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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数最大利润应用题 姓名 _ 2022.10.7 1 多个变量,只能确定一个自变量,其余都是因变量（函数）,即 x（自变量） y（函数） z（函数） w（函数）；2求最大利润,先建立二次函数关系式,再由对称轴求最值（留意：对称轴是否在取值范畴内）；1某大众汽车经销商在销售某款汽车时,以高出进价 20%标价已知按标价的九折销售这款汽车 9 辆与将标价直降 0.2 万元销售 4辆获利相同（1）求该款汽车的进价和标价分别是多少万元？（2）如该款汽车的进价不变,按（1）中所求的标价出售,该店平均每月可售出这款汽车 20 辆；如每辆
2、汽车每降价 0.1 万元,就每月可多售出 2 辆求该款汽车降价多少万元出售每月获利最大？最大利润是多少？解：（1）设进价为 x 万元,就标价是 1.2x 万元,由题意得：1.2x 0.9 99x=（1.2x 0.2 ） 44x,解得： x=10,所以售价为 1.2x= 1.2 10=12（万元） ,答：进价为 10 万元,标价为 12 万元；（2）设该款汽车降价 a 万元,利润为 w万元,由题意得：w=（ 20+ 2）（ 12 10 a）,= 20（a）2+45, 200,当 a= 时, w 最大 =45,答：该款汽车降价 0.5 万元出售每月获利最大,最大利润是 45 万元2某电子厂商投产一
3、种新型电子产品,每件制造成本为 18 元,试销过程中发觉,每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数 y= 2x+100（利润 =售价 制造成本）（1）写出每月的利润 z（万元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时,厂商每月能获得 少？350 万元的利润？当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润？最大利润是多（3）依据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32 元,假如厂商要获得每月不低于350 万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？解：（1） z=（ x 18）y=（x 18）（ 2x+100）=
4、2x 2+136x 1800,z 与 x 之间的函数解析式为 z= 2x 2+136x 1800（x18）；（2）由 z=350,得 350= 2x 2+136x 1800, 解这个方程得 x1=25, x 2=43 所以,销售单价定为 25 元或 43 元,将 z= 2x 2+136x 1800 = 2（x 34）2+512（x18）,答；当销售单价为 34 元时,每月能获得最大利润,最大利润是 512 万元；（3）结合（ 2）及函数 z= 2x 2+136x 1800 的图象可知,当 25x43 时 z350,又售价不能高于 32 元,得 25x32,依据一次函数的性质,得 y= 2x+1
5、00 中 y 随 x 的增大而减小,当 x=32 时,每月的销量最少,故制造成本最低最低成本是 18 （ 2 32+100）=648（万元）,答：每月最低制造成本为 648 万元3某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,图中折线 ABD、线段 CD分别表示该产品每千克生产成本 y1（单位：元）、销售价 y2（单位：元）与产量 x（单位： kg）之间的函数关系（1）请说明图中点 D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段 AB所表示的 y 1与 x 之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时,获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）点 D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg
6、 时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42 元；第 1 页,共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）设线段 AB所表示的 y 1与 x 之间的函数关系式为精品资料欢迎下载y=k 1x+b1,y=k 1x+b1的图象过点（ 0,60）与（ 90,42）,这个一次函数的表达式为；y= 0.2x+60 （0x90） ；（3）设 y2与 x 之间的函数关系式为 y=k2x+b2,经过点（ 0,120）与（ 130,42）,解得：这个一次函数的表达式为 y2= 0.6x+120 （0x130） ,设产量为 xkg 时,获得的利润为
7、W元,当 0x90 时, W=x（ 0.6x+120 ） （0.2x+60 ） = 0.4 （ x 75）2+2250,当 x=75 时, W的值最大,最大值为 2250；当 90x130 时, W=x（ 0.6x+120 ） 42= 0.6 （ x 65）2+2535,由 0.6 0 知,当 x 65 时, W随 x 的增大而减小,90x130当 x=90 时,W 值最大, W= 0.6 （90 65）2+2535=2160,因此当该产品产量为 75kg 时,获得的利润最大,最大值为 22504某企业接到一批粽子生产任务,按要求在 15 天内完成,商定这批粽子的出厂价为每只 6 元,为按时完
8、成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第 x 天生产的粽子数量为 y 只, y 与 x 满意以下关系式：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为 420 只？（2）如图,设第 x 天每只粽子的成本是 p 元,p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画如李明第 x 天制造的利润为 w 元,求 w与 x 之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元？（利润 =出厂价 成本）（3）设（ 2）小题中第 m天利润达到最大值,如要使第（m+1）天的利润比第 m天的利润至少多 48 元,就第（ m+1）天每只粽子至少应提价几元？解：（1）设李明第 n 天生产的粽子数量为 420 只,由题意可
9、知：30n+120=420,解得 n=10答：第 10 天生产的粽子数量为 420 只（2）由图象得,当 0x9 时, p=4.1 ；当 9x15 时,设 P=kx+b,把点（ 9,4.1 ）,（15,4.7 ）代入得,解得,p=0.1x+3.2 ,0x5 时, w=（ 6 4.1 ） 54x=102.6x,当 x=5 时, w最大 =513（元）；5x9 时, w=（ 6 4.1 ） （ 30x+120）=57x+228,x 是整数,当 x=9 时, w最大 =741（元）；9x15 时,w=（6 0.1x 3.2 ） （ 30x+120） = 3x 2+72x+336,a=30,当 x=1
