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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结三角函数 1、角的概念的推广 ：平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图 形；按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条 射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角；射线的起始位置称为始边,终止位置称为 终边；2、象限角的概念 ：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非 负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角；假如角的终边在坐标 轴上,就认为这个角不属于任何象限；3. 终边相同的角的表示 ：2 kkZ ,留意 ：
2、（1） 终边与终边相同 的终边在终边所在射线上 相等的角的终边肯定相同, 终边相同的角不肯定相等. 如 与角1825 的终边相同, 且肯定值最小的角的度数是,合弧度；名师归纳总结 （2）终边与终边共线 的终边在终边所在直线上 （答：k25 ；536 k Z . ）第 1 页,共 12 页（3）终边与终边关于 x 轴对称2kkZ . （4）终边与终边关于 y 轴对称2kkZ . （5）终边与终边关于原点对称2kkZ . （6）终边在 x 轴上的角可表示为：k,kZ ；终边在 y 轴上的角可表示为：k2,kZ ；终边在坐标轴上的角可表示为：k,kZ . 如的终边与6的2终边关于直线yx对称,就_；
3、（答：2k3,kZ）4、与 2 的终边关系 ：由“ 两等分各象限、一二三四” 确定. 如如是其次象限角,就2是第_象限角（答：一、三）5. 弧长公式 ：l|R ,扇形面积公式：S1 2lR1 | 2|2 R ,1 弧度 1rad57.3 .如已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是1 弧度,求该扇形的面积；（答： 22 cm ）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角, P , x y 是的终边上的任意一点（ 异 于 原 点 ）, 它 与 原 点 的 距 离 是rx2y20, 那 么 s i ny, c o sx,rrtany,x0,cotxy0,secrx0,cscry0；三角
4、函数值只xyxy与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关； 如（1）已知角的终边经过点 P5, 12,就sincos的值为；（答：7）；13- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）设|名师精编优秀资料3 ）；2是第三、四象限角,sin2m3,就 m的取值范畴是 _ 4m（3）如（答：（1,sin|cos|0,试判定cotsintancos的符号sincos（答：负）7. 三角函数线的特点 是：正弦线 MP“ 站在 x 轴上 起点在 x 轴上 ” 、余弦线 OM“ 躺在x 轴上 起点是原点 ”、正切线AT“ 站在点A1,0处 起点是 A ” . 三角函
5、数线的重要应x 用是比较三角函数值的大小和解三角不等式；如y （1）如80,就 sin,cos,tan的大小关系为 _ B P S T （2）如为锐角,就,sin, tan 答： tansincos ；O M A 的大小关系为 _ （答： sintan）；（3）函数y12cosxlg2sinx3的定义域是 _ （答：2k3,2k2kZ ）38. 特殊角的三角函数值 ：3045600901802701575sin1230 1 0 1 642642222cos3211 0 1 0 642642222tan31 30 0 2-32+33cot31 30 0 2+32-339. 同角三角函数的基本关系
6、式：（1）平方关系：2 sin2 cos1,12 tan2 sec,12 cot2 csc（2）倒数关系： sincsc=1,cossec =1,tancot=1, （3）商数关系：tansin,cotcoscossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值；在运用平方关系解题时,要依据已知角的范畴和三角函数的取值,尽可 能地压缩角的范畴,以便进行定号；在详细求三角函数值时,一般不需用同角三角函数 的基本关系式,而是先依据角的范畴确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出 此三角函数值的肯定值； 如名师归纳总结 （1） 函数ysintan的值的符
