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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一章 解三角形一. 正弦定理：1. 正弦定理： 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,即 a b c2 R（其中 R是三角形外接圆的半径）sin A sin B sin C2. 变形： 1）a b c a b csin sin sin C sin sin sin C2）化边为角：a : b : c sin A : sin B : sin C；a sin A ; b sin B; a sin A;b sin B c sin C c sin C 3）化边为角：a 2 R sin A , b 2
2、R sin B , c 2 R sin C 4）化角为边：sin A a ; sin B b; sin A a;sin B b sin C c sin C c 5）化角为边：sin A a, sin B b, sin C c2 R 2 R 2 R3. 利用正弦定理可以解决以下两类三角形的问题：已知两个角及任意边,求其他两边和另一角；例：已知角 B,C,a ,asin解 法 ： 由 A+B+C=180 o , 求 角 A, 由 正 弦 定 理asinA;bsinB;bsinBcsinCA;求出 b 与 c csinC已知两边和其中边的对角,求其他两个角及另一边；例：已知边 a,b,A, 弦定理解
3、法：由正弦定理asinA求出角 B,由 A+B+C=180 o 求出角 C,再使用正bsinBasinA求出 c 边csinC4. ABC中,已知锐角 A,边 b,就absinA时,B无解；b bsinAabsinA或ab时, B有一个解；bsinAab时,B有两个解；A 如：已知A60,a2,b23, 求 B 有一个解 已知60,2,23Aba, 求 B 有两个解 留意：由正弦定理求角时,留意解的个数；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二. 三角形面积1.S ABC1absinC1bcsinA1a
4、csinBc, 2222. S ABC1abcr, 其中 r 是三角形内切圆半径 . 23. S ABCppa pb pc, 其中p1ab24. S ABCabc,R 为外接圆半径4R5.S ABC2R2sinAsinBsinC,R 为外接圆半径三. 余弦定理 1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2 倍,即,所以为锐角是a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC2. 变形：cosAb2c2a22bccosBa2c2b22 accosCa2b2c22 ab留意整体代入,如：a2c2b2accosB123利用
5、余弦定理判定三角形外形：设 a 、 b 、 c是C 的角、 C 的对边,就：如,如c2b2a2A为直角,所以为钝角,就如钝角三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4. 利用余弦定理可以解决以下两类三角形的问题：1）已知三边,求三个角2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角四、应用题 1. 已知两角和一边（如A、B、C）,由 A+B+C= 求 C,由正弦定理求 a、b2. 已知两边和夹角（如 a、b、c）,应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用 A+B+C = ,求
6、另一角3. 已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A）,应用正弦定理求 B,由 A+B+C= 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要留意解可能有多种情形4. 已知三边a、b、c,应用余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = ,求角 C5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心,旋转到目将正北或正南方向作为起始方向标的方向线所成的角（一般指锐角） ,通常表达成 . 正北或正南,北偏东 度,北偏西 度,南偏东 度,南偏西 度 . 6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中 方的角叫仰角 , 视线在水平线下方的角叫俯角 . , 视线在水平线上视线铅 直仰角线 水平线俯角视线五、三角形中常见
7、的结论1）三角形三角关系： A+B+C=180 ； C=180 A+B；2）三角形三边关系：名师归纳总结 两边之和大于第三边：,BA,bsin；sinB第 3 页,共 4 页两边之差小于第三边：,；3）在同一个三角形中大边对大角：AaA 4 三角形内的诱导公式：tanBtanC,sinABsinC cosABcosC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - tanA2Btan2C学习必备cos C2sin C2欢迎下载sin2C2 C2cos225 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1sin sin cos cos sin . 2coscos cos .sin sin . 3tantan tan 1.tan tan . 6 二倍角的正弦、余弦、正切公式1sin 2 2sin cos . 2 . 2cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin3sin21cos2;cos21cos2224tan 2 2tan 1tan 2 .7 三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点 重心三角形三条中线的相交于一点 外心三角形三边垂直平分线相交于一点 内心三角形三内角的平分线相交于一点 旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一 点名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页