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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第三章 直线与方程3.1 倾斜角与斜率基础学问（1）直线的倾斜角直线与 x 轴平行或重合时, 规定它的倾斜角为001800倾斜角的范畴00（2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为900的直线斜率不存在. 记作ktan0 90 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 0 0 ,k0 tan 00当直线 l 与 x 轴垂直时 , 0 90 , k 不存在 . 经过两点P x 1,y 1,P x2,y 2（x 1x2）的直线的斜率公式是ky2y 1x 2x 1每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率. （3）求
2、斜率的一般方法：已知直线上两点,依据斜率公式ky2y 1x 2x 1求斜率；x2x 1已知直线的倾斜角或的某种三角函数依据ktan来求斜率；（4）利用斜率证明三点共线的方法：已知A x y 1,B x2,y2,C x 3,y3,如x 1x 2x 3 或kABkBC,就有 A、B、C三点共线；（5）直线平行与垂直 两条直线平行：对于两条不重合的直线l l 12,其斜率分别为k 1,k2,就有l1 / l2k 1k2l l2特殊地, 当直线l l2的斜率都不存在时,l1 与l2的关系为平行-1 ；假如 两条直线垂直：假如两条直线l l2斜率存在,设为k k2,就有l1l2k1k2-1注： 两条直线
3、l l2垂直的充要条件是斜率之积为-1 ,这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1 ,可以得出两直线垂直；反过来,两直线垂直,斜率之积不肯定为中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 时,l1 与l2相互垂直 . 基础题目名师归纳总结 1以下命题正确选项（ A ）第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（A）如直线的斜率存在,就必有倾斜角 与它对应（B）如直线的倾斜角存在,就必有斜率与它对应（C）直线的斜率为k,就这条直线的倾斜角为arctan k tan （D）直线的倾斜角为 ,就这条直线的斜率为1 2,就 a
4、 等于（ B ）2过点 M 2, a, N a, 4 的直线的斜率为（A） 8 （B）10 （C）2 （D）4 3过点 A2, b 和点 B3, 2 的直线的倾斜角为3,就 b 的值是（ A ）4（A） 1 （B）1 （C） 5 （D）5 4如图,如图中直线l 1, l 2, l 3 的斜率分别为k1, k 2, k3,就（ B ）l 的斜率的取（A）k1k2k3（B）k3k1k2 （C）k3k2k1（D）k1k3k25已知三点A2, 3, B4, 3, C5, m 在同始终线上,就 2m的值为 12 . 6已知 y 轴上的点 B与点 A 3, 1 连线所成直线的倾斜角为120 ,就点 B的坐
5、标为（0,-2 ） . 7已知 A 2, 3, B3, 2,过点 P0, 2 的直线 l 与线段 AB没有公共点,就直线值范畴是（-5/2,5/3） . 3.2 直线的方程基础学问（1）直线方程的几种形式名称y方程的形式x 1已知条件局限性点斜式y 1k xx y 1为直线上肯定点,不包括垂直于x轴的斜截式k 为斜率直线ykxb不包括垂直于 x 轴的k 为斜率, b 是直线在 y 轴x 1直线上的截距两点式yy 1x不包括垂直于x 轴和经过两点x y 1,x 2,y 2截距式y2y 1x2x 1且x 1x 2,y 1y 2y 轴的直线xy b1a是直线在x轴上的非零截不包括垂直于x轴和距, b
6、 是直线在 y 轴上的非零y 轴或过原点的直线a截距名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载b无限制,可表示任何,因一般式AxByC0A B C为系数2 AB20位置的直线问题：过两点P x 1,y 1,P 2x 2,y2的直线是否肯定可用两点式方程表示？【不肯定】0,即两个截距均不能为零1 如x 1x2且y 1y 2,直线垂直于 x 轴, 方程为xx ；2 如x 1x 2且y 1y 2,直线垂直于y 轴, 方程为y 1y ；3 如x 1x 2且y 1y 2,直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就
