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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 经济数学基础辅导 线性方程组 一学问点线性方程组消元法 线性方程组有解判定定理线性方程组解的表示二基本要求1 明白线性方程组的有关概念,娴熟把握消元法求线性方程组的一般解；2 懂得并娴熟把握线性方程组的有解的判定定理；三重点：线性方程组有解的判定定理 求线性方程组的解 三重点解读 重点把握非齐次线性方程组解的情形判定定理及对齐次线性方程组解的情形的推论；例题 1. 线性方程组AXB有唯独的解,那么AX0（）；A 可能有解 B. 有无穷多解 C. 无解 D. 有唯独解；解 线性方程组AXB有唯独的解,说明秩（ A ）=n 故 AX=0 只有唯独解
2、（零解）；112,就当（）时线性方程组有无穷正确选项是D；例题 2. 如线性方程组的增广矩阵为A24多解；A. 1 B.4 C.2 D. 1/2 解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵A1120112202,即24此线性方程组未知量的个数使,如它有无穷多解,就其增广矩阵的秩应小于120 ,得1,即正确答案D；2例题 3 如非齐次线性方程组A mnXB有唯独解,那么有（）；A 秩（ A,B）=n B 秩（ A ）=r C 秩（ A）=秩（ A,B） D 秩（ A）=秩（ A ,B）=n 解 依据非齐次线性方程组的有解判定定理可知 D 是正确的；1 懂得并娴熟把握向性方程组的有解判定定理；娴熟把握用消元法求
3、线性方程组的 一般解；例题 4 求线性方程组x13x22x3x40x12x2x32x41x12x23 x32x41解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵A1321013210121210113112321011311 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 132101008301131010310020000100由于秩（ A ） =秩（ A）=3,所以方程组有解；一般解为x 1x38x4（x 为自由未知量）x 213x430例题 5 设线性方程组2x 1x2x311x12x2x3cx13x22x3问 c 为何值时,方程组
4、有解？如方程组有解时,求一般解；解 A2111121c11211121105310531132c0531000c可见,当 c=0 时,方程组有解；A101355013 51 50000原方程组的一般解为x 131x 3（x 为自由未知量）5 15 3x 2x355一 填空题,挑选题1. 设A , B , C , X 是 同 型 矩 阵 , B 可 逆 , 且 （ A+X ） B=C , 就X= _ ；1316（CB1A）2设A12,就I2A_,A1=_；14,03061123设 A 是34矩阵, B是23矩阵,就以下运算能进行的是（） C A AB B ATB C BA D ABT2 / 8
5、名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4以下说法正确选项（）,其中 A,B 是同阶方阵； C A. 如 AB=O,就 A=O或 B=O B .AB=BA C. 如 AB=I 就 BA=I D. A+AB=A （1+B）5. 如 A, B是同阶的可逆矩阵,就以下说法（）是错误的； D T T 1 1 TA A 也是可逆矩阵,且 A A T 1 1B 如 AB=I ,就 A B , B AC A 1也可逆,且 A 1 1 AD AB 也可逆,且 AB 1 A 1 B 16设 A 为 m n 矩阵, B 为 s t 矩阵,如
6、AB与 BA都可以进行运算,就 m , n , s , t 有关系式_； （m t , s n）1 0 17设 A 是对称矩阵,A a 0 3 就 a=_,b=_,c=_ ；b c 28设 A 是 4 阶方阵,秩（ A）=3,就（）； C AA 可逆； B .A 有一个 0 行 C.A 的阶梯阵有一个 0 行 .D .A 至少有一个 0 行9. 线性方程组 AX=B 的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为1 2 1 0A 0 1 3 60 0 c d 1就当 c=_, d=_时,方程组无解；当c=_,d=_时,方程组有唯独解；当 c=_, d=_时,方程有无穷多解；（c 0 d 1 无解；c 0 , d
7、 任意时,有唯独解；c 0 d 1 时,有无穷多解）10. 如线性方程组 AX=B（B 0）有唯独解,就 AX=O_解；（只有 0 解）11如线性方程组 AX=B有无穷多解,就 AX=0（）； B A . 只有 0 解 B . 有非 0 解 C. 解的情形不能确定12. 设 A 为 3 4 矩阵, B是 5 2 矩阵 如乘积矩阵 ACB T有意义,就 C为（）矩阵； B A4 5 B 4 2 C 3 5 D 3 213设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,就以下结论或等式成立的是（）； C 2 2 2A A B A 2 AB BB如 AB=AC 且 A 0 就 B=C T 2 TC A A B A
