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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2022 中考数学压轴题函数直角三角形问题 二 例 3 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线ym1x25mxm23 m2与 x 轴的交44点分别为原点O 和点 A,点 B2,n在这条抛物线上（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上,从点 O 动身向点 A 运动,过点P作 x 轴的垂线,与直线OB 交于点 E,延长 PE 到点 D,使得 EDPE,以 PD 为斜边,在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD（当点 P 运动时,点 C、D 也随之运动）当等腰直角三角形 PCD的顶点 C 落在此抛物线上时,求 OP 的长；
2、如点 P 从点 O 动身向点 A 作匀速运动, 速度为每秒1 个单位, 同时线段 OA上另一个点 Q 从点 A 动身向点 O 作匀速运动,速度为每秒2 个单位（当点Q 到达点 O 时停止运动, 点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴的垂线, 与直线 AB 交于点 F,延长 QF到点 M,使得 FMQF,以 QM 为斜边,在 QM 的左侧作等腰直角三角形QMN（当点 Q 运动时,点 M、N 也随之运动）如点 P 运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻 t 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“10 北京 24” ,拖动点 P 从 O 向 A 运动,可以
3、体验到,两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线思路点拨名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1这个题目最大的障碍,莫过于无图了2把图形中的始终不变的等量线段排列出来,用含有t 的式子表示这些线段的长3点 C 的坐标始终可以表示为3t,2t ,代入抛物线的解析式就可以运算此刻OP的长4当两个等腰直角三角形有边共线时,会产生新的等腰直角三角形,列关于 t 的方程就可以求解了满分解答m21 由于抛物线ym1x25mxm23 m2经过原点,所以x 所以点 B 的443m20 解得（舍去）因此y1x25m 1
4、2,m 2142坐标为（ 2,4）2 如图 4,设 OP 的长为 t,那么 PE2t ,EC2t,点 C 的坐标为 3 t, 2t当点C 落在抛物线上时,2 t13 253 t 解得tOP22429如图 1,当两条斜边 PD 与 QM 在同一条直线上时, 点 P、Q 重合此时 3t10解名师归纳总结 得t10PQN是等腰直角三角形,PQ第 2 页,共 6 页3如图 2,当两条直角边PC与 MN 在同一条直线上,PE此时 103 t2 t 解得t2PQC是等腰直角三角形,PQ如图 3,当两条直角边DC与 QN 在同一条直线上,PD此时 103 t4 t 解得t107- - - - - - -精选
5、学习资料 - - - - - - - - - 图 1 学习好资料图 2 欢迎下载图 3 考点舒展在此题情境下,假如以PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的圆F 相切,求 t 的值图 6 如图 5,当 P、 Q 重合时,两圆内切,t103如图 6,当两圆外切时,t30202图 4 图 5 例 4 如图 1,已知 A、B 是线段 MN 上的两点,MN4,MA1,MB1以 A 为中心名师归纳总结 顺时针旋转点M,以 B 为中心逆时针旋转点N,使 M、N 两点重合成一点C,构成 ABC,第 3 页,共 6 页设ABx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好
6、资料 欢迎下载（1）求 x 的取值范畴；（2）如 ABC为直角三角形,求 x 的值；（3）探究：ABC的最大面积？图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 嘉兴 24” ,拖动点B 在 AN 上运动,可以体验到,三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；CAB和 ACB可以成为直角,CBA不行能成为直角；观看函数的图象,可以看到,图象是一个开口向下的“U” 形,当 AB 等于 1.5 时,面积达到最大值思路点拨1依据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组,可以求得 x 的取值范畴2分类争论直角三角形 形的存在性ABC,依据勾股定理列方程,依据根的情形确定直
7、角三角3把 ABC的面积 S的问题,转化为 S2的问题 AB 边上的高 CD 要依据位置关系分类争论,分 CD在三角形内部和外部两种情形满分解答名师归纳总结 （1）在 ABC中,AC1,ABx,BC3x,所以1x3x ,解得1x2第 4 页,共 6 页13xx .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料3x2,即x欢迎下载0,此方程无实根（2）如 AC 为斜边,就1x223x4如 AB 为斜边,就x2 3x 21,解得x5,满意1x21xh3如 BC 为斜边,就3x21x2,解得x4,满意1x23因此当x5或x4时, ABC 是直角三角形33（3）
8、在 ABC中,作CDAB于 D,设CDh, ABC的面积为 S,就S2如图 2,如点 D 在线段 AB 上,就1h23x2h2x移项,得h2整3x 22 hx1h2两边平方,得3x 2h2x22 x1h21理,得x1h23 x4两边平方,得x2 1h29x224x16整理,得x2h28x224x16所以S21x2h22x26x42 x321（4 3x2）422当x3时（满意4 3x2）,S 取最大值 21 ,从而 S取最大值 22 22图 2 图 3 名师归纳总结 如图 3,如点 D 在线段 MA 上,就4 3x 2h21h2x）第 5 页,共 6 页同理可得,S21x2h22x26x32x 4 31（12x422- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 易知此时S2学习好资料欢迎下载2综合得, ABC的最大面积为2 2考点舒展第（ 3）题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以防止烦琐的运算：设xADxa,2例如在图 2 中,由AC2AD2BC2BD2列方程1a23a2整理,得a3x4所以x1a213xx428 x224 x16x2因此名师归纳总结 S21x2 1a22x26x4第 6 页,共 6 页4- - - - - - -