7、号为 _ （答：大于 0）；第 2 页,共 12 页coscot- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2） 如02x2,就使1名师精编优秀资料,）；sin22xcos 2x成立的 x 的取值范畴是 _ （答： 0,434（3） 已知sinm m3,cos42 m2,就 tan_ 5m5（4） 已知（答：5 ）；12tan1,就sin3cos_；sin2sincos2_ tan1sincos（5） 已知（答：5 ；313 ）；5sin200a,就tan160等于A、aB、1aa2C、1aa2D、1aa21a2（6） 已知fcosx （答： B）；cos3x
8、,就fsin30的值为 _ （答： 1）；10. 三角函数诱导公式（k）的本质是：奇变偶不变（对 k 而言,指 k 取奇数或2偶数）,符号看象限（看原函数,同时可把 看成是锐角） . 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤： （1）负角变正角,再写成 2k + ,0 2；2转化为锐角三角函数； 如名师归纳总结 （1）cos9tan7sin 21的值为 _ 第 3 页,共 12 页46（答：23）；23（2）已知sin5404,就cos270_,如为其次象限角,就5sin 180cos3602_；tan 180（答：4 ；53）10011、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：s
9、insincoscossin令sin 22sincoscoscoscossinsin令cos22 cossin22 2cos112sin2tantantan2 cos1+cos21tantan22 sin1cos22tan212 tan2 tan- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如（ 1）以下各式中,值为1的是名师精编优秀资料2A、sin15cos 15B、2 cos12sin2120,就 P 是 Q 的（答： C）；C、1tan22 5D、1cos 30tan Btan222 52（2）命题 P：tan AB 0,命题 Q：tan AA、充要条件B、
10、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件（答： C）；（3）已知 sin cos cos sin 3,那么 cos 2 的值为 _ 5（答：7）；25（4）1 3 的值是 _ sin 10 sin 80（答： 4）；5 已知 tan110 0a ,求 tan50 的值（用 0a 表示）甲求得的结果是 a 3,乙求得1 3 a2的结果是 1 a,对甲、乙求得的结果的正确性你的判定是 _ 2 a（答：甲、乙都对）12. 三角函数的化简、运算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构；即第一观看角与角之间的关系, 留意角的一些常用变式, 角的变换是三角函数变换的核心！其次看函数名称
11、之间的关系,通常“ 切化弦”；第三观看代数式的结构特点；基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、 已知角与目标角的变换、 角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 . 如 , 2 ,2 ,22,2 2 2 等）,如（1）已知 tan 2,tan 1,那么 tan 的值是 _ 5 4 4 4（答：3）；22（2）已知0,且 cos 1,sin 2,求 cos 的2 2 9 2 3值名师归纳总结 （3）已知,为锐角, sinx ,cosy ,cos3（答：490 729）；第 4 页,共 12 页,就 y 与 x的函数关系5为_ - - - - - - -精选学习资料 - - - - -
12、 - - - - 名师精编优秀资料y31x24x 3x1）（答：2 三角函数名互化 切割化弦 ,如555（1）求值 sin50 1 3 tan10 （答： 1）；名师归纳总结 （2）已知sin 1cos1,tan2,求 tan2 的值第 5 页,共 12 页cos23（答：1 8）3 公式变形使用 （ tantantan1tantan；如（1）已知 A、B 为锐角,且满意 tanAtanBtanAtanB1,就 cosAB _ （答：2）；22 设ABC 中,tan Atan B33tan Atan B ,sin Acos A3,就此三角形是4_三角形（答：等边）4 三角函数次数的降升 降幂公
13、式：2 cos1cos2,sin21cos2与升幂公22式：1cos22cos2,1cos22sin2 ；如1 如,3 ,化简1111cos2为_ 22222（答： sin2）；（2）函数f x 5sinxcos x5 32 cos x53 xR 的单调递增区间为 _ 2（答： k12,k5 kZ ）125 式子结构的转化 对角、函数名、式子结构化同 ；如（1） tancossinsintancotcsc（答： sin）；（2）求证：1 sin1tan2；12sin221tan2（3）化简：4 2cosx2 2cosx122 tan42 x sin 4x 6 常值变换主要指“1” 的变换 （1
