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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 分数裂项运算教学目标本讲学问点属于运算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发觉规律、利用公式的过程,可以分为观看、改造、运用公式等过程；许多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简洁明白；本讲是整个奥数学问体系中的一个精华部分,前提,是才能的表达,对同学要求较高；学问点拨分数裂项一、“ 裂差” 型运算列项与通项归纳是密不行分的,所以先找通项是裂项的将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项运算称为裂项法 . 裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差；遇
2、到裂项的运算题时,要认真的观看每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的运算, 一般都是中间部分消去的过程,这样的话, 找到相邻两项的相像部分,让它们消去才是最根本的；1 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 1 形式的, 这里我们把较小的数写在前面,即 a b ,a b那么有 1 1 1 1a b b a a b2 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即：1,1 形式的,我们有：n n 1 n 2 n n 1 n 2 n 31 1 1 1 n n 1 n 2 2 n n 1 n 1 n 21 1 1 1 n n 1 n 2
3、 n 3 3 n n 1 n 2 n 1 n 2 n 3裂差型裂项的三大关键特点：（ 1）分子全部相同,最简洁形式为都是1 的,复杂形式可为都是xx 为任意自然数 的,但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1 的运算；（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满意相邻（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值；二、“ 裂和” 型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：2 个分母上的因数“ 首尾相接”名师归纳总结 1-2-2-1.分数裂项 . 题库老师版page 1 of 8第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）abaababb
4、11（2）a22 ba22 bbababbaabababa裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“ 两两抵消达到简化的目的”同时仍有转化为“ 分数凑整” 型的,以达到简化目的；例题精讲,裂和型运算的题目不仅有“ 两两抵消” 型的,【例 1 】111141516；223345【巩固】1011.1601111 1259【巩固】1029928L524423【例 2 】1112113L L12110012L公式的变式121nn21 n当 n 分别取 1, 2,3, , 100 时,就有12252101老师版page 2 of 8112112223112233411234411100210
5、01-2-2-1.分数裂项 . 题库名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1112113121100121222499221012233100100101211221311134991001002111111111122334991001001012111012100101200101 1 99 101求和公式推导：S1=1+2+3+4+5 + S1=5+4+3+2+1【例 3 】11315173L9912312535101【巩固】 运算：251117L1 355【巩固】251251251L251251488 12121
6、62000200420042022【巩固】 运算：235527745166222272911111 1629名师归纳总结 1-2-2-1.分数裂项 . 题库3 1 3 1 2 -1 5 + .page 3 of 8第 3 页,共 8 页老师版- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 4 】 运算：111111111281 16 18 1288244880120168224288方法一：1 4 6 +1 1 1 1 16 8 + 8 10 + 10 12 + 12 14 + 14 16 +1 1 1 1 1 1 1= 2 2 -4 + . + 14 -16
7、 + 16 -18 128= 1 2 4 +方法二：= 16 = 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1+ 1 + 1 1288 3 6 10 15 21 28 362 2 2 2 2 2 2 2= 16 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 722 2 2 2 2 2 21 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + 5 6 + 6 7 + 7 8 +2 8 9= 16 2 1 -1 2 +1 2 -1 3 + . +1 8 -1 9【巩固】11111111_612203042567290【巩固】11111113610152128一项隔一项来拆项= 1 +1
8、 1 -1 +1+1 1-1 +1+1 1-1 +12363251543728【巩固】 运算：1 211111111612203042567290【巩固】11111=1- 1-1 - . 31-122910；104088154238名师归纳总结 1-2-2-1.分数裂项 . 题库=1 1-1+1-1+ .1-1page 4 of 8第 4 页,共 8 页325581417老师版- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 5 】74.50.16 &3111L1118 1 13 33.753.23153563【例 6 】 运算：1121 61412021220
9、420【巩固】 运算：20221= 1 + 2 + . + 20 + 1 -1 2 +1 2 -1 3 + . +1 20 -1 21 20221202211 202218020221 270= ；1854108【巩固】 运算：1 21224_；6153577【巩固】 运算：1 311111115356399143195【巩固】 运算：1 251119299701 9899L9702 99001 1 1= 1 -+ 1 -+ . + 1 -2 6 99001 1 1= 99 - + + . + 2 6 99006122030【例 7 】113214L7192381-2-2-1.分数裂项 . 题
10、库老师版page 5 of 8名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【巩固】 运算：113214L9811002399【巩固】 运算：152 1 4 11L 201 2 4 -11 20 22 -1 22 24 1 34 611 3 -3 5 713 5 +22 2414 6 + . +=【巩固】19939897L 199 100 1012 3+ 1 -2 3 4 3 4 5+ . 1 -9922 = 1 -3 4 3 4 51+ 1 -1 2 399 100 101【例 8 】121342314534156671897
11、81109【例 9 】 运算：15=1 3 1 1 2 3 -1 2 3 4 + . +1 7 8 9 -1 8 9 1074L 82 + 319+ . +23239 10 3 + 4 + 2 3 49 + 10=1 2 38 9 101-2-2-1.分数裂项 . 题库老师版page 6 of 8名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 10 】111= 1 -1 22234156161 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 53 1 4-+1 2 3 1 2 3 1 2 3 41-1 2 3 4 5 6 72314
12、523456 77+-+ . +1 2 3 41 2 3 4 5 6 7【巩固】 运算：2 3.3L99 . 4.100.【例 11 】122123231234234L123L5012L5011149= 2 1 1 -1 + 3 1 31 1 + 2-1 + . + 50 1 1-121 + 21 + 2 + 3501 + 2 + . + 491 + 2 + . + 50【巩固】1122）12323L123L91023L10（111【例 12 】5 566778899106677889910【巩固】3657911+13+5+3 + 4+4 + 5+5 + 6+6 + 7576122030 3
13、= 542 6763 44 55 66 7【巩固】运算：1325791011193457820212435名师归纳总结 1-2-2-1.分数裂项 . 题库老师版page 7 of 8第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【巩固】1237=1 3 +3 4 +2 5 +5 7 +7 8 +4 + 5 4 5 +3 + 7 3 7 +3 + 8 3 8 +5 + 7 + 75 791117253571220283042【巩固】111112010263827=41 - 327=31 - 4233031 1041 5117 - 7=17 7119 26120 12330 -4=30 4124 3811912012341 312431 4【巩固】 运算：15791113151719【题型】运算6122030 42 56【难度】 3 星7290【考点】分数裂项1-2-2-1.分数裂项 . 题库老师版page 8 of 8名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页