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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载约束问题与临界值现行高中物理教材的各种版本中,都未曾提及约束问题；然而, 有关约束问题的习题却不少,就是在高考中也常显现这类题型；至于中学物理竞赛试题中更是屡见不鲜,并常以拔高题显现；下面拟就中学物理中有关约束问题,作一浅析；1有关约束问题的基本概念假如某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动,我们就说该物体的运动受到约束；那么该曲线或曲面就称为约束；例如图 1 中单摆小球被限制在圆弧上运动；图 2 中物体 m 沿（光滑或粗糙的）斜面下滑,物体 m 被限制在斜面上运动；图 3 中导体 ab 被限制在导电滑轨 MN 上运动等等,
2、 都属于约束问题； 图 1 中的摆线, 图 2 中的斜面, 图 3 中的滑轨等都叫约束；由此可以看出,约束既是实在的物体,又是某些物体对别的物体运动限制作用的抽象；约束的分类随依据不同而异；按约束随时间转变与否,可分为稳固约束与不稳固约束；例如图2 中,假如斜面体是固定的,就称为稳固约束,假如斜面体是放在光滑的水平面上,当 m 下滑时,斜面体本身也作加速运动,就称为不稳固约束；按其约束的方一直分,可分为单向约束和多向约束；如图 1 中, 小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制,就称为单向约束； 图 4 中,带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时,除沿杆的方向以外,其他方向都受到限制,称为多向约束；从
3、约束的光滑情形来分,又可分为光滑约束和有摩擦约束；名师归纳总结 力学中把约束对物体的作用力,称为约束反力；例如图1 中绳子对小球的拉力,图2第 1 页,共 16 页中斜面对物体的支持力等等都叫做约束反力；由上述定义可以看出,约束反力是因其起源和- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载作用而得名, 在含意上有其狭义的规定性,就性质而言都属于弹力,且都是约束对争论物体的作用力；2约束反力的求解约束反力的大小及其变化情形,往往不能预先知道, 也不是都能由平稳条件运算出来的,而需要依据物体的运动被限制在约束上这一条件,运用牛顿运动定律列方程求解
4、；例 1一质量为 m 的小球,与长为 l 的细绳组成一单摆；现将此单摆拉到与竖直线成 角的位置,由静止释放,在摇摆途中,摆绳被一钉子 A 所阻,钉子与摆的悬挂点 o 相距 r,两者连线与竖直线成 角；如图 5 所示；试求：（1）摆绳为钉子所阻后,绳子张力的表达式；（2）小球在连续上升的过程中,如摆绳发生弯曲,在此情况下, L、 r、 、 之间的关系；解析 （1）小球从开头摇摆到摆绳发生弯曲之间,都属于单向约束问题； 小球摆到图示位置B 时,是以钉子 A 为圆心的, 以 L r 为半径的圆周运动；设绳子对小球的约束反力为T,AB 线与竖直夹角为 ,由机械能守恒定律得由牛顿运动定律得此时法向方向方
5、程式（ 1）、（ 2）联立解得（2）如绳子发生弯曲,就T=0 ,意味着约束解除,由此条件求得名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1cos 0 即由此得出的 L,r, , 应满意的条件为3（L-r ） -2（rcos -Lcos ） 0 即3双向约束问题中约束反力的转换假如约束从两侧限制物体的运动,就约束反力的方向是可能发生转变的,这一点可以通过下面的例子看出；例 2用细线把质量为M 的大圆环挂起来,环上套有两个质量均为m 的小环,它们可以在大环上无摩擦地滑动；如两小环同时从大环顶部由就大环会升起