14、sin2x2 cosx2 secxtan2（答：1 cos2 2x ）xtanxcotx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - tan4sin2名师精编优秀资料等）,如已知 tan2 ,求 sin 2sin cos 3cos 2（答：3）.5x、sin cos x” 的内存联系“ 知一求二”,如7 正余弦“（1）如 sin三兄妹 sinxcosxcosxt ,就 sinxcosx_ 2（答：t 1 ,特殊提示 ：这里 t 2, 2；2（2）如 0, ,sin cos 12,求 tan 的值；（答：4 7）；32（3）已知 sin 2 2sink ,试用 k
15、表示 sin cos 的值1 tan 4 2（答：1 k ）；13、帮助角公式中帮助角的确定：a sin x b cos x a 2b 2sin x 其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定,角的值由 tan b 确定 在求最值、化简时起着重要作用；a如（1）如方程 sin x 3 cos x c 有实数解,就 c 的取值范畴是 _. （答： 2,2 ）；（2）当函数y2cos x3sin x取得最大值时, tan x 的值是 _ 答：3；（3）假如fxsinx2cosx是奇函数,就 tan= 2答： 2；（4）求值：2 3 12 64 sin 220 _ sin 20 cos 20答：32
16、14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 y sin x 和余弦函数 y cos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为 0, , 3,2 的五点,再用光滑的曲线把这五点连2 2接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象；15、正弦函数 y sin x x R 、余弦函数 y cos x x R 的性质 ：（1）定义域 ：都是 R；名师归纳总结 （2）值域 ：都是1,1 ,对ysinx,当x2k2kZ 时, y 取最大值1；当第 6 页,共 12 页x2k3kZ 时, y 取最小值 1；对ycosx,当x2 kkZ时, y 取最大值21,当x2 kkZ 时, y 取最小值 1；如
17、（1）如函数yabsin3x6的最大值为3 ,最小值为 21 ,就 a 2_, b（答：a1 , 2b1或b1）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）函数fx sinx3cos名师精编优秀资料（答： 1, 2）；x（x2,2）的值域是 _ （3）如 2,就ycos6sin的最大值和最小值分别是 _ 、_ （答： 7；5）；（4）函数f x 2cosxsinx33sin2xsinxcosx 的最小值是 _,此时 x _ cos1,求tsin（答： 2；k12kZ ）；（5）己知sincos的变化范畴2（6）如sin22sin 2,求（答：0,1）；2
18、cos2ysin2sin2的最大、最小值（答：ymax1,ymin222）；特殊提示 ：在解含有正余弦函数的问题时, 你深化挖掘正余弦函数的有界性了吗？|（3）周期性 ：ysinx、ycosx的最小正周期都是2；f x Asinx和f x Acosx的最小正周期都是T2|；如（答： 0）；|1 如fxsinx,就f1f2f3f2003_ 32函数f x 4 cosx2sinxcosx4 sin x 的最小正周期为 _ （答：）；3 设函数fx 2sin2x5,如对任意xR都有fx 1fxfx 2成立,就x 1x 2|的最小值为 _ （答： 2）（4）奇偶性与对称性 ：正弦函数 y sin x
19、x R 是奇函数,对称中心是 k ,0 k Z ,对 称 轴 是 直 线 x k k Z； 余 弦 函 数 y cos x x R 是 偶 函 数 , 对 称 中 心 是2k ,0 k Z ,对称轴是直线 x k k Z （正余弦型函数的对称轴为过最高点或2最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点）；如（1）函数 y sin 52 x 的奇偶性是 _、2（答：偶函数）；（2）已知函数f x ax3 bsin x1 a,b 为常数）,且f 57,就f 5_ （答： 5）；（ 3） 函数y2co s x sinxco s x的图象的对称中心和对称轴分别是_、_ 名师归纳总结 -