7、是我们熟知的一次函数的解析式；利用斜截式求直线方程时,需要先判定斜率存在与否. 用截距式方程表示直线时,要留意以下几点：方程的条件限制为a0,此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图,要留意截距是坐标而不是长度. 截距的值有正、负、零；距离的值是非负数；截距是实数,不是“ 距离”,可正可负；截距与距离的区分：xya 或ykx（2）线段的中点坐标公式如点P P 2 的坐标分别是x 1,y 1,x2,y 2,x 12x 2x且线段PP 2 的中点M x y , 的坐标为yy 1y223.3 直线的交点坐标与距离（1）两条直线的交点设两条直线的方程是l 1:A
8、xB yC 10, l2:A xB yC20两条直线的交点坐标就是方程组A xB yC 10的解；A xB yC 20如方程组有唯独解,就这两条直线相交,此解就是交点的坐标；如方程组无解,就两条直线无公共点,此时两条直线平行 . （2）几种距离名师归纳总结 两点间的距离：2平面上的两点2P x 1,y 1,P 2x 2,y2间的距离公式第 3 页,共 10 页|PP2|xx12yy12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 特殊地,原点O0,0与任一点精品资料|欢迎下载2P x y 的距离|OPx2y点到直线的距离：点P x o,y 0到直线AxByC0的距
9、离C20间的距离ByC 10 与AxByd|Ax0A2By02C|B两条平行线间的距离：两条平行线Axd|C 1C2|2 AB2注: 1 求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式；2 求两条平行线间的距离时,必需将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式运算；基础练习x y1. 直线 2 3 1在y轴上的截距是（ B ）A.2 B.3 C.2 D.3 2. 已知直线 l 过点 M（ 1,0）,并且斜率为 1,就直线 l 的方程是（ B ）A. x y10 B. xy1 0 C. xy10 D. xy1 0 3. 下面四个直线方程中,可以看作是直线的斜截式方程的是（ B ）A. x=3
10、B. y= 5 C.2 y=x D. x=4y 1 4. 直线 l 过 a,b 、 b,a 两点,其中 a与b不相等,就（ D ）3A. l 与 x轴垂直 B.l 与y轴垂直 C.l 过一、二、三象限 D.l 的倾斜角为45. 如ac0且bc0,直线 ax+by+c=0不通过（ C ）A. 第三象限 B.第一象限 C.第四象限 D.其次象限1,1 . 6. 已知定点 A（0,1）,点 B 在直线 x+y=0上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标是227. 给定三点 A1,0 ,B-1,0 , C1,2 ,那么通过点 A 并且与直线 BC 垂直的直线方程是_xy10_. 3名师归纳总结 8
11、. 过原点作一条直线,使它与直线x- y+12=0,2x+y+9=0围成的三角形面积为2面积单位,求这条直线第 4 页,共 10 页的方程 . -所求的直线方程为y23x或y1x252- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载AOB面积最小时 l 的方程 . 9. 已知直线 l 过点 p3,2 ,且与 x轴, y轴的正半轴分别交于A、B两点,求-直线l的方程为2x3y1204xxy1010. 求经过 P（3 -4 ）,且横纵截距相等的直线方程.-y311. 直线 L经过 M（ 3 -2 ）点,且和 X轴, Y轴正方向所围成的三角形的面积为4（平
12、方单位）,求 L的方程.-2 x y 4 012. 求过直线 4x2y1=0与直线 x2y+5=0的交点且与两点 P1（0,4）、P22,0 距离相等的直线方程 . -3x2y+1=0和4x+2y15=0 升级难题【例】 已知） B ,直线 l 过原点O 且与线段AB 有公共点,就直线l 的斜率的取值范畴是（ D C A 答案： B 分析：由于直线 l 与线段 AB有公共点,故直线 l 的斜率应介于 OA,OB斜率之间解：由题意,由于直线 l 与线段 AB有公共点,所以直线 l 的斜率的取值范畴是考点：此题主要考查直线的斜率公式,考查直线l 与线段 AB有公共点,应留意结合图象懂得【例】 在坐
13、标平面内,与点 A（1,2）距离为 1,且与点 B（3, 1）距离为 2 的直线共有（） A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条答案： B 分析：由题意,A、B 到直线距离是1 和 2,就以 A、B 为圆心,以1、2 为半径作圆,两圆的公切线的条数即可解：分别以A、B 为圆心,以1、2 为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求考点：此题考查点到直线的距离公式,考查转化思想【例】 将直线 l 1：y=2x 绕原点逆时针旋转60 得直线 l 2,就直线 l 2到直线 l 3：x+2y 3=0 的角为 （） A 30 B 60 C 120D 150答案： A 名师归纳总结 分析：结合图象,由
