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1、学习必备欢迎下载特别解析：三角函数周期的几种求法1定义法：定义：一般地对于函数， 如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，（xT）（x）都成立，那么就把函数( ) 叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例 1求函数y=3sin （332x）的周期解： y=f （ x）=3sin （332x）=3sin （332x+2）=3sin （3232x）=3sin3)3(32x = f（x+3）这就是说，当自变量由x增加到
2、x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。函数 y=3sin （332x）的周期是T=3。例 2：求 f （x）=sin6x+cos6x 的周期解 f （x+2）= sin6（x+2）+ cos6（x+2）= cos6x +sin6x= f （x）f （x）=sin6x+cos6x 的周期为T=2例 3：求 f （x）=xxxx3coscos3sinsin的周期解： f （x+）=)cos()cos()(3sin)sin(xxxx=xcoxxx3cos3sinsin=xxxx3coscos3sinsin= f （x）求 f（x）=xxxx3coscos3sinsin的周期： T=精选学习资料
3、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载2公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （x） 、y=Acos（x） 、 tg （x）形成（其中 A、为常数， 且 A0、0、R） ，它们的周期是：2、2、。例 4：求函数y=1-sinx+3cosx 的周期解： y=1-2 （21 sinx-23cosx ）=1-2 （ cos3sinx-sin3 cosx ）=1-2sin （x-3）这里=1 周期 T=2例 5：求： y=2（23sinx-21cos3x） -1 解： y=2（23sinx-21cos3x）-1=
4、2sin （3x-6）-1 这里=3 周期为T=32例 6：求 y=tg （1+53 x）的周期解：这里=53，周期为： T=/53=35（2）如果f （ x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tgx 的形式，再确定它的周期。例 7：求 f （x）=sinx cosx 的周期解： f （x）=sinx cosx=21sin2x 这里=2， f （x）=sinx cosx 的周期为T=例 8：求 f （x）=sin2x 的周期解： f （x）=sin2x=22cos1x而 cos2x 的周期为， f （x）=sin2x 的周期为T=精选学习资料 - - - - - -
5、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载注：以上二题可以运用定义求出周期。例 9：求 y=sin6x+ cos6x 的周期解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。y=sin6x+ cos6x =（sin2x+ cos2x） （sin4x-sin2xcos2x+ cos4x） =( sin2x+ cos2x)2-3 sin2xcos2x =1-3 sin2xcos2x=1-43sin22x =85+83cos4x 而 cos4x 的周期为T=42=2, y= sin6x+ cos6x 的周期为T=2例 10：函数 y=3sin2x-23s
6、inx cosx+5cos2x 的周期。解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。y=3sin2x-23sinx cosx+5cos2x=3-23sinx cosx+2cos2x =3-3sin2x+cos2x+1 =4+2(21cos2x-23sin2x)=4+2cos(2x+3) y=3sin2x-23sinx cosx+5cos2x 的周期为 T=223定理法：如果 f(x) 是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x) ，而 f1(x) 的周期为 T1, f2(x) 的周期为T2，则 f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中 P1、P2N，且（ P1
7、、P2）=1 事实上，由2121PPTT（既约分数），得 T= P2T1=P1T2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载f （x+ P1T2） =f1（x+ P1T2）+f2（x+ P1T2）=f1（ x+ P2T1）+ f2（x+ P1T2） = f1（x）+ f2（ x）=f （ x）P1T2是 f （x）的周期，同理P2T1也是函数f （ x）的周期。例 11：求函数y=tg6x+ctg8x的周期。解： y=tg6x 的周期为T1=6，tg8x 的周期为T2=8由 P1T2= P2T1，得21TT=
8、21PP=34，取 P1=4，P2=3 y=tg6x+ctg8x的周期为T= P1T2=2。例 12：求函数y=sin2x+sin3x的周期解： sin2x 的周期为T1=， sin3x 的周期为T2=32而21TT=23，即是 T=2T1=3T2，y=sin2x+sin3x的周期为T=2T1=2例 13：求函数y=cos3x+sin4x的周期解： cos3x的周期为T1=6，sin4x的周期为T2=8而438621TT，即是 T=4T1=3T2y=cos3x+sin4x的周期为T=3T2=24。类似， y=sin5x-2sin3x的周期为T=30，y=tg3+2ctg2的周期为T=。由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、认真分析，都可以把它化成相关问题，运用有关知识，就可以解决。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页