6、来； 并求 大环开头上升时小环位置 为多少？解析 此题中小环受到双向约束；设细线张力为 T,小环与大环间相互作用力为N（即约束反力）,小球滑到位置 角时的速度为v；就由式（ 1）、（ 2）可解得约束反力名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载N=mg （3cos -2）变方向；小环对大环的反作用力将可以供应向上的分力,从而可能使大环升起；对大环： T=Mg 2Ncos （3）当大环升起时,绳子张力T=Mg+2Ncos T=0 ,（绳对大环的约束解除）=Mg+2mg （3cos -2）cos=0 6m
7、cos 2 -4mcos +M=0 cos 有解,此时小环的位置用 角表示为4.有摩擦力的约束中的区间问题约束反力在约束（曲线或曲面）的垂直方向（法向）,假如有摩擦存在,它却在约束的名师归纳总结 切线方向； 因此在争论有摩擦的约束问题时,先要依据物体有几个可能的运动方向,确定相第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 应的摩擦力的方向；优秀学习资料欢迎下载故而摩擦力的方向也就有两最常见的情形是存在两种可能的运动方向,种可能取向；因此,在运用牛顿运动定律列方程时,也将会显现两组,这就导致某些相关量参数有一变化区间；例 3有一顶角为 60
8、的锥形容器,在距顶点 o 为 L=1.0m 处有一质量 m=1.0kg 的小物体,让物体 m 与容器一起绕通过 o 点的竖直轴线作匀速转动（见图 7）；（ 1）如 1=5rad/s,就摩擦因数 至少应为多大才能实现这一情形？（实现这一情形？2）如 2=8rad/s 时, 应为多大才能解析 （1）先假设物体有向下滑动的趋势,就摩擦力将沿斜面 向上, 物体受力如图 8 所示, 沿圆周的切向和法向建立直角坐标系,就牛顿运动定律方程为解得Nmgsin +m 2Lsin cos=15.8（ N）名师归纳总结 f=mgcos m2Lsin2第 5 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 -
9、 - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载=2.41（N）f0,说明方向上与假设相符；（2）由 f=mgcos -m2m2Lsin2 可知当 f = 0 时, w 有一个临界角速度 0 存在；由此得mgcos =m 2Lsin 2即当 0 时,有下滑的趋势, 摩擦力向上； 当 0 时,有上滑趋势, 摩擦力向下； 2=8rad/s 0,故 f 向下,受力如图Ncos +fsin = 2mLsin Nsin =mg+fcos 解得9 所示；牛顿运动定律方程名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2= f / N
10、=7.34/32.7=0.22 优秀学习资料欢迎下载此题中,假如 是恒定的,就要使m 在确定的高度与锥形容器一起作圆周运动,就角速度 必有一个变化范畴,即当 0时,有下滑趋势,f 向上,相应建立牛顿运动方程求出 的最小值 max；当 0 时,有上滑趋势,f 向下,相应建立牛顿运动方程,求出 的最大值 max,就 的变化范畴是 min max；5.单向约束解除的可能性（临界值问题）假如约束对物体的限制是单侧的,即它只限制物体不得从某一侧脱离约束,但却答应物体从另一侧脱离,在这类约束中,约束反力也是单侧的；对于这种单侧约束,应当留意约束解除的可能性；如在例 1 中, 角在 0 90 的范畴内是不会
11、解除约束的,当其 角足够大,小球摇摆,使 角 90 ,才可能向内作抛体运动,即约束解除有可能；如 =180 ,而小球仍没有离开圆周,就以后再也不行能离开圆周了；所以约束解除的范畴只能在 90 180 ； 假如 角大到可以使小球能以 A 为圆心, L r 为半径作圆周运动,就小球的单向约束将不能被解除；约束解除问题也称临界值问题；在详细问题中,何时解除约束,往往不能预先知道；为了找出约束解除的时刻（或位置）即临界值状态,常用的方法是：先假定物体不脱离约束、将假设的约束反力代入牛顿运动方程中求解,解出约束反力的表达式后,令其约束反力等于零（这就意味着约束解除）,由此可求出相应的时刻（或位置）；例