10、2 时, w最大 =768（元）；综上,当 x=12 时, w 有最大值,最大值为 768（3）由（ 2）可知 m=12,m+1=13,设第 13 天提价 a 元,由题意得, w13=（6+a p）（30x+120） =510（a+1.5 ）,510（ a+1.5 ） 76848,解得a=0.1 y（万个）与销售价格x（元 / 个）的变化如下表：第 2 页,共 4 页答：第 13 天每只粽子至少应提价0.1 元5某公司销售一种进价为20 元 / 个的运算器,其销售量名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载y（万个）与x（元 /价
11、格 x（元 / 个）30 40 50 60 销售量 y（万个）5 4 3 2 同时,销售过程中的其他开支（不含进价）总计40 万元（1）观看并分析表中的y 与 x 之间的对应关系,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关学问写出个）的函数解析式（2）求出该公司销售这种运算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元 / 个）的函数解析式,销售价格定为多少元时净得利润最大,最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40 万元,请写出销售价格x（元 / 个）的取值范畴,如仍需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为多少元？解：（1）依据表格中数据可得出：y 与 x 是一次函数关系,设解析式为： y=
12、ax+b,就,解得：,故函数解析式为：y=x+8；（2）依据题意得出：z=（ x 20）y 40 =（ x 20）（x+8） 40 =x 2+10x 200,=（ x 50）2+50,故销售价格定为 50 元/ 个时净得利润最大,最大值是 50 万元（3）当公司要求净得利润为 40 万元时,即（x 50）2+50=40,解得： x 1=40,x2=60如上图,通过观看函数 y=（ x 50）2+50 的图象,可知依据公司要求使净得利 润不低于 40 万元,就销售价格的取值范畴为：40x6050 元,在第一个月的试销时间内发觉,销量w（ kg）随而 y 与 x 的函数关系式为：y=x+8, y
13、随 x 的增大而削减,因此,如仍需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为40 元/ 个6某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资3000 元,已知绿茶每千克成本销售单价 x（元 /kg ）的变化而变化,详细变化规律如下表所示销售单价 x（元 /kg ）70 75 80 85 90 销售量 w（ kg）100 90 80 70 60 设该绿茶的月销售利润为 y（元）（销售利润 =单价 销售量 成本 投资）（1）请依据上表,写出 w与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范畴） ；（2）求 y 与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范畴）并求出 x 为何值时, y 的值最大？（
14、3）如在第一个月里,按使 y 获得最大值的销售单价进行销售后,在其次个月里受物价部门干预,销售单价不得高于 90 元,要想在全部收回投资的基础上使其次个月的利润达到 1700 元,那么其次个月里应当确定销售单价为多少元？解：（1）设 w=kx+b,将（ 70, 100）,（ 75,90）代入上式得：,解得：,就 w= 2x+240；（2）y=（x 50）.w=（ x 50）.（2x+240）第 3 页,共 4 页= 2x2+340x 9000,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - = 2（ x 85）2+2450,精品资料欢迎下载故当 x=8
15、5 时, y 的值最大为 2450（3）故第 1 个月仍有 3000 2450=550 元的投资成本没有收回,就要想在全部收回投资的基础上使其次个月的利润达到可得方程2（x 85）2+2450=2250,解这个方程,得 x1=75,x2=95；依据题意, x 2=95 不合题意应舍去1700 元,即 y=2250 才可以,答：当销售单价为每千克 75 元时,可获得销售利润 2250 元,即在全部收回投资的基础上使其次个月的利润达到 1700 元7某科技开发公司研制出一种新型的产品,每件产品的成本为 2400 元,销售单价定为 3000 元,在该产品的试销期间,为了促销,勉励商家购买该新型产品,
16、公司打算商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时,每件按 3000 元销售；如一次购买该种产品超过 10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元,但销售单价均不低于 2600 元（1）商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为 2600 元？（2）设商家一次购买这种产品 x 件,开发公司所获得的利润为 y 元,求 y（元）与 x（件）之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范畴（3）该公司的销售人员发觉：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会显现随着一次购买的数量的增多,公司所获得的利润反而削减这一情形为使商家一次购买的数量越多,公司所获得的利润越大,公司应将最
17、低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）解：（1）设件数为 x,依题意,得 3000 10（ x 10） =2600,解得 x=50,答：商家一次购买这种产品 50 件时,销售单价恰好为 2600 元；（2）当 0x10 时, y=（ 3000 2400） x=600x,当 10x50 时, y=3000 10（x 10） 2400x ,即 y= 10x 2+700x 当 x 50 时, y=（ 2600 2400） x=200x y=（3）由 y= 10x2+700x 可知抛物线开口向下,当x=35 时,利润 y 有最大值,第 4 页,共 4 页此时,销售单价为3000 10（x 10）=2750 元,答：公司应将最低销售单价调整为2750 元名师归纳总结 - - - - - - -