向光滑弧 L 上有定义且连续, L 的参数方程为xt, t:,其中t,t在,上yt,具有一阶连2t2t0,就,3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为L：xt, L 上点x,y处的切向量的方向角为：ytcos2t t2
9、t,cos2tt2t,就LP xQ yLPcosQcosds . （三） 格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L 围成,函数Px,y,Qx,y在 D 上具有连续一阶偏导数, 就有DQPdxdyLPdxQdyxy2、 G 为一个单连通区域,函数Px,y ,Qx ,y在 G 上具有连续一阶偏导数,就QP曲线积分LP xQ y 在 G 内与路径无关xy（四） 对面积的曲面积分1、定义：fx,y ,z 是定义在上的一个有界函数,设为光滑曲面,函数n定义fx,y ,z dSlim 0i1f”i,i,iSi2、运算：“一单二投三代入:zz x ,y,x,yDxy,就（五） 对坐标的曲面积分名
10、师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、定义：设为 有 向 光 滑 曲 面 , 函 数Px ,y,z ,Qx,y ,z ,R x,y,z 是 定 义 在上 的 有 界 函 数 , 定 义nnR x y z , , d d x ylim 0i1R i,i,iS ixy同理,nP x y z , , d d y zlim 0i1Pi,i,iS iyz；Q x y z , , d d z xlim 0R i,i,iS izxi12、性质：Rx,y ,z 在上 连 续 , 就1）12,就运算：“一投二代三定号 ”:zz x,y
11、 ,x ,y Dxy,zz x ,y在Dxy上 具 有 一 阶 连续 偏 导数 ,R x y z , , d d x yDx yR x y z x y , , , d d x y,为上侧取“ + ” ,为下侧取“ - ” . 3、两类曲面积分之间的关系：其中,为有向曲面在点x ,y ,z 处的法向量的方向角；（六） 高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 , 的方向取外侧 , 函数P Q R在上有连续的一阶偏导数 ,就有cosdS或PQRdxdydzPcosQcosRxyzxdy2、通量与散度Pdy dzQdzdxRd通量：向量场AP,Q,R通过曲面指定侧的通量为：散度：d
12、ivAPQRxyz（七） 斯托克斯公式1、斯 托 克 斯 公 式 ： 设 光 滑 曲 面的 边 界是 分 段 光 滑 曲 线 , 的 侧 与的 正 向 符 合 右 手 法 就 , Px ,y ,z ,Q x ,y ,z ,R x ,y ,z 在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,就有Rdz为便于记忆 , 斯托克斯公式仍可写作: 2、环流量与旋度环流量：向量场AP ,Q,R 沿着有向闭曲线的环流量为PdxQdy旋度：rotARQ,PR,QPyzzxxy第十二章无穷级数（一） 常数项级数名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - -
13、- - 1、定义：1）无穷级数：n1unu 1u2u3unn名师归纳总结 部分和：S nuku 1u 2u3u n,第 7 页,共 10 页k1正项级数：u,un0n1交叉级数：1 n un,u n0n12）级数收敛：如nlimSnS存在,就称级数n1un收敛,否就称级数n1un发散3）条件收敛：u n收敛,而un发散；n1n1肯定收敛：un收敛；n12、性质：1）转变有限项不影响级数的收敛性；2）级数a,nb收敛,就 anb n收敛；n1n1n13）级数a收敛,就任意加括号后仍旧收敛；n14）必要条件：级数n1u n收敛lim nun0. （留意：不是充分条件！）3、审敛法正项级数：u,u
14、n0n11）定义：nlimSnS存在；2）un收敛S n有界；n13）比较审敛法：un,vn为正项级数,且unvnn2,1 3, ,n1n1如nv收敛,就u n收敛；如u n发散,就nv发散 . n1n1n1n1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4）比较法的推论：n1un,n1vn为正项级数,如存在正整数 m,当nm时,unkv n,而n1vn收敛,就n1u n收敛；如存在正整数 m,当nm时,u nkv n,而n1vn发散,就un发散 . n15）比较法的极限形式：n1un,n1v n为正项级数, 如lim nunl0l,而nv收敛, 就un收vnn
15、1n1敛；如lim nun0或lim nun,而n1vn发散,就n1un发散 . v nv nn1un收敛；就当l1时,级数n1u n6）比值法：n1un为正项级数,设lim nun1l,就当l1时,级数unun收敛；就当l1时,级数u发发散；当l1时,级数un可能收敛也可能发散. n17）根值法：n1un为正项级数,设nlimnu nl,就当l1时,级数n1n1散；当l1时,级数un可能收敛也可能发散. ,就级数un发散；如存在p1,n18）极限审敛法：n1u为正项级数, 如lim nnu n0或lim nnunn1使得lim nnpunl0l,就级数n1un收敛 . 交叉级数：莱布尼茨审敛
16、法： 交叉级数：n11 nu ,un0满意：un1unn,12,3,且lim nu n0,就级数n11n u n收敛；任意项级数：u肯定收敛,就un收敛；n收敛,q1；p - 级数：n11收敛,p1n1n1常见典型级数：几何级数：aq发散,发散,p1npq1n0（二） 函数项级数名师归纳总结 1、定义：函数项级数n1unx ,收敛域,收敛半径,和函数；第 8 页,共 10 页2、幂级数：n0an nx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1,03、收敛半径的求法：lim nan1,就收敛半径R0,0an4、泰勒级数绽开步骤：（直接绽开法）1）求出fnx ,
17、0n2,1,3,；xx 0n10是否成立；2）求出0,1, ,2；fnx 0,n3）写出x 0n；fn xxn0n.4）验证lim nR nxlim nfn1n.1间接绽开法：（利用已知函数的绽开式）名师归纳总结 1）exn01xn,x,；,；1函 数 系中 任 何不 同的 两 个 函数 的 乘积 在 区间第 9 页,共 10 页n.2）sinxn01 n1211 .x2n1,xn；3）cosxn01 n11.x2n,x2 n4）11xn0xn,x,11；5）11xn01nxn,x,116）ln1xn01nxn1 ,x,11n1n,x,17）112n01 nx2n,x,11 x8） 1x m1
18、n1m m1mn1 xn .5、傅里叶级数1）定义：sinnx ,cos nx正 交 系 ：,1sinx ,cosx ,sin2x ,cos 2x ,上积分为零；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 傅里叶级数：fxa 0n1 ancosnxb nsinnx2系数：an1fx cos nxdx n0,12,；条件 : bn1fxsinnxdxn,12,32）收敛定理： 绽开定理 设 f x 是周期为 2 的周期函数 , 并满意狄利克雷 Dirichlet 1 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2 在一个周期内只有有限个极值点, 就 f x 的傅里叶级数收敛 , 且有3）傅里叶绽开：求出系数：an1fxcosnxdxn0,1,2 ,b n1fxsinnxdxn1 ,2,3,；写出傅里叶级数fxa 0n1 ancosnxb nsinnx 2依据收敛定理判定收敛性；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页