8、 B AD 如 A 0 B 0 , 就 AB 0 ,3 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 14 n 元线性方程组AX=B 有无穷多解的充分必要条件是（）； A A rA rA n B rA rA n）B 3126,就此线性CrA rA D；rA n15设 A,B 为同阶可逆矩阵,就以下等式成立的是（A.T ABT ABT B. ABTT BT A1C. ABT1A1BT1 D. ABT1A1B1T16.设线性方程组AX=B的增广矩阵通过初等行变换化为0131400021方程组的一般解中自由未知量的个数为（）；
9、 A 00000A 1 B；2 C. 3 D. 4 17.设 A , B 为两个已知矩阵,且IB可逆,就方程ABXX的解X= _ ；（XA IB1）； B 18设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,就以下结果或等式成立的是（A.AB 2A2B2 B .AB CTCTBTT A0C. 如ABAC且A0,就 B=C D. 如A0B0,就AB二 .运算题1求矩阵1A130的逆矩阵；271答案：A38222637215112求以下矩阵的秩A12101210121a0225313413a134b1210解：2531015101513413a0210a000134b015b000b14 / 8 名师归纳总结
10、- - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 a-2=0 时且 b+1=0 时,亦即 a=2,b=-1 时,矩阵有2 个非零行,故矩阵的秩为2；当 a=2,b1或a,2 b1时,矩阵的秩为3；b1就第 4 行化为 0 行,矩阵3 当a,2 b1时,对矩阵进行初等行变换4 a2的秩仍为 3；3 2 513 13设 A 2 1 3 求 A；4 0 12 5 314如 A 1 4 0,求 A；1 3 28 1 12答案：A 1 2 1 331 1 32 0 4 35设 A , B,且满意矩阵方程 XA 2 B A,求 X；1 3 5 24 2答
11、案 17 13 3（提示：XA A 2 B,等式两边右乘 A 1,得 XAA 1 A 2 B A 1,于是1X I 2BA）1 2 3 06设矩阵 A ,B 满意矩阵方程 AX=B ,其中 A , B 求 X ；1 0 0 21 0 1 0 2答案：A 12 12 X A 1B 32 17设矩阵 A 1 2, 且有 A TAB 3 5,求矩阵 B；1 3 4 23 5 T 1 1 3 5 T答案：AB A , A AB A A 4 2 4 21 3 5 TB A A ,4 25 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - -
12、- 12101210103213010111011122110043A132B324311）=1511115223698设矩阵A110,11B20,求 AB 101102答案：AB11111010112 14 122220101 AB11212421149解矩阵方程23X342答案：2310111111113401340101320132231433432X4312322131且 AX=B ,求 X ；3210设矩阵A12,B2353答案：1210121012102301012101210121A13221113XA1B3232153116 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第
13、6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - x1x23 x3x4011求齐次线性方程组2x1x 2x34x40的一般解；11x 14x35x401113131113答案：A2114201760172104501760000x 14 x 33x 4x27x 32x 4x 1x312设线性方程组x 12x2x30,争论当a,b 为何值时,方程组无解,有唯独解,2x1x2ax3b有无穷多解；101210121102b2答案：A12100222011121ab01a2b401a41012,2b3时,方程组无解；011100a1b3当a2,0b30即a当a2,0b任意,即a2 ,
14、b任意,方程组有唯独解；当a2,0b30,即a,2b3,方程组有无穷多解；x 1x2x3113设线性方程组2x 1x2x 30x 12x314x15x27x3a争论 a 为何值时方程组有解,有解时求一般解；11111111答案：A2110013210210000457a000a6当 a=6 时,方程组有解,且一般解为x 12 x 31x 23x 327 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - x12x23x 3114就 a,b 的取值,争论线性方程组x 13 x26x321解的情形；b112x 13x2ax 3b2
15、312311231答案：A13620131013123ab01a6b200a3当a30,b10即a,3 b1时,方程组无解；当a30,b10即a,3 b1时,方程组有无穷多解；当a30 ,b任意,即a3 ,b任意,方程组有唯独解；15解线性列方程组x1x 2x342x1x23x 1x22x 3333 x1x 333答案：x 110x 217x3316解线性方程组x 13x2x 32x 4005x1x22x 33x 4x 111x22x 35x403x15x3x40答案：x 15x 3143 x 3141 x21 x 424x 28 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页