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1、学习必备欢迎下载解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180 ； C=180 (A+B) ；2、三角形三边关系：a+bc; a-bc 3、三角形中的基本关系：sin()sin,ABC cos()cos,ABCtan()tan,ABCsincos,cossin,tancot222222ABCABCABC4、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC5、正弦定理的变形公式：化角为边：2sinaR，2sinbR，2 sincRC；化边为角：sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；sin
2、sinsinsinsinsinabcabcCC6、两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 已知两角和其中一边的对角，求其他边角.( 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 7、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac=2R2sinAsinBsinC=Rabc4=2)(cbar=)()(cpbpapp8、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC9、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab10、余弦定
3、理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角）11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载若222abc，则90C；若222abc，则90C12、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线
4、交于一点题型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题1. 在ABC中， AB=3 ，AC=2 ，BC=10，则AB AC( ) A23B32C32D23【答案】 D 2 （ 1）在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形；（2）在ABC中，已知20acm，28bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ） 。3 （ 1）在ABC中，已知2 3a，62c，060B，求 b 及 A ；（2）在ABC中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7
5、ccm，解三角形4(2005 年全国高考江苏卷) ABC中，3A，BC3，则ABC的周长为（）A33sin34BB36sin34BC33sin6BD36sin6B分析：由正弦定理，求出b 及 c，或整体求出bc，则周长为3bc 而得到结果选(D) 5 （ 2005 年全国高考湖北卷) 在 ABC 中，已知66cos,364BAB，AC 边上的中线 BD=5，求 sinA 的值分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及 BC，再由正弦定理，即得sinA解：设 E 为 BC 的中点，连接DE，则 DE/AB，且36221ABDE，设 BEx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
6、总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载在BDE 中利用余弦定理可得：BEDEDBEEDBEBDcos2222，xx6636223852，解得1x，37x（舍去）故 BC=2，从而328cos2222BBCABBCABAC，即3212AC又630sin B，故2 2123sin306A，1470sin A在 ABC 中，已知a2，b2 2，C15 ，求 A。答案：000018030BAAA，且，题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状1. (2005 年北京春季高考题)在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（）
7、A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形解法 1：由CBAsincossin2sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即 sinAcosBcosAsinB0，得 sin(AB)0，得 AB故选 (B) 解法 2：由题意，得cosBsin2sin2CcAa，再由余弦定理，得cosB2222acbac2222acbac2ca，即 a2b2，得 ab，故选 (B) 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法1)，统一化为边，再判断(如解法 2)2在 ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则 ABC 的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.
8、等腰三角形D.等边三角形答案： C 解析： 2sinAcosBsin（ AB） sin（AB）又 2sinAcosBsinC，sin（AB） 0， AB 3.在 ABC 中，若abAB22tantan，试判断 ABC 的形状。答案：故 ABC 为等腰三角形或直角三角形。4. 在 ABC 中，coscosAb，判断 ABC 的形状。答案： ABC 为等腰三角形或直角三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载题型之三：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题1. (2005
9、年全国高考上海卷) 在ABC中，若120A，5AB，7BC，则ABC的面积 S _2在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3，求Atan的值和ABC的面积。答案：SACABAABC1212232643426sin()3. （07 浙江理 18）已知ABC的周长为21，且sinsin2 sinABC（I）求边AB的长；（II ）若ABC的面积为1sin6C，求角C的度数解： （I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB（II ）由ABC的面积11sinsin26BC ACCC，得13BC AC，由余弦定理，得222cos2ACBCABCAC BC22()
10、2122ACBCAC BCABAC BC，所以60C题型之四：三角形中求值问题1. (2005 年全国高考天津卷) 在ABC中，CBA、所对的边长分别为cba、，设cba、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理解：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A在 ABC 中， C=180 A B=120 B. 由已知条件，应用正弦定理BBBCbcsin)120sin(sinsin321,21cot23sinsin120coscos120sinBBBB解得,2cot B从而.21tanB2ABC的三个内角为AB
11、C、 、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载解析：由 A+B+C= ，得B+C2=2A2，所以有cosB+C2=sinA2。cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=12sin2A2+ 2sinA2=2(sinA212)2+ 32；当 sinA2= 12，即 A=3时, cosA+2cosB+C2取得最大值为32。3在锐角ABC中，角ABC， ，所对的边分别为abc， ，已知22sin3A， （1）求22tansin22BC
12、A的值； （2）若2a，2ABCS，求b的值。解析： （ 1）因为锐角ABC 中， ABC ，2 2sin3A，所以 cosA13，则22222BCsinBCAA2tansinsinBC222cos21cos BC11cosA171cosA1cosBC21cosA33（ ） （ ） （ ）（2）ABCABC112 2S2Sbcsin Abc223因为，又，则 bc3。将 a2，cosA13，c3b代入余弦定理：222abc2bccos A中，得42b6b90 解得 b3。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时， 灵活逆用公式求得结果即可。4在ABC中，内角ABC， ，对边的边长分别