20、 - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀资料8, kZ 、xk8 kZ ）；（答：k 22名师归纳总结 （4）已知f x sin x3cosx 为偶函数,求的值；X（答：k6 kZ ）（ 5 ） 单 调 性 ：ysinx 在2k2,2k2kZ上 单 调 递 增 , 在2k2,2k3kZ单调递减；ycosx在 2k,2kkZ 上单调递减,在22 k,2k2kZ 上单调递增； 特殊提示 ,别忘了 kZ ！16、形如yAsinx的函数：（1）几个物理量 ：A振幅；f1频率（周期的倒数） ；x相位；初T相；（2）函数yAsinx表达
21、式的确定 ：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定,xAx0,0,|2的图象如下列图, 就 f 2Y2如f Asin3159_（答：f x 2sin3）；-22（ 3 ） 函 数yAsinx图 象 的 画 法 ： “五 点 法 ” 设23题 图第 8 页,共 12 页Xx,令 X 0,2, ,3,2求出相应的 x 值,运算得出五点的坐标,描点后得出2图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法；（4）函数yAsinxk 的图象与ysinx 图象间的关系 ：函数ysinx 的图象纵坐标不变,横坐标向左（0）或向右（0）平移 |个单位得ysinx的图象 ； 函 数ysinx图 象 的 纵 坐
22、 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的1, 得 到 函 数ysinx的图象；函数ysinx图象的横坐标不变,纵坐标变为原先的A倍,得到函数yAsinx的图象；函数yAsinx图象的横坐标不变,纵坐标向上（k0）或向下（k0）,得到yAsinxk 的图象；要 特殊留意 ,如由ysinx 得到ysinx的图象,就向左或向右平移应平移|个单位, 如（1）函数y2sin2x41的图象经过怎样的变换才能得到ysinx 的图象？（答：y2sin2x41向上平移 1 个单位得y2sin2x4的图象,再向左平移8个单位得y2sin 2x 的图象,横坐标扩大到原先的2 倍得y2sinx 的图象,最终将
23、纵坐标缩小到原先的1即得ysinx 的图象）；22 要得到函数ycosx4的图象,只需把函数ysinx的图象向 _平移 _22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料个单位（3）将函数 y 2sin2 x 7 13这样的向量是否唯独？如唯独,求出（答：左；2）；图像,按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称,a ；如不唯独,求出模最小的向量（答：存在但不唯独,模最小的向量a6, 1）；（4）如函数fxcosxsinx x0, 2的图象与直线 yk 有且仅有四个不同的交点,就 k 的取值范畴是（答： 1, 2 ）（ 5）讨论函数 y A
24、sin x 性质的方法：类比于讨论 y sin x 的性质 ,只需将y A sin x 中的 x 看成 y sin x 中的 x ,但在 求 y A sin x 的单调区间时,要特殊留意 A和 的符号,通过诱导公式先将 化正；如（1）函数 y sin 2 x 的递减区间是 _ 3（答： k 5,k k Z ）；12 12（2）y log cos x 的递减区间是 _ 2 3 4（答： 6 k 3 , k 3 k Z ）；4 4（3）设函数 f x A sin x A 0 , 0 , 的图象关于直线 x 2 对称,它2 2 3的周期是,就A、f x 的图象过点 0 , 1 B、f x 在区间 5
25、 , 2 上是减函数2 12 3C、f x 的图象的一个对称中心 是 5, 0 D、f x 的最大值是 A 12（答： C）；（4）对于函数 f x 2sin 2 x 给出以下结论：3图象关于原点成中心对称；图象关于直线x12成轴对称；3个单位得到；图象可由函数y2sin 2x 的图像向左平移图像向左平移12个单位,即得到函数y2cos 2x 的图像；其中正确结论是 _ （答：）；名师归纳总结 的距离为（5） 已知函数f x 2sinx图象与直线y1的交点中,距离最近两点间第 9 页,共 12 页3,那么此函数的周期是 _ - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
26、 - 名师精编优秀资料（答：）17、正切函数ytanx的图象和性质 ：x x2k,kZ ；遇到有关正切函数问题时,你留意到正切函数（1）定义域：的定义域了吗？（2）值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是,它与直线 ya 的两个相邻交点之间的距离是一个周期；肯定值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来,某一周期函数解析式加肯定值或平方,其周期性是：弦减半、切不变 既为周期函数又是偶函数的函数自变量加肯定值, 其周期性不变, 其它不定； 如 y sin 2x , y sin x 的周期都是 , 但 y sin xcosx 的周期为,而 y |2sin3 x