12、4（ 83 年高考题）一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角为 30 （图示 10）,一条长度为 L 的绳（质量不计）一端固定在圆锥体的顶点 A 处,另一端系着一质量为 m 的小物体（小物体可看作质点）,物体以速度 运动（物体和绳在附图中都没画出）；求v 围着圆锥体的轴线作水平匀速圆周名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载运动的,物体不仅受绳的力,而且同时受到锥面的力；受力如图依据牛顿运动定律的方程得11 所示；沿圆周运动的法向和切向建立直角坐标系,Nsin30
13、+Tcos30 =mg （2）解得N 为正值说明 N 的方向与假设相符合；（2）当 N=0 时,斜面对物体的约束解除物体处于临界状态,设此时速度为 v0,那么名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载Tcos30 =mg（2）解得面做圆锥摆运动；设绳与竖直夹角为 ,受力如图 12 所示,那么解得T=2mg = 45此题中,无论 v 为何值,绳子的约束是不能解除的；下面两例也是临界问题例 5光滑的斜面上用绳拴一质量为 m 的小球,如图 13 所示；当斜求绳上张力分别是多大？名师归纳总结 - - - -
14、- - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解析 当加速度较小时,小球是压 在斜面上的,小球受重力 G、支持力 N 和张力 T 三个力的作用,受力如图 14 所示；当加速度很大时,小球将飘离斜 面,此时小球只受重力 G 和张力 T的作 用,受力如图 15 所示；为精确判定是属于哪一种情形, 必需以小球压在斜面上仍是飘离斜面为界,a0；当 aa0时,小球压在斜面上,且有支持力存在；当求出其制约参量加速度的临界值 aa0 时,小球飘离斜面,当然也就没有支持力存在了；因此解这类问题时,可以先求出临界加速度小球将要飘离斜面时,N=0,但绳子
15、与斜面仍旧平行；受力如图15 所示,其运动方程为Tcos45 =ma0 （1）Tsin45 =mg （2）联立式（ 1）、（ 2）解出 a0=g 此时小球受力如图 14 所示；其运动方程为Tsin45 +Ncos45 =mg（4）名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载力如图 15 所示；此时绳与斜面已不再平行,设这时绳与水平方向的夹角为 ,其运动方程为Tsin = mg（6）例 6一支圆柱形的玻璃管,质量为20g,密度为 2g/cm3,高 12cm,容积为 20cm3；它的一端封闭, 一端开口；
16、 现将其开口端竖直向下压入水中,在下压过程中管内的空气不跑出,且温度保持不变； 求,当将管口压入水中 H 1=4m 和 H2=14m 深处时, 放手后管将如何运动？解析 设管口压入某一深度H 0 时,放手后管处于平稳状态；这时管内空气的体积为 V 2,管内液面与管口的距离为 h2,与水面的距离为 h1,如图 16 所示；设玻璃管的体积为 V 3,以系统为对象,由平稳条件（忽视管内空气的重力）：mg=（V 3+V 2） 水 g （1）代入（ 1）式解得名师归纳总结 V 2=10g/cm3第 11 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习
17、资料欢迎下载1,玻璃管平稳时为状态2,由再以管内封闭的空气为争论对象,取压入水中前为状态玻意耳定律有：P1V 1=P2V 2 （2）P2=P1+P 水P水=P2-P1=1 10 5（Pa）P水= 水gh1 h1=10m 这是一种不稳固平稳,当压入的深度H 1=4m H 0 时,浮力大于重力,玻璃管将会变加速上浮；当H 2=14mH 0 时,浮力小于重力,玻璃管将变加速下沉；H0 是以玻璃管上浮或下沉为界时制约参量水的深度的临界值；例 7如图 17 所示,一质量为m 的小球,带正电荷Q,固定在绝缘细绳 oA 的 B 点,oB = r,A 端套在以 o 为圆心,R 为半径的光滑圆环上；整个系统同处
