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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载特殊解析：三角函数周期的几种求法1定义法：定义：一般地对于函数, 假如存在一个不为零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,（xT）（x）都成立,那么就把函数 叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期；对于一个周期函数来说,假如在全部的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小的正周期；下面我们谈到三角函数的周期时,一般指的是三角函数折最小正周期；名师归纳总结 例 1求函数 y=3sin （2 x 33）的周期第 1 页,共 4 页解： y=f （ x）=3sin （2 x 33）=3sin （2 x 33+2）
2、=3sin （2 x 323）=3sin2 x 333 = f（x+3）这就是说,当自变量由x 增加到 x +3,且必增加到x +3时,函数值重复显现；函数 y=3sin （2 x 33）的周期是T=3；例 2：求 f （x）=sin6x+cos6x 的周期解 f （x+2）= sin6（x+2）+ cos6（x+2）= cos6x +sin6x= f （x）f （x）=sin6x+cos6x 的周期为 T=2例 3：求 f （x）=sinxsin3 x的周期cosxcos 3x解： f （x+）=sinxsin3x=sinxsin3 xcosxcosxcoxcos3 x=sinxsin3 x
3、= f （x）cosxcos 3x求 f （x）=sinxsin3x的周期： T=cosxcos 3 x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2公式法：名师归纳总结 - - - - - - -（1）假如所求周期函数可化为y=Asin （x）、y=Acos（x）、 tg （x）形成（其中 A、为常数, 且 A0、0、R）,它们的周期是：2、2、；例 4：求函数 y=1-sinx+3 cosx 的周期解： y=1-2 （1 sinx-23 cosx ）=1-2 （ cos 23sinx-sin3 cosx ）=1-2sin （x-3）这里=1
4、 周期 T=2例 5：求： y=2（3 sinx-21 cos3x） -1 2解： y=2（3 sinx-21 cos3x ）-1=2sin （3x-26）-1 这里=3 周期为 T=23例 6：求 y=tg （1+3 x ）的周期 5解：这里=3,周期为： T=/3=5553（2）假如 f （ x）是二次或高次的形式的周期函数,可以把它化成sinx、cosx、tgx 的形式,再确定它的周期；例 7：求 f （x）=sinx cosx 的周期解： f （x）=sinx cosx=1 sin2x 2这里=2, f （x）=sinx cosx 的周期为 T=例 8：求 f （x）=sin2x 的周
5、期解： f （x）=sin2x=1cos 2x2而 cos2x 的周期为, f （x）=sin2x 的周期为 T=第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载注：以上二题可以运用定义求出周期；例 9：求 y=sin6x+ cos6x 的周期解：原函数次数较高,应先进降次变形,再求周期；y=sin6x+ cos6x cos2x+ cos4x） =（sin2x+ cos2x）（sin4x-sin2x = sin2x+ cos2x2-3 sin2xcos2x =1-3 sin2xcos2x=1-3sin 22x =5+3cos4x 488而 cos4x
6、的周期为T=2=2, 4y= sin6x+ cos6x 的周期为 T=2例 10：函数 y=3sin2x-23 sinx cosx+5cos2x 的周期；解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形,再求周期；y=3sin2x-23 sinx cosx+5cos2x=3-23 sinx cosx+2cos2x =3-3 sin2x+cos2x+1 =4+21cos2x-3sin2x=4+2cos2x+223y=3sin2x-23 sinx cosx+5cos2x 的周期为 T=223定理法：名师归纳总结 假如 fx 是几个周期函数代数和形式的,即是：函数fx=f1x+f2x ,而 f 1x 的周期为
7、T1, f2x 的周期为 T2,就 fx的周期为 T=P2T1=P1T2,其中 P1、P2N,且（ P1、P2）=1 事实上,由T 1P 1（既约分数）,得 T= P2T1=P1T2T 2P 2第 3 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载f （x+ P 1T2） =f 1（x+ P 1T2）+f 2（x+ P 1T2）=f 1（ x+ P 2T1）+ f 2（x+ P 1T2） = f1（x）+ f2（ x）=f （ x）P1T2是 f （x）的周期,同理P2T1也是函数 f （ x）的周期；例 11：求函数y=tg6x+
8、ctg8x的周期；的周期为T=；解： y=tg6x 的周期为 T1=6,tg8x 的周期为 T2=8由 P1T2= P2T1,得T 1=P = P 24 ,取 P1=4,P2=3 3T 2y=tg6x+ctg8x的周期为T= P1T2=2；例 12：求函数y=sin2x+sin3x的周期解： sin2x 的周期为 T1=, sin3x 的周期为 T2=23而T = T 23 ,即是 T=2T1=3T2,2y=sin2x+sin3x的周期为 T=2T1=2例 13：求函数y=cosx +sin 3x 的周期 4解： cosx 的周期为 T1=6 3,sinx 的周期为 T2=8 4而T 163,即是 T=4T1=3T2T284y=cosx +sin 3x 的周期为 T=3T2=24 4；类似, y=sinx -2sin 5x 的周期为 T=30 3,y=tg3+2ctg2由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂,但经过认真观看、认真分析,都可以把它化成相关问题,运用有关学问,就可以解决；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页