13、是abc， ，已知2c，3C（）若ABC的面积等于3，求ab，；（）若sinsin()2sin 2CBAA，求ABC的面积本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分12 分解： （）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab 4 分联立方程组2244ababab，解得2a，2b 6 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载（）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2s
14、incosBAAA， 8 分当cos0A时，2A，6B，4 33a，2 33b，当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba，解得2 33a，4 33b所以ABC的面积12 3sin23SabC12 分题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一 .）测量问题1. 如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定 A、B 两点，望对岸标记物C，测得CAB=30 ， CBA=75 ，AB=120cm ，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC 在
15、 AB边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、CAB 、 CBA ，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得sinsinACABCBAACB， AC=AB=120m ，又11sin22ABCSAB ACCABAB CD，解得 CD=60m 。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“ 不过河求河宽问题” 。（二 .）遇险问题2 某舰艇测得灯塔在它的东15 北的方向，此舰艇以30 海里 /小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30 北。若此灯塔周围10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析： 如图舰艇在A 点处观测到灯塔S在东 15 北的方向上； 舰艇航行半小时后到达
16、 B 点，测得S在东 30 北的方向上。在ABC 中，可知AB=30 0.5=15，ABS=150 ， ASB=15 ，由正弦定理得BS=AB=15 ，过点 S 作 SC直线 AB，垂足为 C，则 SC=15sin30 =7.5。这表明航线离灯塔的距离为7.5 海里，而灯塔周围10 海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知图 1 A B C D 西北南东A B C 3015图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载与所求，尤其
17、要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图， 并将已知条件在图形中标出； （3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三 .）追击问题3 如图 3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45方向，距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南偏西 15 方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。在 ABC 中， AC=28t ，BC=20t ，AB=9 ，设 ABC= ， BAC= 。=18045 15 =120 。根据余弦定理222
18、2cosACABBCAB BC，2212881202 920()2ttt，212860270tt， （4t3） （32t+9）=0，解得 t=34，t=932（舍）AC=28 34=21 n mile ，BC=2034=15 n mile 。根据正弦定理，得315sin5 32sin2114BCAC，又 =120， 为锐角， =arcsin5 314，又5 3147 21422， arcsin5 3144，甲船沿南偏东4arcsin5 314的方向用34h 可以追上乙船。点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的ABC 、AB 边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已
19、知，所以，这两边均与时间t 有关。这样根据余弦定理，可列出关于t 的一元二次方程，解出t 的值。4如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1 ）？解析：连接BC,由余弦定理得BC2=202+1022 20 10COS120 =700. 于是,BC=107。710120sin20sin ACB，图 3 A B C 北4515北20 10 A B ?C 精选学习资料 - - - - - - - - -
20、名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载sinACB=73， ACB90， ACB=41。乙船应朝北偏东71 方向沿直线前往B 处救援。解三角形单元测试一 选择题：1. 已知 ABC中，30A，105C，8b，则等于（）A 4 B 4 2 C 4 3 D 4 52. ABC中，45B，60C，1c，则最短边的边长等于（）A 63 B 62 C 12 D 323. 长为 5、7、 8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90 B 120 C 135 D 1504. ABC中，coscoscosabcABC，则 ABC一定是（）A 直角三角形 B 钝角三
21、角形 C 等腰三角形 D 等边三角形5. ABC中，60B，2bac，则 ABC一定是（）A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形6. ABC中， A=60 , a=6 , b=4, 那么满足条件的ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定7. ABC中，8b，8 3c，16 3ABCS，则A等于（）A 30 B 60 C 30或150 D 60或1208. ABC中，若60A，3a，则sinsinsinabcABC等于（）A 2 B 12 C 3 D 329. ABC 中，:1: 2A B，C的平分线CD把三角形面积分成3: 2两部分，则cos
22、A（）A 13 B 12 C 34 D 010. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定11 在 200 米高的山顶上， 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30 、60 ，则塔高为 （）A. 3400米B. 33400米C. 2003米D. 200 米12 海上有 A、 B两个小岛相距10 海里，从A岛望 C岛和 B岛成 60 的视角，从B岛望 C岛和 A岛成 75 的视角，则B、C间的距离是 ( ) A.10 海里 B.5海里 C. 56海里 D.53海里二、填空题：精选学习资料 - - - -
23、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载13. 在 ABC中，如果sin:sin:sin2:3: 4ABC，那么cosC等于。14. 在 ABC中，已知503b，150c，30B，则边长a。15. 在钝角 ABC中，已知1a，2b，则最大边c的取值范围是。16. 三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为。三、解答题：17（本题 10 分）在 ABC中，已知边c=10, 又知cos4cos3AbBa，求边 a、 b 的长。18（本题 12 分）在 ABC中，已知2abc，2sinsinsinABC，试判断 ABC的形状。19（本题 12 分）在锐角三角形中，边a、b 是方程 x223 x+2=0 的两根，角A、B满足：2sin(A+B) 3 =0 ，求角 C的度数，边c 的长度及 ABC的面积。20（本题12 分）在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4 倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页