18、在光滑绝缘的水平面上,且平面所在的区域具有强度为 B 方向竖直向上的匀强磁场；当 A、B 绕 o 以匀角速 在水平面上顺时针旋转时,试争论 AB 和 oB 两段绳的张力大小和方向；解析 设当 =0 时,两段绳刚好伸直且张力都为零,而且绳子只能有张力不行能有压力；名师归纳总结 小球在作圆周运动时,可能受到任一段绳子的张力,令这个张力为T,规定沿半径指向圆心第 12 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的为正；小球受到的洛仑兹力优秀学习资料欢迎下载T 与FB= BQv = BQ r,它的方向总是沿半径指向圆心的；FB的合力就是小球作圆周运动的
19、向心力；其运动方程为T+F B=m 2r T=m 2rBQ r 当 0 时,小球受到oB 绳指向 o 的张力, AB 段不受力；当 0时,小球受到AB 绳沿半径向外的张力,oB 段不受力；可见,以两段绳子哪段受力为界, 0是制约参量的临界角速度；6.临界值问题不仅在力学临界值问题在电学、热学、 光学及综合物理题中是屡见不鲜的,只要抓住显现两种不同物理现象或状态的界,找准制约参量的临界值,这类问题就可迎刃而解,例 8物体在透镜前垂直于透镜主轴放置,通过透镜成放大三倍的像；然后将物体向着透镜平行移近 2cm,又得到放大二倍的像；求透镜的焦距；解析 由通过透镜成放大的像,可推知此透镜肯定是凸透镜；物
20、体通过凸透镜既可在异侧成放大的实像, 又可在同侧成放大的虚像；是放大实像仍是放大虚像,是由物距的大小决定的,物距等于焦距是成实像或虚像的临界；所以此题有两解；第一种情形：物体从大于焦距处移到小于焦距处,即先成放大实像,后成放大虚像；设名师归纳总结 透镜焦距为f ,先后的物距和像距分别为u1、u2、v1、v 2,由透镜成像公式得第 13 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（v1=3u 1, v 2=2u 2）由题意 u1-u2=2（cm）得 f1=2.4（cm）；其次种情形：两次物体都在焦点以内,先后都成放大虚像；同
21、理可得由题意 u1-u2=2（cm）得 f 2=12（cm）；跟踪训练1如图 18 所示,将质量为1kg 的小球挂在倾角为30 的光滑斜面绳对向向右作匀加速运动时,球的拉力和球对斜面的压力；（2）斜面体的加速度至少多大,向哪个方向时,小球对斜面的压力为零？（3）斜面体的加速度至少为多大,向哪个方向时,绳子的张力为零？2.如图 19 所示,小车中有一夹角为 60 的轻支架,其右端 B 处固定一个质量为 1kg 的重球；求：（1）当车以 2m/s 2 的加速度向右匀加速前进时,水平杆BC 受到的作用力；（2）要使 BC 杆受力为零,就车的加速度大小和方向又应如何？名师归纳总结 - - - - -
22、- -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载3一个光滑的圆锥面固定在水平桌面上,轴线沿竖 直方向,圆锥角 =60 ,如图 20；一条长为 0.2m 的轻 质细线,一端固定在圆锥面内的顶点 o 处,另一端拴着 一个质量为 0.1kg 的物体,悬挂在圆锥面内作水平匀速 圆周运动；求： （1）当物体的角速度多大时,物体和圆 锥面内表体的拉力多大？物体 对圆锥内表面的压力多大？4.某电池的电动势 =5V ,内电阻 r=10 ,与一个 R=90 的固定电阻和一个可变电阻 R 0串联的电路中,求 R0 由零增加到 400 的过程中,可变电阻 R0 上消耗的热功率最大的条 件和最大热功率；5.肯定质量的抱负气体,由状态a 沿直线变化到状态b,如图 21 所示；问在此过程中,气体分子的平均速率变化情形如何？跟踪训练提示与答案名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载5 质量肯定的抱负气体分子的平均速率与其状态参量 T 相对应,而之积大于 4 的临界点,即 PV 乘积最大值,对应的温度最高；因而气体分子的平均速率是先增大后减小的；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页