14、题意知直线l 1l 3 相互垂直,不难推出l 2到直线 l 3：x+2y 3=0 的角第 5 页,共 10 页解：记直线l 1 的斜率为 k1,直线 l 3的斜率为k 3,留意到k 1k 3= 1,l 1l 3,依题意画出示意图,结合图形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析可知,直线l 2到直线 l 3 的角是 30精品资料欢迎下载考点：此题考查直线与直线所成的角,涉及到角公式【例】 方程xy1所表示的图形的面积为_；答案： 2解：方程xy1所表示的图形是一个正方形,其边长为2_【例】 设abkk,0k 为常数,就直线axby1恒过定点答案：1 1
15、,k k解：axby1变化为axka y1, a xyky10,对于任何 aR 都成立,就xy0ky10【例】 始终线过点M 3,4,并且在两坐标轴上截距之和为12 ,这条直线方程是答案： 4xy160,或x3y90解：设y4k x3,y0,x43;x0,y3 k4;433 k412kk3k4110,3k211 k40,k4,或k1k3【例】 已知 A（1,2）,B（3,4）,直线 l 1：x=0,l 2：y=0 和 l 3：x+3y 1=0、设 Pi 是 l i （i=1 ,2,3）上与 A、B 两点距离平方和最小的点,就 P 1P2P3的面积是 _ 答案：分析：设出P1,P2,P3,求出
16、P1到 A,B 两点的距离和最小时,P1 坐标,求出P2,P3 的坐标,然后再解三角形的面积即可解：设 P1（0,b）,P2（a,0）,P3（ x0, y0）由题设点P1到 A,B 两点的距离和为明显当 b=3 即 P1（0, 3）时,点 P1到 A,B两点的距离和最小,同理P2（2,0）,P3（1,0）,所以名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载考点：此题考查得到直线的距离公式,函数的最值,考查函数与方程的思想,是中档题【例】 已知直线（ a 2）y=（ 3a 1）x 1,为使这条直线不经过其次象限
17、,就实数 a 的范畴是 _ _ 答案： 2 ,+）分析：由已知中直线（a 2） y=（3a 1）x 1 不经过其次象限,我们分别争论a 2=0（斜率不存在） ,a 2 0（斜率存在）两种情形,争论满意条件的实数a 的取值,进而综合争论结果,得到答案解：如 a 2=0,即 a=2 时,直线方程可化为x= ,此时直线不经过其次象限,满意条件；0,0,如 a 2 0,直线方程可化为y=x,此时如直线不经过其次象限,就解得 a0 名师归纳总结 - - - - - - -综上满意条件的实数a 的范畴是 2 ,+）考点：此题考查的学问点是确定直线位置的几何要素,其中依据直线的斜截式方程中,当 k0 且 b
18、0 时,直线不过其次象限得到关于a 的不等式组, 是解答此题的关键, 但解答时, 易忽视对a 2=0（斜率不存在）时的争论,而错解为（2,+）；【例】 过点A 5, 4作始终线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5；解：设直线为y4k x5,交 x 轴于点45,0,交 y 轴于点 0,5k4,kS1455 k45, 401625k102kk得25k230k160,或25k250k160解得k2 , 5或k82x5y100,或 8x5y200为所求；5【例】 直线y3x1和 x 轴, y 轴分别交于点A B ,在线段 AB 为边在第一象限内作等边ABC ,3假如在第一象限内有一
19、点P m ,1使得ABP 和 ABC 的面积相等,求m 的值；2解：由已知可得直线CP/AB ,设 CP 的方程为y3xc,c13就c1AB33,c3,y3x3过P m ,1112323得1 23m3,m5 332【例】 已知点A1,1,B2, 2,点 P 在直线y1x上,求PA2PB2取得最小值时 P 点的坐标；2第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解：设 P 2 , t t ,就 PA 2PB 22 t 1 2 t 1 22 t 2 2 t 2 210 t 214 t 10当 t 7时,PA 2PB 2取得最小值,即 P 7, 710
