《2022年数值线性代数课程设计资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数值线性代数课程设计资料.docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数值线性代数课程设计报告2022-2022 其次学期 姓名:王美玲学号:081310104 任课老师 :杨熙南京航空航天高校2022 年 6 月 18 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - Jacobi 迭代法, Gauss-Seidel迭代法, SOR迭代法求解线性方程组的数值成效比较摘要 ：Jacobi迭代法, Gauss-Seidel迭代法, SOR 迭代法是三种经典的用于求解线性方程组的迭代方法,近成效进行比较；本文主要对这三种方法的数值逼关键词： Jacobi
2、迭代法； Gauss-Seidel迭代法； SOR 迭代法；线性方 程组 线性方程组的求解方法可归纳为直接法和迭代法；迭代法中有三种最为经典的迭代方法,就是Jacobi 迭代法, Gauss-Seidel迭代法和SOR 迭代法；然而三种方法的收敛性,近似解的靠近成效有不同；本文将对三种方法求解线性方程组的迭代成效做相应探讨；设有线性方程组Ax=b,A 为非奇特矩阵,求x 的近似解,三种迭代方法如下；1. Jacobi 迭代法 算法: （1） 选取初始点x 0 ,精度要求 ep,最大迭代次数 N,初始化迭代次数 k=0；（2） 由 Jacobi迭代法运算公式运算点x k+1 ；x k+1 作为方
3、（3） 相对误差 err 小于等于精度要求ep 时,输出名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 程的近似解；（4）x k = x k+1 ,k=k+1,转步骤（ 2）；2. Gauss-Seidel迭代法 算法: （1） 选取初始点x 0 ,精度要求ep,最大迭代次数N,初始化迭代次数 k=0；（2） 由 Gauss-Seidel迭代法运算公式运算点x k+1 ；作为方（3） 相对误差 err 小于等于精度要求ep 时,输出x k+1 程的近似解；（4）x k = x k+1 ,k=k+1,转步骤（ 2）；3. SOR 迭
4、代法 算法: （1） 选取初始点x 0 ,精度要求ep,最大迭代次数N,初始化迭代次数 k=0；名师归纳总结 （2） 由 SOR 迭代法运算公式运算点x k+1 ；第 3 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3） 相对误差 err 小于等于精度要求ep 时,输出x k+1 作为方程的近似解；（4）x k = x k+1 ,k=k+1,转步骤（ 2）；上述三种经典迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵谱半径小 于 1；谱半径不易求解,而在肯定条件下,通过系数矩阵 A 的性质可 判定迭代法的收敛性；定理 1：如系数矩阵 A 是严格对角占优或不行约
5、对角占优,就 Jacobi 迭代法 和 Gauss-Seidel迭代法均收敛；定理 2：（1）SOR 迭代法收敛的必要条件是 0w2；（2）如系数矩阵 A 严格对角占优或不行约对角占优且 0wGauss-SeidelSOR；2 A = 2 -2 b= 1 1 1 1 1 3 2 2 1 5 Jacobi 迭代法,迭代矩阵谱半径为0,小于 1,收敛,迭代次数 3；Gauss-Seidel迭代法,迭代矩阵半径为 2,大于等于 1,不收敛；（3）A = b= 2 -1 1 1 1 1 1 3 1 1 -2 5 Jacobi 迭代法,迭代矩阵谱半径5/2,大于等于 1,不收敛；Gauss-Seidel
6、迭代法,迭代矩阵半径为 1/2,小于 1,收敛,迭代次数为 23；参考文献：1汪仲文 .解线性方程组的迭代方法之比较 第 29 卷第 6 期,2022 年 11 月.喀什 :喀什师范学院学报 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2徐树方 .数值线性代数 .北京:北京高校出版社 ,1995. 3马昌凤 .现代数值分析 .北京:国防工业出版社 .2022. 4刘春凤 ,米翠兰 .有用数值分析教程 .北京冶金工业出版社 .2006 附录: 源代码 1.Jacobi迭代法 function x,k=myjacobiA,b,x
7、,ep,N Ax=b %雅可比迭代法解线性方程组 %A为系数矩阵, b为右端向量, x为初始向量（默认为零向量） ,ep 为精度%N为最大迭代次数（默认最大值为 clear k x; if nargin5 N=500; End if nargin4 ep=1e-6; end if nargin3 x=zerossizeb; end D=diagdiagA; 500）,x为近似解, k为迭代次数名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - for k=1:N x=DD-A*x+b; err=normb-A*x/normb; if
8、errep break end end end 2.Gauss-Seidel迭代法 function x,k=myseidelA,b,x,ep,N %高斯-赛德尔迭代法解线性方程组 Ax=b %A为系数矩阵, b为右端向量, x为初始向量（默认为零向量） ,ep 为精度%N为最大迭代次数（默认最大值为 clear k x; if nargin5 N=500; end if nargin4 ep=1e-6; end if nargin3 500）,x为近似解, k为迭代次数名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - x=zero
9、ssizeb; end D=diagdiagA; L=D-trilA; U=D-triuA; for k=1:N x=D-LU*x+b; err=normb-A*x/normb; if errep break; end end 3.SOR迭代法 function x,k=mysorddA,b,w,x,ep,N %超放松迭代法（ SOR）解线性方程组 Ax=b %w为放松因子 %A为系数矩阵, b为右端向量, x为初始向量（默认为零向量） ,ep 为精度%N为最大迭代次数（默认最大值为 clear k x; if nargin6 N=500; 500）,x为近似解, k为迭代次数名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - end if nargin5 ep=1e-6; end if nargin4 x=zerossizeb; end if nargin3 w=0.8; end D=diagdiagA; L=D-trilA; U=D-triuA; for k=1:N x=D-w*L1-w*D+w*U*x+w*b; err=normb-A*x/normb; if errep break; end end 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页