27、|, |2sin3 1y 2| x,y | tan x 的周期不变；2 6 2 6（4）奇偶性与对称性：是奇函数,对称中心是 k ,0 k Z ,特殊提示 ：正 余2切型函数的对称中心有两类：一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处；（5）单调性： 正切函数在开区间2k,2kkZ内都是增函数； 但要留意在整个定义域上不具有单调性；如下图：三角函数图象几何性质y=Asin x+ y A sin x y三角函数图象几何性质y=Atan x+ yOxOxx3x4x3x4邻中心轴相距 x=x1 T x=x24邻中心 |x3-x4|=T/2
28、邻轴 |x1-x2|=T/2邻中心 |x3-x4|= T/2x=x1x=x2邻渐近线 |x1-x2|=T无穷对称中心 :无对称轴无穷对称中心 :无穷对称轴 :任意一条 y轴的垂线与正切 函数图象都相交 ,且相邻两 交点的距离为一个周期！由y=0确定由y=A或-A确定由 y=0或 y无意义确定18. 三角形中的有关公式 ：1 内角和定理 ：三角形三角和为,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能遗忘！ 任意两角和 与第三个角总互补, 任意两半角和 与第三个角的半角总互余 . 锐角名师归纳总结 三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边第 10 页,共 12 页的平方和大
29、于第三边的平方. 2 正弦定理 ：a sinAb sinBc sin C2 R R 为三角形外接圆的半径. 留意 ：正弦定理的一些变式：i a b csinAsinBsinC ；iisinAa,sinBb,sinC2R2Rc 2 R；iii a2 sinA b2 sinB b2RsinC ；已知三角形两边一对角,求解三角形时,如运用正弦定理,就务必留意可能有两解. 3 余弦定理 ：a2b22 c2 bccos ,cosA2 b2 c2 bc2 a等,常选用余弦定理鉴定三角形的外形 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料 4 面积公式
30、：S 12 ah a 12 ab sin C 12 r a b c （其中 r 为三角形内切圆半径） .如 ABC 中,如 sin 2 A cos 2 B cos 2 A sin 2 B sin 2 C,判定 ABC 的外形（答：直角三角形）；特殊提示 ：（1）求解三角形中的问题时,肯定要留意 A B C 这个特殊性：A B C ,sin A B sin C ,sin A Bcos C；（2）求解三角形中含有边角混合关系的2 2问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化；如（1）ABC 中, A、B 的对边分别是 a、 ,且 A=60 , a 6 , b 4,那么满意条件的 ABC A、 有
31、一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答： C）；（2） 在 ABC 中,AB 是 sin A sin B 成立的 _条件（答：充要）；（3） 在 ABC 中, 1 tan A 1 tan B 2,就 log sinC _ （答：1）；24 在 ABC 中 ,a , b ,分 别 是 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 , 如 a b c sin A sin B sinC 3 a sin B ,就 C _ （答： 60 ）；（5） 在ABC 中,如其面积Sa2b22 c,就C =_ 4 3（答： 30 ）；（6）在ABC 中,A60, b1,这个三角形的面积为3 ,就ABC 外接圆
32、的直径是_ （7）在 ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边,a3,cosA（答：2 39 3）；1,就cos2B2C= ,3b22 c 的最大值为（答：1 9 3 2）；（8） 在 ABC 中 AB=1 ,BC=2,就角 C 的取值范畴是（9） 设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,如C75,且AOB（答： 0C6）；,BOC,COA 的面积满意关系式SAOBSBOC3 SCOA,求A（答： 45 ）19. 反三角函数 ：（1）反三角函数的定义 （以反正弦函数为例） ：arcsin a 表示一个角,这个角的正弦值为a ,且这个角在2,2内 1,a1； 2 反正弦 arcsin x 、反余弦arccosx 、反正切arctan x的取值范畴分别是2,20 ,2,2.在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与名师精编优秀资料2l 的夹角以及两向量的夹角时,你是否留意到了它们的