20、 5 10【例】 求函数 f x x 22 x 2 x 24 x 8 的最小值；解：f x x 1 20 1 2 x 2 20 2 2 可看作点 ,0 到点 1,1和点 2, 2 的距离之和, 作点 1,1关于 x 轴对称的点 1, 1 f x min 1 23 210【例】在 ABC中,已知 BC边上的高所在直线的方程为 x 2y+1=0, A 的平分线所在直线的方程为 y=0如点 B 的坐标为（ 1,2）,求点 C的坐标分析：依据三角形的性质解A 点,再解出AC的方程,进而求出BC方程,解出C点坐标逐步解答解：点 A为 y=0 与 x 2y+1=0 两直线的交点,点 A 的坐标为（1,0）
21、 kAB= =1又A 的平分线所在直线的方程是 y=0, k AC= 1 直线 AC的方程是 y= x 1而 BC与 x 2y+1=0 垂直, k BC= 2 直线 BC的方程是 y 2= 2（x 1）由 y= x 1,y= 2x+4,解得 C（5, 6）考点：直线的点斜式方程；此题可以借助图形帮忙懂得题意,将条件逐一转化求解【例】 直线 l 过点 P（2, 1）,且分别与 x ,y 轴的正半轴于 A,B 两点, O为原点（1）求 AOB面积最小值时 l 的方程；（2）|PA|.|PB| 取最小值时 l 的方程分析：（1）设 AB方程为,点 P（2,1）代入后应用基本不等式求出 ab 的最小值
22、,即得三角形 OAB面积面积的最小值 （ 2）设直线 l 的点斜式方程,求出 A,B 两点的坐标,代入 |PA|.| PB|的解析式,使用基本不等式,求出最小值,留意检验等号成立条件解：（ 1）设 A（a,0）、B（0,b ）,a0,b0,AB方程为,点 P（2,1）代入得名师归纳总结 2,ab8 （当且仅当a=4,b=2 时,等号成立） ,第 8 页,共 10 页故三角形OAB面积 S= ab4,此时直线方程为：,即 x+2y 4=0（2）设直线 l ：y 1=k（ x 2）,分别令y=0,x=0,得 A（2,0）,B（0,1 2k）- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
23、 - - - - 精品资料 欢迎下载就|PA|.|PB|= =4,当且仅当 k 2=1,即 k= 1 时,|PA|.|PB| 取最小值,又 k0, k= 1,这时 l 的方程为 x+y 3=0考点：此题考查直线在坐标轴上的截距的定义,直线的截距式方程,以及基本不等式的应用1【例】 求倾斜角是直线 y3x 1 的倾斜角的 4,且分别满意以下条件的直线方程：1 经过点 3, 1 ；2 在 y 轴上的截距是5. 解：直线的方程为 y3x1, k3,倾斜角 120 ,3由题知所求直线的倾斜角为 30 ,即斜率为 3 . 31 直线经过点 3, 1 ,所求直线方程为 y13 x3 ,即 3x3y60.
24、32 直线在 y 轴上的截距为5,由斜截式知所求直线方程为 y3x5,即 3x3y 150. 【例】 已知直线 l ：kxy12k0 1 证明：直线 l 过定点；2 如直线 l 交 x 负半轴于 A,交 y 正半轴于 B, AOB的面积为 S,试求 S 的最小值并求出此时直线 l的方程；解： 1 证明：由已知得k x2 1 y 0, 无论 k 取何值,直线过定点 2,1 ；2 令 y0 得 A 点坐标为 21 k,0 ,令 x0 得 B 点坐标为 0,2 k1 k0 ,1 1 1 1 1 1 1S AOB2| 2k|2 k1| 22 k2 k1 24 kk4 24 4 4 1 1当且仅当 4k
25、k,即 k2时取等号；1即 AOB的面积的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 2xy1 10 , 即 x2y40 【例】 已知函数,g（x）=x+a（a0）（1）求 a 的值,使点 M（ f （x）, g（x）到直线 x+y 1=0 的最短距离为；（2）如不等式 在 x1 , 4 恒成立,求 a 的取值范畴；分析：（1）先用点到直线的距离公式表示距离,利用换元法,进而利用二次函数的配方法即可求解；名师归纳总结 （2）将肯定值符号化去,从而转化为,上恒成立,进而利用换元法转化为at2 2t+a20 在 t 1 , 2 上恒成立,从而得解第 9 页,共 10 页解：（ 1）由题意得M到直线的距离
26、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令就精品资料欢迎下载 t 0 a 1时,即 t=0 时, a =30 a1 时, dmin=0,不合题意 综上 a=3（2）由即 上恒成立,也就是 在1 ,4 上恒成立令,且 x=t 2,t 1 , 2 ,由题意 at 2 2t+a 20 在 t 1 , 2 上恒成立设 .（t ） =at 2 2t+a 2,就要使上述条件成立,只需即满意条件的 a 的取值范畴是考点：此题以函数为载体,考查点线距离,考查恒成立问题,关键是把握距离公式,娴熟恒成立问题的处理策略名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页